基于扩展有限元法的重力坝动态裂纹开裂模拟

顾春丽

摘要：基于ABAQUS平台的XFEM功能模拟了Koyna坝在地震荷载下的裂纹开裂扩展。ABAQUS平台的XFEM功能可以模拟动力作用下裂纹的开裂扩展，具有广阔的工程应用前景，能够正确捕捉裂纹开裂的位置以及扩展的路径，但其网格依赖性较强，也不能模拟裂纹的分叉，这方面的研究仍然需要进一步完善。

关键词：XFEM；重力坝；裂纹

引言

扩展有限元法(eXtended Finite Element Method，XFEM)是1999年由美国西北大学Belytschko教授[1, 2]首先提出， 适用于求解不连续问题的一种新型数值方法，它克服了常规有限元方法在求解不连续问题时需要个按照不连续界面划分网格的缺陷，仅需按照材料的几何外形划分网格，无需考虑不连续面的存在。经过近十几年的发展，XFEM已广泛渗透到各个领域[3-5]，其理论也不断地得到完善。然而，运用XFEM求解动力作用下的裂纹扩展问题甚少，在国内仅有方修君 [7] 等基于ABAQUS平台用户子程序UEL开发了XFEM程序模拟Koyna坝的地震开裂过程。目前，XFEM已被嵌入进商业有限元软件ABAQUS中，可以模拟静、动作用下的裂纹扩展问题。本文主要基于ABAQUS平台的扩展有限元功能模拟Koyna重力坝在地震作用下的裂纹扩展过程，展示了XFEM法的工程应用前景。

动力XFEM的支配方程

对动力作用下含裂纹体进行受力分析，有

， (1)

其中，表示材料的密度；为柯西应力张量；为体积力向量；表示某点的位置向量；为求解域。

在边界域上，需满足以下条件：

，，

， (2)

其中，为力边界；为位移边界；为裂纹边界(不连续面力边界)；为上指定的面力，为上指定的位移；为的外法向；为不连续边界上的面力。

不考虑裂尖场的奇异性，XFEM的位移模式可表示为

(3)

式中，为求解域中所有结点的集合；为常规有限元的结点处的形函数；为常规有限元部分在结点处的未知量；为Heaviside函数；为Heaviside改进的结点集；为与Heaviside改进相关的结点未知量。

由于和只是位置的函数，因此速度和加速度可以离散为

(4)

(5)

由式(3)~(5)，基于虚功原理原理可得原问题的XFEM形式的支配方程为

(6)

其中，

重力坝的地震响应分析

Koyna混凝土重力坝位于印度的Koyna河上, 坝高103 m , 坝底宽约70 m，坝顶宽度14. 8 m其几何外形见图1。1967年, 该坝坝址区域遭受一次6. 5级强烈地震作用, 地震期间水位约为91.75 m，地震后坝体发生开裂。作为少数几个在强震中破坏且有比较完整记录的重力坝之一，Koyna 坝一直是大坝抗震分析中的经典研究对象。

本文基于ABAQUS平台的XFEM功能，模拟了该重力坝在遭受地震时裂缝的开裂扩展过程，实际记录的Koyna水平向地震加速度为0.49 g，竖向地震加速度为0.34 g，见图2。施加的荷载包括坝体自重、静水压力、地震荷载，未计及动水压力的影响。计算时采用了两种计算网格，见图3。

图1 Koyna坝几何尺寸

(a) 水平向分量(b) 竖向分量

图2 Koyna地震时程

(a) 网格1 (b) 网格2

图3 计算网格

图4给出了两种计算网格下的裂纹形态，可以看出ABAQUS平台的XFEM计算结果的网格依赖性较强。图4(c)同时给出了其他研究者的基于有限元法的计算结果，虽然基于ABAQUS平台的XFEM的网格依赖性较强，但可以捕捉裂纹的位置，它不能模拟裂纹的分叉。图5给出了两种计算网格下坝顶顺河向位移时程曲线，两种计算网格下坝顶位移时程曲线的变换规律一致，网格2时，由于地震未结束时裂缝已贯穿，导致计算终止，位移时程曲线没有遍历整个地震过程(20 s)。

(a) 网格1(b) 网格2

图4不同计算网格下裂纹形态及与文献结果比较

图5 坝顶顺河向位移时程曲线

结论

本文基于ABAQUS平台的XFEM功能模拟了Koyna坝在地震荷载下的裂纹开裂扩展，ABAQUS平台的XFEM功能可以模拟动力作用下裂纹的开裂扩展，具有广阔的工程应用前景，能够正确捕捉裂纹开裂的位置以及扩展的路径，但其网格依赖性较强，也不能模拟裂纹的分叉，这方面的研究仍然需要进一步完善。

参考文献

[1] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 45(5):601-620.

[2] Moës N, Dolbow J, Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 46(1): 131-150.

[3] Ventura G, Budyn E, Belytschko T. Vector level sets for description of propagating cracks in finite elements [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, 58: 1571-1592.

[4] Dolbow J, Merle R. Solving thermal and phase change problems with the eXtended finite element method [J]. Computational Mechanics, 2002, 28(5): 339 –350.

[5] 方修君, 金峰, 王进廷. 基于扩展有限元法的Koyna重力坝地震开裂过程模拟[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2008, 48(12): 2065-2069.

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