圆锥摆模型的横向拓展

满孝旭

(枣庄市第三中学 山东 枣庄 277100)

通过平时的教学，笔者发现对于习题，学生总是教师讲过哪些题目就会哪些题目，而对于一些变形的题目则找不出思路，不知如何下手.再者，教师在平时的教学中经常给学生说要学会思考，要触类旁通，可学生还是不知道该怎么办.实际上，在教学过程中，我们应教会学生怎么去触类旁通.笔者以圆锥摆模型为例谈谈如何将基本模型横向拓展.

1 圆锥摆模型

小球的质量为m,通过质量不计的细绳悬挂于O点.小球摆动后细线与竖直方向成θ角且小球在水平面内做匀速圆周运动,半径为R(因小球与细绳摆动后形成一个圆锥形，故称之为圆锥摆).

图1

小球在水平面内做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心(合力指向圆心)，又因为是匀速圆周运动，合力提供向心力.依据牛顿第二定律，对摆球受力分析(图1)，得

F合=F向

F合=mgtanθ

即

小结：问题的关键在于合力指向圆心，合力等于向心力.

2 拓展

图2

【例1】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图2所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

分析：此题是一个很简单的圆锥摆模型的拓展，解决的办法还是先进行受力分析,然后得到方程F合=F向，即物体所受合力等于向心力.不同的是向心力表达式中的半径应表示为

R=r+Lsinθ

【例2】两个质量相同的小球甲和乙，用等长的不计质量的细绳悬挂于O点，且两球均在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示.甲运动的半径比乙的大(甲在乙的上方)，则

A．甲受到的向心力比乙的大

B．乙受到的向心力比甲的大

C．甲的角速度比乙的大

D.乙的角速度比甲的大

分析：读完此题后很多学生很快就能分析出A，B两个选项.设两绳子与竖直方向的夹角分别为θ甲和θ乙，由题意知，θ甲>θ乙，因

F合=mgtanθ=F向

图3

得甲受到的向心力大于乙受到的向心力.但到了后两个选项的时候就不知如何分析了.实际上基本思路没有变.用角速度表示出向心力，得方程

mgtanθ=mω2R

分析方程发现θ，ω，R三个量都不一样，根本判断不出角速度的大小.这时可能部分学生会选择放弃.但再读一遍题会发现，题目中还有一个条件，两绳长度一样没用上.由此，自然会想到用绳长表示半径，得方程

mgtanθ=mω2Lsinθ

化简得

因θ甲>θ乙，很明显甲的角速度比乙的大.

答案：选项A，C.

【例3】两个质量相同的小球丙、丁，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同.如图4所示，丙运动的半径比丁的大，则

A．丙受到的向心力比丁的大

B．丁受到的向心力比丙的大

C．丙的角速度比丁的大

D.丁的角速度比丙的大

图4

分析：有了上一道题做铺垫，这道题就容易多了.只不过在分析角速度时要用高度来表示丙、丁两个小球做圆周运动的半径，因为题目中说两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动.具体解析过程这里不再赘述.

答案：选项A.

图5

【例4】如图5所示，两绳一端系一质量m=0.1 kg的小球，另一端分别固定于轴的A,B两处.上面绳长l=2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和60°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?

分析：设两细绳都拉直时，A,B绳的拉力分别为TA,TB.小球的质量为m，A绳与竖直方向的夹角为θ=30°，B绳与竖直方向的夹角为α=60°.

当角速度无限小时B绳就不是拉直状态了，故角速度取最小值时B绳拉直且恰无拉力.受力分析如图5所示，可得

得

当角速度无限大时A绳就不是拉直状态了，故角速度取最大值时A绳伸直且恰无拉力.同理可得

得

所以，两绳始终有张力，角速度的范围是

小结：该类问题无论怎么拓展，解题的基本思想不会变，即合力提供向心力，只不过向心力的表达式要根据题意表示出来.

3 结束语

其实学习物理并不难，很多学生之所以认为物理难学，实际是没有把握住物理规律或者是对物理规律的理解不透彻.所以,在以后的物理学习中要特别注意对物理规律的理解，对基本模型和一些拓展理解透彻，才能举一反三.