生灭过程的Ito复合定理

侯贤敏， 李巧利

(1.河南农业大学 信息与管理科学学院 河南 郑州 450002； 2.河南工业大学 理学院 河南 郑州 450001)

生灭过程的Ito复合定理

侯贤敏1， 李巧利2

(1.河南农业大学 信息与管理科学学院 河南 郑州 450002； 2.河南工业大学 理学院 河南 郑州 450001)

利用Ito复合定理，证明必存在一个生灭过程，使得该过程相对于∞状态的游程系,恰好是给定的满足规范性条件的游程系，并给出了该生灭过程及其预解式的具体形式．

生灭过程； 游程； 预解式

0 引言

生灭过程是一类非常重要的Markov链，关于此类过程已有较多文献[1-6]．一般来说，生灭过程不是唯一的，即仅靠生灭矩阵不能唯一决定生灭过程．对于不唯一的情形，文献[1]利用极限过渡法构造了全部生灭过程，文献[2]利用分析法构造了全部生灭过程．作者将利用游程理论中的Ito复合定理直接给出生灭过程的构造，并将其预解式具体表达出来．

1 存在性证明

其中，ai>0，bi>0(i=1,2,…)．记EΔ=E∪{∞}，U={w|w:(0,∞)→EΔ∈E，且存在s>0，使w(s)∈E；若w(u)=∞，则对任意的v>u，w(v)=∞},U上的坐标过程记作{ε(t)}t>0，{ε(t)}t>0产生的σ代数σ{ε(t)，t>0}记作U0,σ{ε(t),s≤t}记作Ut．

(1)

定理4设{βt,t≥0}定义如上，则{βt,t≥0}几乎必然有限，且是几乎必然严格增的右连续函数．

引理2 设f(t)是[0,∞)上严格增的右连续实值函数，且f(0)=0，若函数g(t)=inf{s|s>0,f(s)>t}，则

2)f(t)是g(t)的右逆，且对任意t>0，g(f(t))=t，f(g(t))=sup{s|g(s)=g(t)}；

3) 由g(t)产生的[0,∞)上的stieltjes测度dg(·)的支撑记作Z，开集(0,∞)中的每个小区间按先后顺序一一对应于f(t)的不连续点，(0,∞)中的小区间称为g(t)的平直区间；

定理5 设ω∈Ω，则

2) 令Z(ω)表示Lt(ω)的stieltjes测度的支撑，则(0,∞)(ω)中的小区间按先后顺序一一对应于DY(ω)中的点(即βt(ω)的不连续点)；

3) 对任意t>0，Lβt(ω)=t．

下面用{Yt,t∈DY}以及{βt,t≥0}来构造一个Markov链．

定理6设λ>0，i，j∈E，则

证明

从而命题结论成立．

3)由于

定理7设{rij(λ);i,j∈E}定义如上，则{rij(λ);i,j∈E}是一个预解式．

证明只需证明对任意i，j∈E,任意λ>0,μ>0，{rij(λ);i,j∈E}满足如下预解式方程：

(2)

结合定理6，代入(2)式左端验证即知结论成立．

2 结语

[1] 王梓坤，杨向群．生灭过程与马尔可夫链[M]．北京：科学出版社，2004：174-367．

[2] 杨向群．可列马尔可夫过程构造论[M]．长沙：湖南科技出版社,1981：67-131．

[3] 侯振挺，郭青峰．齐次可列马尔可夫过程[M]．北京：科学出版社,1978：178-248．

[4] 侯振挺．马尔科夫过程的Q-矩阵问题[M].长沙：湖南科技出版社,1994：141-364．

[5] 唐令琪.单瞬时态生灭过程的构造[J] ．数学年刊：A辑,1987，8(5)：565-570．

[6] 张正军，吴慧中，张汉君，等．单瞬时态单边生灭Q过程的常返性和遍历性[J]．南京理工大学学报：自然科学版，2002，26(2)：183-185.

ItoSynthesisTheoryofBirthandDeathProcess

HOU Xian-min1， LI Qiao-li2

(1.CollegeofInformationandManagementScience,HenanAgriculturalUniversity，Zhengzhou450002,China；2.CollegeofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450001,China)

By using Ito synthesis theory,a birth and death process was proved to be existed，and the excursion family of it at fictitious state ∞ was the given one satisfying regular condition．Besides，the functional forms of the birth and death process and its resolvent were expressed．

birth and death process； excursion； resolvent

O 211.62

A

1671-6841(2011)04-0010-04

2011-05-08

河南工业大学校基金资助项目，编号10XZR011.

侯贤敏(1981-)，女，讲师，硕士，主要从事概率论与数理统计研究，E-mail：houxianmin83@126.com．