梯形截面半导体量子线结构应力和应变分布的解析解

黄灵峰， 徐凯宇，2

(1.上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072;2.上海大学理学院，上海200444)

近年来，对低维半导体材料的研究是人们关注的热点问题之一［1-4］.低维半导体材料，即纳米半导体材料，具有与基底材料截然不同的性质.随着材料维度的降低和结构特征尺寸的减小(不大于100 nm)，量子尺寸效应、量子干涉效应、量子隧穿效应、库仑阻塞效应以及多体关联和非线性光学效应都会表现得越来越明显.制作纳米半导体材料有多种方法，如微结构生长与精细加工相结合的方法、溶液-凝胶法、异质外延生长法等，其中异质外延生长法是目前广泛应用的一种重要方法［5］.由于在低维半导体材料生长初期，基体上的成核是无序的，故其大小、密度及其在空间的有序性难以控制.因此，从理论上弄清量子线等半导体微结构的应力分布，并从实验上加以控制，实现有序可控生长，对于制备出实用化的量子器件至关重要.分析半导体微纳米结构的弹性场可以采用有限元法［6-9］、分子模拟法［10-11］、解析法［12-18］等.上述不同方法均有各自的优缺点，如分子模拟虽然可以反映微观世界的物理现象，但其计算的规模受到计算机计算能力等因素的影响;有限元法应用广泛，但其精度受网格划分、界面形状等因素影响;解析法往往需要一些必要的假设，如各向同性假设与等模量假设.不过，尽管解析法有此缺陷，但是从解析的结果中往往更容易找出结构弹性场的变化规律.在针对梯形截面半导体量子线弹性场的解析解的研究中，Gosling等［12］由夹杂理论推导周期排列梯形量子线结构的解析解，但是推导过程很繁琐，并且没有给出梯形量子线结构的应力和应变分布图和数值解.因此，本工作采用格林函数法分析横截面为梯形的量子线结构的弹性场分布，并讨论了量子线的顶端高度和初始失配应变对量子线结构弹性场的影响.

1 横截面为梯形的量子线结构的应力和应变场的解析解

由于组成量子线结构的2种半导体材料的晶格常数不同，在形成量子线时会发生晶格失配，从而引起初始失配应变.对于组成成分均匀的量子线结构，初始失配应变为

式中，ai为量子线的晶格常数，as为衬底材料的晶格常数.

对于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子线结构，其初始失配应变为

式中，aInAs和aGaAs分别为InAs和GaAs的晶格常数，x为量子线结构中InAs所占的比例，其中当x=1时，InAs/GaAs合金的初始失配应变为7.2%［18］.

考虑无限大体内含一个横截面为任意形状的量子线的弹性场.在各向同性和等模量假设的条件下，由初始失配应变引起的应力场可以通过格林函数积分［13］得到，即

式中，

方程(3)为量子线结构横截面上的应力场，与量子线轴向相关的应力为

当点(x，y)在量子线内部时，χ=1;否则，χ=0.

横截面为等腰梯形的量子线结构如图1所示，其中h为截面三角形的高度，f(0＜f≤1)为梯形的高度系数.由式(3)沿着量子线边界积分，便可得到量子线结构应力场的解析解为

式中，

通过胡克定律，很容易得到量子线结构的应变分布为

静水应变εh为

图1 等腰梯形量子线Fig.1 An isosceles trapezoidal quantum wire

2 结果与讨论

2.1 InP/GaAs量子线结构的应变分布

以InP/GaAs量子线结构体系为例，即以InP为量子线材料，GaAs为衬底材料，分析量子线结构的应变分布，ε0=－3.7%，v=0.360，E=6.07× 1010Pa［14］.图2～图4是假设当量子线结构的底角α=45°时，给出的εh，εxx，εyy沿y轴的大小分布.由图可见，量子线结构的生长高度为30 nm.

图2是截面为梯形的量子线的静水应变沿y轴的大小分布.从图中可以看出，静水应变在中心轴路径的分布类似一个有限深势阱，在量子线内部静水应变为常数，即εh=－3.24%，而在量子线外部基体上为0.静水应变不随量子线的高度系数f的变化而变化，这与经典理论一致.Grundmann等［6］利用有限元法、Gosling等［12］利用傅里叶变换法分析量子线结构时均得到了相同的结果.

图3和图4分别给出了截面为梯形的量子线的应变分布.从图中可以看出，量子线的应变在量子线内和量子线附近变化较大，而远离量子线时，应变趋于0;随着量子线高度系数的减小，横向应变εxx逐渐减小，而纵向应变εyy不断增大.这是由于随着高度系数f不断减小，量子线横截面积不断减小造成的.

2.2 InxGa1-xAs/GaAs量子线结构的应变分布

图2 截面为梯形的量子线的静水应变εh沿y轴方向的分布Fig.2 Hydrostatic strain εhalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

图3 截面为梯形的量子线的横向应变εxx沿y轴方向的分布Fig.3 Transverse strain εxxalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

图4 截面为梯形的量子线的纵向应变εyy沿y轴方向的分布Fig.4 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

对于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子线结构，v= 0.24，E=1.49×1011Pa［10］，取h=10 nm，α=45°.图5和图6给出了初始失配应变分别取7.2%，5.4%，3.6%，1.8%(即x=1.00，0.75，0.50，0.25)时截面为三角形的量子线的应变分布.从图中可以看出，量子线的应变在量子线内和量子线附近变化较大，而远离量子线时，应变趋于0;随着量子线初始失配应变的减小，横向应变εxx逐渐增大，而纵向应变εyy不断减小.这是由于随着高度系数x不断减小，量子线初始失配应变不断减小造成的.

图5 截面为三角形的量子线的横向应变εxx沿y轴方向的分布Fig.5 Transverse strain εxxalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

图6 截面为三角形的量子线的纵向应变εyy沿y轴方向的分布Fig.6 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

3 结束语

本工作基于各向同性假设和等模量假设，推导出了横截面为梯形的量子线结构应力和应变场的解析解，并讨论了量子线横截面的高度系数和初始失配应变变化对量子线应变分布的影响.研究结果表明：静水应变分量在中心轴路径基本不受量子点几何形状的影响，始终保持类似有限深势阱的变化;而当量子线顶端高度系数减小时，量子线的横向应变随之减小，纵向应变逐渐增大;随着量子线初始失配应变的减小，横向应变逐渐增大，而纵向应变不断减小.

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