线性缓冲算子群

刘卫锋， 何 霞， 张又林， 许宏伟

(郑州航空工业管理学院 数理系 河南 郑州 450015)

线性缓冲算子群

刘卫锋， 何 霞， 张又林， 许宏伟

(郑州航空工业管理学院 数理系 河南 郑州 450015)

利用缓冲算子的结构与性质，定义了线性缓冲算子、线性弱化缓冲算子和线性强化缓冲算子.研究了线性缓冲算子的复合运算及运算的性质，以及可逆线性缓冲算子及其性质，证明了可逆线性缓冲算子集合为线性缓冲算子群，为使用线性缓冲算子处理数据提供了数学理论依据.

灰色系统； 缓冲算子； 线性缓冲算子； 群

0 引言

针对灰色预测建模中存在较大波动数据问题， 文献[1]首次提出了缓冲算子的概念和公理系统，并对缓冲算子的特性做了初步的研究， 开启了利用缓冲算子研究波动数据的大门.文献[2-4]定义了一些弱化缓冲算子， 文献[5-6]对弱化缓冲算子的性质进行了研究，文献[7-10]定义了一些强化缓冲算子及其性质，文献[11]构造了几类更为一般的缓冲算子， 使许多缓冲算子成为其特例.这些研究不同程度地提高了灰色预测模型的预测和模拟精度，从而拓宽了灰色预测模型的应用范围. 但是，它们都侧重于缓冲算子的构造及应用，既缺少对缓冲算子本身的数学结构的研究，又缺少应用缓冲算子的相关数学理论基础.

根据缓冲算子的结构和性质，从数学的角度提出了线性缓冲算子，研究了缓冲算子的复合运算及其性质，并在此基础上，得到了关于可逆线性缓冲算子的一个代数系统——线性缓冲算子群.该研究不仅揭示了缓冲算子的结构及性质，区分了缓冲算子的类型，而且对线性缓冲算子的复合运算有了更深的理解和认识，从而为进一步理解、掌握和应用缓冲算子提供了数学理论基础.

1 线性缓冲算子

定义1设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，D是一个缓冲算子，λ是任意非负实数.称D是一个线性缓冲算子，若D满足条件

(X1+X2)D=X1D+X2D且(λX1)D=λ(X1D).

定义2设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，D是一个缓冲算子，λ1,λ2是任意非负实数.称D是一个线性缓冲算子，若D满足条件

(λ1X1+λ2X2)D=λ1(X1D)+λ2(X2D).

容易证明，定义 1 和定义 2 是等价的.

定义3设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，D是一个线性缓冲算子. 称D是一个线性弱化缓冲算子，若缓冲序列XD比原始行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减少.

定义4设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，D是一个线性缓冲算子.称D是一个线性强化缓冲算子，若缓冲序列XD比原始行为数据序列X的增长速度(或衰减速度)增强或振幅增大.

证明设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列.文献[3]中已经证明了D1是弱化缓冲算子，故只需证明D1是一个线性缓冲算子.

由定义 1 可知，D1是一个线性缓冲算子.故D1是一个线性弱化缓冲算子.

例2设X=(x(1),x(2),…,x(n))是系统行为数据序列，XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)，其中，

证明例1中的ω=(1,1,…,1)时，线性弱化缓冲算子D2就是D1的特殊情况，故D2是线性弱化缓冲算子.

证明文献[1]中已经证明D3是强化缓冲算子，只需再证其是线性缓冲算子即可.

设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列. 则

[x1(n)+x2(n)]d3=x1(n)+x2(n)=x1(n)d3+x2(n)d3.

[λx1(n)]d3=λx1(n)=λ[x1(n)d3].

故D3是线性强化缓冲算子.

例4设X=(x(1),x(2),…,x(n))是系统行为数据序列，XE=(x(1)e,x(2)e,…,x(n)e)=(x(1),x(2),…,x(n)).

显然，缓冲算子E没有使数据序列发生变化，故称之为恒等缓冲算子.

2 线性缓冲算子复合运算

2.1复合运算

定义5设X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非负序列，D1,D2是两个线性缓冲算子，定义D=D1D2,XD=X(D1D2)=(XD1)D2,则称D=D1D2是线性缓冲逆算子D1,D2的复合运算.

定理1线性缓冲算子的复合是线性缓冲算子.

证明设D1,D2是任意两个线性缓冲算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，则有(X1+X2)Di=X1Di+X2Di,(λX1)Di=λ(X1Di),i=1,2.

从而有

(X1+X2)(D1D2)=((X1+X2)D1)D2=(X1D1+X2D1)D2
=(X1D1)D2+(X2D1)D2=X1(D1D2)+X2(D1D2),

(λX1)(D1D2)=((λX1)D1)D2=(λ(X1D1))D2=λ((X1D1)D2)=λ(X1(D1D2)).

于是定理得证.

定理2①线性强化缓冲算子的复合仍为线性强化缓冲算子；

②线性弱化缓冲算子的复合仍为线性弱化缓冲算子；

③线性强化缓冲算子与线性弱化缓冲算子的复合可能为线性弱化缓冲算子，可能为线性强化缓冲算子，也可能两者皆不是.

证明①设X=(x(1),x(2),…,x(n))是系统行为数据序列，D1,D2均为线性强化缓冲算子.

(a)当X为单调增长序列时，有x(k)≥x(k)d1,x(k)≥x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≤x(k)d1≤x(k),k=1,2,…,n.

(b)当X为单调衰减序列时，有x(k)≤x(k)d1,x(k)≤x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≥x(k)d1≥x(k),k=1,2,…,n.

综合以上证明可知，D1D2为线性强化缓冲算子.

②证明类似于①，略.

同样，容易举出线性强化缓冲算子与线性弱化缓冲算子复合为线性强化缓冲算子的例子，这里略去.

2.2复合运算的性质

性质1复合运算不满足交换律.

性质2复合运算满足结合律.

性质3复合运算存在幺元.

证明性质1(反证法) 假设复合运算满足交换律，即令D6，D7是任意两个线性缓冲算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非负序列，则有X(D6D7)=X(D7D6)成立.

性质2令D1,D2,D3是任意三个线性缓冲算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非负序列，则有X((D1D2)D3)=(X(D1D2)D3)=(((XD1)D2)D3),X(D1(D2D3))=((XD1)(D2D3))=(((XD1)D2)D3)，即有(D1D2)D3=D1(D2D3),故结合律成立.

性质3恒等缓冲算子E就是幺元，因为X(ED)=((XE)D)=XD,X(DE)=((XD)E)=XD，即ED=DE=D，其中D是任意线性缓冲算子.

3 线性缓冲算子群

3.1可逆线性缓冲算子

定理3设D1是可逆线性缓冲算子，D2是D1的左逆缓冲算子，则D2也是D1的右逆缓冲算子，并且D2是唯一的.

证明设D1是可逆线性缓冲算子，并且D2是D1的左逆缓冲算子，D3是D2的左逆缓冲算子.

由(D2D1)D2=ED2=D2可得E=D3D2=D3((D2D1)D2)=(D3(D2D1))D2=((D3D2)D1)D2=(ED1)D2=D1D2，即D2也是D1的右逆缓冲算子.

不妨设D2,D3是D1的逆缓冲算子，则D2=D2E=D2(D1D3)=(D2D1)D3=ED3=D3,即D1的逆缓冲算子是唯一的.

定理4设D是可逆线性缓冲算子，则D的逆缓冲算子D-1是一个线性缓冲算子.

证明已知D是可逆线性缓冲算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意两个非负序列，则有

(X1+X2)D=X1D+X2D,(λX1)D=λ(X1D).

于是，

(X1D-1+X2D-1)D=(X1D-1)D+(X2D-1)D=X1+X2,

(λ(X1D-1))D=λ((X1D-1)D)=λ(X1D-1D)=λX1.

对上面两式两端同时作用D-1，则可得X1D-1+X2D-1=(X1+X2)D-1,λ(X1D-1)=(λX1)D-1.

由定义 1 可知，定理得证.

定理5设D是可逆线性缓冲算子，其逆算子为D-1,

①若D为线性强化缓冲算子，则D-1为线性弱化缓冲算子；

②若D为线性弱化缓冲算子，则D-1为线性强化缓冲算子.

证明①设X=(x(1),x(2),…,x(n))是系统行为数据序列.

(a)当X为单调增长序列时，有x(k)≥x(k)d，k=1,2,…,n，于是，x(k)=(x(k)d-1)d≤x(k)d-1,k=1,2,…,n.

(b)当X为单调衰减序列时，证明类似(a)，略.

综合以上证明可知，D-1为线性弱化缓冲算子.

②证明类似于①，略.

3.2线性缓冲算子群

将线性缓冲算子复合运算记为·，-D={D1，D2，…}表示具有逆算子的线性缓冲算子集合，则可得到如下结论：

定理6〈-D,·〉构成一个广群.

证明由定理 1 可知，线性缓冲算子的复合运算是封闭的，因此定理得证.

定理7〈-D,·〉构成一个半群.

证明由定理6和线性缓冲算子的复合运算性质2，定理得证.

定理8〈-D，·〉构成一个幺半群.

证明由定理7和线性缓冲算子的复合运算性质3，定理得证.

定理9〈-D,·〉构成一个群.

证明由定理3和定理8，定理得证.

4 结论

根据缓冲算子的结构和性质，定义了线性缓冲算子，并将其区分为线性弱化缓冲算子和线性强化缓冲算子.然后,对线性缓冲算子的复合运算及运算性质做了研究.最后，通过研究线性缓冲算子的逆算子，结合线性缓冲算子复合运算的研究，得到了线性缓冲算子的一个代数系统——线性缓冲算子群.该研究不仅使我们进一步掌握了缓冲算子的性质和结构，而且对于进一步研究和应用缓冲算子提供了数学理论基础，此外这对于研究非线性缓冲算子也具有一定的启发意义.

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LinearBufferOperatorGroup

LIU Wei-feng, HE Xia, ZHANG You-lin, XU Hong-wei

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

According to structure and nature of buffer operator,mathematical definition of linear buffer operator,linear weakening buffer operator and linear strengthening buffer operator were put forward. Composition of linear buffer operator and its nature were studied. And based on research of inverse linear buffer operator and its nature,inverse linear buffer operator was linear buffer operator group.Linear butter operator was used for a mathematical theoretical foundation of handling data.

grey system;buffer operator;linear buffer operator;group

O 159； N 94

A

1671-6841(2011)04-0014-05

2011-01-04

航空科学基金资助项目，编号2008ZG55008；郑州航空工业管理学院青年科研基金资助项目，编号2011113001，2011113003.

刘卫锋(1976-)，男，讲师，硕士，主要从事数学建模和灰色系统理论研究，E-mail:lwf0519@zzia.edu.cn.