Reissner-Nordström黑洞Dirac场的辐射能通量和辐射功率

孟一凡, 孟庆苗

(1.菏泽学院 网络中心 山东 菏泽 274015;2.菏泽学院 物理系 山东 菏泽 274015)

Reissner-Nordström黑洞Dirac场的辐射能通量和辐射功率

孟一凡1, 孟庆苗2

(1.菏泽学院 网络中心 山东 菏泽 274015;2.菏泽学院 物理系 山东 菏泽 274015)

利用黑洞视界面附近的熵密度,研究了黑洞的热辐射规律,得到了黑洞的热辐射满足广义Stefan-Boltzmann定律的结论.对极端Reissner-Nordström黑洞,其辐射能通量和辐射功率为零,表明广义Stefan-Boltzmann定律将导致黑洞遗迹.当截断距离、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordström黑洞遥远的观测者接收到的辐射能通量与辐射粒子的径向的平均泻流速率成正比,与观测者到黑洞之间的距离的平方成反比.

Reissner-Nordström黑洞;平均泻流速率;广义Stefan-Boltzmann定律;辐射能通量

0 引言

20世纪70年代,Hawking从理论上证明了黑洞的视界会发出热辐射[1],这极大地推动了黑洞热力学的发展.人们用各种方法求解黑洞熵,其中,′t Hooft提出的brick-wall模型[2]对黑洞熵的起源给出了一种统计解释.文献[3]采用该模型，得到了黑洞熵与黑洞视界面积成正比的结论.近年来,人们把brick-wall模型改进为薄膜模型[4],认为黑洞的熵是来自视界附近的一个无穷小厚度薄层中量子场的贡献.文献[5-6]采用薄膜模型计算黑洞的熵,同样得到了黑洞熵与黑洞视界面积成正比的结论.有视界就有黑洞熵,就有Hawking辐射.2000年Parikh等[7]在考虑辐射粒子的自引力作用的情况下,将黑洞的Hawking辐射理解成一种量子隧穿过程,得到了黑洞视界处粒子的量子隧穿率与黑洞的Bekenstein-Hawking熵变有关.随后的一些工作[8]都得到了与Parikh结论完全相符的结果.可见黑洞熵与黑洞的热辐射之间存在着必然的内在联系.进一步研究二者之间的关系,是一项十分有意义的工作.

作者利用黑洞视界附近的熵密度,对黑洞的热辐射规律进行了研究,得到了黑洞的热辐射满足广义Stefan-Boltzmann定律[9-10].得到的广义Stefan-Boltzmann系数不再是一个恒量,而是一个与黑洞周围的时空度规有关的系数.可见弯曲时空的热辐射不同于平直时空的热辐射,黑洞周围的强引力场和电磁场将影响黑洞的热辐射.为使研究结果更具有普遍意义,作者采用黑洞的薄膜模型研究了Reissner-Nordström黑洞的热辐射规律,揭示了黑洞周围的引力场和电磁场与其热辐射之间的内在联系.

1 Reissner-Nordström黑洞的辐射能通量和辐射功率

Reissner-Nordström黑洞的时空线元为

式中，M为黑洞的质量，Q为黑洞的电荷.由于时空具有球对称性,g00=0即为黑洞的视界面方程,容易得到黑洞的内外视界半径为

(1)

黑洞的视界温度为

(2)

文献[5]利用薄膜模型得到了静态球对称黑洞Dirac场的统计熵为

(3)

令δ=nε,由(3)式可得

(4)

令n→∞时对应的熵为S∞,由(4)式得

(5)

根据局域等效性原理,在黑洞视界附近无穷小厚度薄层膜局域内,热力学基本等式成立,黑洞视界附近薄层膜内的能量密度ρ,熵密度s与局域测得的温度T之间满足[9]

ρ=bT4,

(6)

(7)

由(5)式和(7)式可得

(8)

将(8)式代入(6)式得

唐纳森作为全球过滤行业领导者之一，早在70年代就进入中国展开业务，并于1997年在无锡建厂。无锡现有工厂占地面积60 000平方米，拥有员工1200人，主要生产发动机过滤和工业过滤产品。作为一家扎根中国多年的企业，唐纳森始终坚持以本土制造服务于本土客户，随着唐纳森在中国乃至亚洲地区业务的不断增长，目前工厂的产能已接近饱和。在无锡政府的大力支持下，唐纳森决定在无锡投资建立新的工厂。

(9)

可见,对于给定的黑洞,当截断距离和薄膜厚度取定后,黑洞视界附近薄层膜内Dirac场的能量密度与其视界温度的四次方成正比.考虑黑洞Hawking辐射的物理机制,黑洞视界面附近由于真空涨落产生的虚粒子对,当其中负能虚粒子通过隧道效应进入黑洞,黑洞的能量将减少,同时其中的正能粒子向外穿出黑洞外引力区飞向远方形成Hawking辐射.实际上,薄层膜区域(rH+ε→rH+ε+δ)内正能粒子的运动是非常复杂的,静止质量为零的粒子的世界线是类光的,而有静止质量的粒子的世界线是类时的.为使研究问题简化,假定辐射的正能粒子沿径向向外的平均泻流速率为

式中,vr为正能粒子的径向速率,f(vr)为正能粒子的径向速率分布函数,上标(+)表示只对vr>0的范围平均.ve不仅与辐射粒子的种类有关,还与黑洞视界附近的时空度规有关,黑洞的质量越大,其视界附近的引力场越强,ve值就越小.由于黑洞视界附近的引力场极强,ve值非常小.将薄层膜区域内的正能粒子到达黑洞辐射球面4π(rH+ε+δ)2的平均时间表示为

(10)

其中，λ为修正常数.由(1)式，(9)式和(10)式可得黑洞视界附近Dirac场的辐射能通量为

(11)

令

(12)

(11)式可变为

(13)

可见,对于给定的黑洞,当ε,δ和ve取定后,黑洞的辐射能通量与其视界温度的四次方成正比.(13)式可称为Reissner-Nordström黑洞的广义Stefan-Boltzmann定律.(12)式为对应的广义Stefan-Boltzmann比例系数.导出的σ不再是一个恒量,而是一个与黑洞的质量、电荷、黑洞视界面附近辐射粒子的平均泻流速率、截断距离以及薄膜厚度有关的比例系数.由于黑洞的Hawking辐射与黑洞视界附近的真空涨落有关,黑洞的质量越大,截断距离以及薄膜厚度越小,视界附近薄层膜内的真空涨落就越显著,则σ值就越大.辐射粒子的径向平均泻流速率越大,其逃逸黑洞引力场的能力就越强,则σ值就越大.由于黑洞带有电荷,其周围的电磁场将影响视界附近薄层膜内的真空涨落,从而影响黑洞的热辐射.可见黑洞的热辐射与其视界附近的强引力场、电磁场之间存在着必然的内在联系.

当M=Q时,Reissner-Nordström黑洞变为极端Reissner-Nordström黑洞,由(1)式和(2)式可得rH=r-=M,黑洞的内外视界合二为一,这时单向膜区缩成一个无限薄的膜,极端Reissner-Nordström黑洞的视界温度等于零.由(12)式可得极端Reissner-Nordström黑洞的广义Stefan-Boltzmann系数将趋于无穷大.利用(1)式，(2)式和(12)式可得极端Reissner-Nordström黑洞的辐射能通量为

可见,极端Reissner-Nordström黑洞辐射能通量等于零,表明极端Reissner-Nordström黑洞不再具有热辐射.利用给出的广义Stefan-Boltzmann定律得到的结果是Hawking辐射不会把Reissner-Nordström黑洞化为乌有,而最后应留下遗迹,这将导致两个重要结论:其一,在黑洞蒸发中信息丢失疑难可能不再存在.其二,黑洞的遗迹极可能是构成暗物质的候选者.

2 距Reissner-Nordström黑洞遥远的观测者接收到的辐射能通量

对距观测者遥远的Reissner-Nordström黑洞来说,可将其视为热质点[10],设二者之间的距离为r,由(11)式可得观测者所接收到的辐射能通量

(14)

由量纲分析不难验证

(15)

式中,lp为Planck长度,mp为Planck质量,Tp为Planck温度,σp为Planck广义Stefan-Boltzmann系数,ћ为Planck常数,G为万有引力常数,c为真空中的光速,kB为Boltzmann常数.利用(15)式将(12)式恢复到普通单位制得

(16)

利用(15)式将(2)式恢复到普通单位制得

(17)

利用(16)式和(17)式将(14)式恢复到普通单位制得

(18)

对于给定的Reissner-Nordström黑洞,当截断距离、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordström黑洞遥远的观测者接收到的辐射能通量与辐射粒子的径向平均泻流速率成正比,与观测者到黑洞之间的距离的平方成反比.由于观测者接收到的辐射能通量与黑洞的质量、电荷有关,显然黑洞周围的引力场和电磁场将影响黑洞的热辐射.当(GM)2=Q2时,Reissner-Nordström黑洞变为极端Reissner-Nordström黑洞,由(18)式可得极端Reissner-Nordström黑洞的辐射能通量为零,其原因在于极端黑洞的视界温度为零,这与已知的理论是自洽的.

利用(18)式可得Reissner-Nordström黑洞Dirac场的辐射功率

(19)

可见,当截断距离ε和薄膜厚度δ取定后,Reissner-Nordström黑洞Dirac场的辐射功率不仅与黑洞的质量、电荷有关,还与辐射粒子的径向平均泻流速率有关.由(19)式可得出极端Reissner-Nordström黑洞的辐射功率为零.

3 结论

利用黑洞视界面附近的熵密度,研究黑洞的热辐射,得到了黑洞的热辐射满足广义Stefan-Boltzmann定律的结论.导出的广义Stefan-Boltzmann系数不再是一个恒量,而是一个与黑洞的质量、电荷、黑洞视界面附近辐射粒子的径向平均泻流速率、截断距离以及薄膜厚度有关的比例系数.揭示了黑洞周围的引力场、电磁场与其热辐射之间的内在联系.对于极端Reissner-Nordström黑洞,其辐射能通量和辐射功率为零,表明广义Stefan-Boltzmann定律将导致黑洞遗迹,这将为黑洞蒸发中信息丢失疑难和宇宙中的暗物质的存在提供一种可能解释.利用弯曲时空中辐射源的热质点模型,对Reissner-Nordström黑洞的辐射规律进行了研究,结果表明,对于给定的Reissner-Nordström黑洞,当截断距离、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordström黑洞遥远的观测者接收到的辐射能通量与辐射粒子的径向平均泻流速率成正比,与观测者到黑洞之间的距离的平方成反比.薄膜brick-wall模型虽给出了更多的黑洞热性质,但截断因子不能避免,表明在研究黑洞熵的问题上,采用半经典方法的局限性.作者给出了一种研究黑洞热辐射的新方法.

[1] Hawking S W. Particle creation by black hole[J]. Commun Math Phys,1975,43(3):199-220.

[2] ′t Hooft G. On the quantum structure of a black hole[J]. Nucl Phys B,1985,256:727-745.

[3] 荷电Dilaton-Maxwell动态黑洞中Dirac场的熵[J]四川师范大学学报:自然科学版，2008,31(4):436-439.

[4] Li Xiang,Zhao Zheng. Entropy of a Vaidya-de Sitter space-time[J]. Chin Phys Lett,2001,18(3):463-465.

[5] 李传安,孟庆苗,苏九清. 静态球对称黑洞Dirac场的统计熵[J]. 物理学报,2002,51(8): 1901-1905.

[6] 孟庆苗,苏九清,李传安. 球对称动态黑洞Dirac场的统计熵[J]. 物理学报,2003,52(7):1822-1826.

[7] Parikh M K,Wilczek F. Hawking radiation as tunneling[J]. Phys Rev Lett,2000,85(4):5024-5049.

[8] 孟一凡,孟庆苗. 一般静态球对称黑洞的Hawking辐射[J]. 郑州大学学报:理学版,2009,41(3):50-53.

[9] 孟庆苗. 静态球对称黑洞Dirac场的Stefan-Boltzmann定律[J]. 物理学报,2003,52(8):2102-2104.

[10] 孟庆苗,蒋继建,王帅. 静态球对称黑洞的热质点模型及辐射功率[J].物理学报,2009,58(11):7486-7490.

RadiationEnergyFluxandRadiationPowerinDiracFieldoftheReissner-NordströmBlackHoles

MENG Yi-fan1, MENG Qing-miao2

(1.NetworkCentre,HezeUniversity,Heze274015,China;2.DepartmentofPhysics,HezeUniversity,Heze274015,China)

By the entropy density near the event horizon,the thermal radiation of the black hole was studied.The generalized Stefan-Boltzmann law was obtained. For an extreme Reissner-Nordström black hole,radiation energy flux and radiation power were all equal to zero.Generalized Stefan-Boltzmann law would lead to a black hole remnant. When the thin film thickness and the cut-off distance were both fixed for the Reissner-Nordström black hole,the radiation energy flux

by observer far away from the Reissner-Nordström black hole was proportional to the average radial effusion velocity of the radiation particles,and inversely proportional to the square of the distance between the observer and the black hole.

Reissner-Nordström black hole;average radial effusion velocity;generalized Stefan-Boltzmann law;radiation energy flux

P 145.8

A

1671-6841(2011)04-0062-05

2011-01-08

国家自然科学基金资助项目，编号10773002；山东省教育厅科技计划资助项目，编号J07WJ49.

孟一凡(1983-),男,助教,硕士,主要从事光电通讯研究,E-mail:piiip@163.com;通讯作者:孟庆苗(1960-),男,教授,主要从事黑洞物理理论研究,E-mail:mengqingmiao@yahoo.com.cn.