带负顾客的GI/Geom/1工作休假排队

郭晓琼， 马占友

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

带负顾客的GI/Geom/1工作休假排队

郭晓琼， 马占友

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

考虑带负顾客的GI/Geom/1工作休假排队．负顾客一对一抵消正在服务的正顾客(若有)，若系统中无正顾客，到达的负顾客自动消失，负顾客不接受服务．服务规则为先到先服务．工作休假策略为空竭服务多重工作休假．用矩阵几何解方法,求得到达前夕系统队长的稳态分布、队长分布的概率母函数及平均队长．

离散时间排队； 负顾客； 工作休假； 矩阵几何解； 稳态分布； 母函数

0 引言

国内外许多学者已对经典休假排队系统作了广泛而深入的研究[1-3].在实际中，休假时服务员不完全停止工作，而是以较慢的速率进行服务，这样的系统称为工作休假排队系统．当较慢的服务速率退化为零时，就得到了经典休假模型．故工作休假排队是经典休假排队的一种推广．Servi等[4]最早引入了工作休假策略，从而引发了各种离散时间工作休假排队的研究．目前，工作休假排队系统[4-6]已成为国内外专家研究的热点．

作者研究工作休假策略下的离散时间排队，所谓离散时间排队是指到达间隔和服务时间都是正整值随机变量的排队模型．带负顾客的排队模型[7-8]已应用于一些领域，如通信系统、生产制造系统、销售系统等．负顾客可看成服务系统中出现的一次对服务台的外来干扰．

1 模型的描述

GI/M/1排队的离散时间变体是GI/Geom/1模型，在GI/Geom/1工作休假排队系统中引入带RCH(removal customers at the head)抵消策略的负顾客，顾客到达只能发生于离散时刻t=n-,n=0,1,2,…,服务的开始和结束都发生于离散时刻t=n+．该系统是具有正、负两类顾客的单服务台系统，一旦系统内无正顾客，服务员立刻开始一个随机长度V的工作休假．在工作休假期间，服务员以低的服务率接待正顾客．若结束一次工作休假时系统内无正顾客，则继续一个独立同分布的工作休假．若在一个工作休假期结束时系统中已有正顾客，则服务员终止工作休假并开始以正常服务率(即更高的服务率)接待正顾客，并开始一个新的正常忙期，直到服务台再次变为空闲．负顾客的到达服从几何分布．模型的基本假设是：

假设到达间隔、服务时间和工作休假时间是相互独立的，并服从先到先服务规则．

2 状态转移概率矩阵

2.1嵌入Markov链

Ω={(k,0),k≥0}∪{(k,1),k≥1}．

其中，kj(j≥0)表示正常服务期一个到达间隔离去j个正顾客的概率；bj(j≥0)表示工作休假时间大于一个到达间隔时间，并在该到达间隔内离去j个正顾客的概率；cj(j≥0)表示工作休假时间小于一个到达间隔，并在整个到达间隔内恰好离去j个正顾客的概率．它们的母函数分别计算为

2.2状态转移分析

①当从状态(i,1)到(j,1)时，表示正常服务期一个到达间隔内离去i+1-j个正顾客，有

(1)

(2)

③当从状态(i,0)到(j,1)时，表明工作休假时间小于到达间隔且在该间隔内恰好离去i+1-j个正顾客．假设在工作休假期内离去k个正顾客，正常服务期内离去i+1-j-k个正顾客，则有

(3)

④当从状态(i,0)到(0,0)和状态(i,1)到(0,0)时，类似分析给出

2.3转移矩阵

因此，f(z)在(0,1)内有唯一的零点．

(7)

对方程(7)的各项计算是：

将这些结果代入方程(7)，得到r12=β(σ-α)>0.

3 稳态队长分布及随机分解

定理2当ρ<1且0<θ<1时，到达前夕的稳态分布是

因此，稳态下到达前夕的队长L-分布是

稳态下系统处于工作休假和正规忙期的概率分别是

证明对队长L-的分布取母函数，有

由上述随机分解结果，可得到达前夕的平均队长

4 数值例子

通过分析，得到了稳态下的平均队长．显然，在该模型中如果改变系统参数设置，将对系统队长有一定的影响．该部分主要考虑正顾客的到达间隔服从定长分布的特殊模型，其中，约定参数λ=0.5．

根据平均队长E(L-)的表达式，当μb=0.6和μv=0.2时，随着ε的增加，E(L-)相应减少．如果固定ε值，随着θ的增加，E(L-)也相应减少(见图1)；当μb=0.6和θ=0.3时，随着μv的增加，E(L-)相应减少．如果固定μv值，随着ε的增加，E(L-)也相应减少(见图2)．

图1 E(L-)随ε的变化趋势Fig.1 The relation of E(L-) with ε

图2 E(L-)随μv的变化趋势Fig.2 The relation of E(L-) with μv

[1] Takagi H.Queueing Analysis[M].Amsterdam:North-Holland,1993:89-183.

[2] 田乃硕.休假随机服务系统[M].北京：北京大学出版社,2001:36-97．

[3] 田乃硕,岳德权.拟生灭过程与矩阵几何解[M].北京：科学出版社,2002:39-77．

[4] Servi L,Finn S. M/M/1 queue with working vacations[J].Performance Evaluation,2002,50(1):41-52．

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[6] 杨顺利,田乃硕.N策略工作休假M/M/1排队[J].运筹与管理,2007,16(4): 50-55．

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[8] 朱翼隽,陈燕,胡波.具有负顾客的GI/M/1休假排队模型[J].江苏大学学报：自然科学版,2004,25(4):315-318．

[9] 田乃硕,徐秀丽,马占友.离散时间排队论[M].北京：科学出版社,2008:141-144．

TheGI/Geom/1QueuewithNegativeCustomersandWorkingVacations

GUO Xiao-qiong, MA Zhan-you

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

A GI/Geom/1 queue with negative customers and working vacations was discussed. Negative customers removed positive customers only one by one at the tail(if present). When a negative customer arrived,if the system was empty,it would disappear. Negative customers need no services. The serve rule was first come first served. The working vacation policy was exhaustive and multiple working vacations.By using matrix-geometric solution,the steady-state distributions were obtained for the number of customers in the system at arrival epochs.And the generating function of distributions and the average value of the number of customers were obtained.

discrete-time queue； negative customer； working vacation； matrix-geometric solution； steady-state distribution； generating function

O 226

A

1671-6841(2011)04-0028-05

2011-01-18

河北省高等学校科学技术研究指导项目，编号Z2010182.

郭晓琼(1984-)，女，硕士研究生，主要从事休假排队系统的理论研究，E-mail:261222guoxiaoqiog@163.com；通讯作者：马占友(1974-)，男，副教授，博士，主要从事休假排队系统的理论研究．