多跨框架中改进的柱计算长度算法的应用

摘要：从文献[1],[3]中可知传统计算长度系数法假定较多，改进后的柱计算长度算法因为摈弃了部分不合理的假定其计算精度得到显著提升。以上内容均在单跨框架内予以验算，但在实际应用中经常碰到的还是多跨框架，本文通过对一个多层多跨框架进行计算分析，发现在多跨框架中原计算假定“刚架屈曲时同层的各横梁两端转角大小相等、方向相同”与实际情况不符，本文在不放弃该假定的情况下介绍一种修正方法，由此得到的多跨框架柱的计算长度精度良好。

关 键 词：改进的柱计算长度算法层间支援多跨框架计算假定

中图分类号：TU323.5文献标识码：A 文章编号：

Abstract：From the literature [1 ], [3 ] that the traditional calculation length coefficient method assumes that the more, the improved algorithm for the effective length of column instead of the part is not reasonable to suppose the computation accuracy is significantly improved. The above are in single span frame to be checked, but in practical applications often encounter or multiple frame, based on a multi span frames were calculated and analyzed, found in multiple frame calculation assumes that the" Central Plains frame buckling with the two ends of the beam angle layers of equal size, with the same direction ." does not match the actual situation, in this paper do not give up the supposed case to introduce a correction method, the resultant multiple frame column effective length of good accuracy.

Key words：Improved algorithm of post calculating length; Layer support; Multiple frame; Calculation assumption.

传统的计算长度系数法的假定"柱端转角隔层相等"、"各层层间侧移角相等"跟实际情况相去甚远，其计算得到的 值精确度较差，而且，还会有偏危险的结果出现。文献[1]提供一种改进的柱计算长度算法，放弃了部分不合理假定，根据公式推导得到一个一元二次方程用于求解两层有侧移框架柱的柱端约束，相应求得的计算长度系数在单跨框架中很理想。文献[3]提供了该改进方法在三层框架中的应用，通过求解一个一元三次方程，得到各层框架柱的计算长度系数。

文献[2]明确了确定框架柱计算长度系数的三个水平，水平一即传统方法，考虑同层各柱相互作用的方法为水平二，考虑层与层相互作用的方法为水平三。对于实际工程而言，所要求的是水平三（包括考虑同层各柱相互作用以及层与层相互作用）下的精确的框架柱计算长度。文献[1],[3]的改进计算长度算法无疑是对于水平三下的求解方法，但其考虑及用于验证的均为单跨框架，对于工程实际中存在的大量的多跨框架其求解精度如何是大家更关心的问题。本文先简述多层框架柱计算长度的计算公式，后面通过一个多层多跨框架算例分析，进而探讨改进柱计算长度方法在多跨框架的应用。

1多层框架柱计算长度算法

图2模型为三层有侧移框架柱脚更为一般的情况，图中BC柱与线刚度为 的梁B0在C点刚接。令 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，由屈曲时 （ ）得到三段柱各P值表达式，三者两两相等可得两个

图1 三层有侧移框架图2 柱脚一般的三层框架

方程，与文献[3]推导过程类似，经过简化得到：

式中，

代入其中任一等式，消去 得到关于 的一个一元三次方程：

式中， ，

，

，

，

式中， ，

，

，

，

令 ， ， ，这里 总是负值，也即方程（29）有三个实根。同时令 ， ，于是三个实根分别为： ，

，

。

至于该选择哪一个根作为我们的真实的 值，判断标准跟文献[3]底层柱脚固定的情况相同。即需要在得到 值和相应的 值后，分别写出各柱的 、 值，满足关系式 、 并且 的解即为我们所要求的解。对应图1，各柱的 值表达式为：

下柱BC： ，

中柱AB： ，

上柱DA： ，

继而得到各柱的 值。

对于多层框架问题，需要从薄弱层入手求解，所谓薄弱层，这里定义为跟其他层相比较，该层柱有先屈曲趋势的层。其判断方法可以较简单的由传统计算长度方法确定，即利用水平一的结果作薄弱层判断，求得各层柱的 ，相比较该值最小的层即为薄弱层。当确定了薄弱层后，该薄弱层的柱即为所要讨论的柱，而薄弱层柱的 值的确定，跟离该层柱较远层（即非相邻层）的梁柱关系很小。于是可以取出薄弱层和与薄弱层相邻的上下层作为一个一般的三层框架模型进行分析。在这个框架模型中，参量 、 、 、 、 、 的取值仍按以前的规定，容易确定。主要是这时的 和 如何取值，由于薄弱层总是得到更多的支援，所以这里作这样的假定：“薄弱层上下层柱远端的梁端约束全部提供给与薄弱层相邻层的柱”。采用这个假定后即可得到 和 的取值，按上面介绍的一般的三层框架计算模型，通过初等代数运算直接获得薄弱层柱的计算长度系数。按照以上步骤求得的计算长度值与机算精确解间误差很小，具体算例可参见文献[4]。

当薄弱层在底层或者在顶层的情况，假定不变。薄弱层在底层时，只需要取出第二层和底层柱，薄弱层如果在顶层，则取顶层和顶层下面的一层，按一般的两层模型求解。得到薄弱层柱的计算长度系数后，利用各层柱按比例加载并同时失稳的关系，即可得到其他层柱的计算长度系数值。

2多跨框架柱计算长度计算

以下讨论改进计算长度算法在多跨框架中的应用，图3所示四层三跨框架，柱脚固定，并令两边柱为H600x300x6/10( mm4)，两中柱H400x300x8/12 ( mm4)，楼层梁为H600x240x8/12( mm4)，屋顶梁H440x240x6/10 ( mm4)。跨度从左到右为8+6+8=22m，高度从下到上为4.5+4+4+4＝16.5m。

图3四层三跨框架

图4 梁柱合成后的等效框架图5 单跨荷载不对称框架

按照文献[1]所介绍的梁柱合成的方法求解，将每层柱的线刚度之和作为合成柱的线刚度，各柱端的梁约束相加作为的合成的梁端转动约束，轴力相加作为合成柱的轴力，得到如图2类似的半框架，为便于理解，将该半框架模型等效为如图4所示的对称单跨框架，图中等效后框架跨度计为8m，高4.5+4+4+4＝16.5m，计算可得柱子惯性矩 mm4，各楼层梁惯性矩相应为 mm4，屋顶梁惯性矩相应为 mm4。

当每层加载时，易知薄弱层在底层，按照梁柱合成的方法，对图4所示的框架求解，取出薄弱層及其相邻层，即取出图4中底层和第二层按柱脚固定的两层框架模型求解(文献[1])。本例中， ， ， ， ，求解得到底层柱 ，于是底层总的临界荷载 。求得了底层总的临界荷载，便可以利用考虑同层各柱的相互支援的公式 得到底层各根柱的计算长度系数值，图3中CD柱的计算长度系数值为 ，其机算精确值为 ，即结果较实际小了5.7%，不理想。

当仅在顶层加载时，易知薄弱层在顶层，按照梁柱合成的方法，取出薄弱层及其相邻层，即取出顶层和第三层按文献[1]一般的两层框架模型求解。本例中， ， ， ， ， ，求解得到顶层柱 ，于是顶层总的临界荷载 。求得了顶层总的临界荷载后，按上述水平二下考虑同层各柱相互支援的公式，便可得到顶层各根柱的计算长度系数值，图3中AB柱的计算长度系数值 ，其计算精确值为 ，即本例若直接利用梁柱合成的方法求解，其计算长度系数结果偏小了9.3%，差距较大。

经仔细分析，发现原假定“刚架屈曲时同层的各横梁两端转角大小相等、方向相同”(文献[5],暂称为假定1)对于上面多跨的例子不适用，中柱节点的转角只有边柱节点的转角的一半。这与单跨框架不同，单跨对称框架基本都满足该假定，图5所示例子为只在一边加载的单跨框架，其薄弱层所在梁的两端转角的比值 约为 ，所以单跨框架中由以上改进方法所得的结果都很理想。可见，多跨的问题还是所取用的假定不合理所致。另外从抗侧刚度方面考虑，对合并前图3所示框架和合并后图4所示框架分别进行线性分析，顶层施加横向单位力，可以得到各层的抗侧刚度如下表：

顶层( 107)

三层( 107)

二层( 107)

底层( 107)

图3框架 2.0925 2.1877 2.2385 2.7169

图4框架 2.4372 2.5628 2.6234 3.0188

合并后刚度提高 16% 17% 17% 11%

表1框架合并前后各层总的抗侧刚度的比较

表中列出了合并后各层总的抗侧刚度的提高幅度，因合并后各层层抗侧刚度提高，由于轴力等效负刚度（文献[6]），易知合并后屈曲荷载将增加，相应计算长度系数势必会减小，就会出现上面的问题。

3修正后的多跨框架柱计算长度

在不便放弃假定1的情况下，以下介绍一个较理想的解决方法。由于框架结构层屈曲荷载所产生的负刚度等于该层无轴力总的抗侧刚度，而用传统计算长度系数法计算某一层的 较简单，分别计算薄弱层在合并前后的 ，则可以得到合并后层抗侧刚度的变化幅度 。再将由梁柱合并方法所得到的计算长度系数作相应调整，由于 ，容易得到：

…（1）

如前例，当对图3所示框架逐层加载时，薄弱层在底层，分别计算出底层在合并前后（图3和图4）的 ，得到合并后层抗侧刚度的变化幅度 ，代入上式即得修正后的计算长度系数值，图3中CD柱的计算长度系数值为 ，相比精确值1.694，只偏小0.6%。

当对图3所示框架顶层加载时，薄弱层在顶层，分别计算出顶层在合并前后（图3和图4）的 ，得到合并后层抗侧刚度的变化幅度 ，代入（1）式即得修正后的计算长度系数值，图3中AB柱的计算长度系数值为 ，相比精确值2.276，只偏小2.7%。

4结语

从上例可以得到改进后的柱计算长度算法在多层多跨框架的应用方法，先采用梁柱合并的方法得到薄弱层柱的 值，再用传统计算长度系数法得到合并前后的层抗侧刚度比值，将其代入（1）式即可得到修正后的柱 值。该方法简单易行，经修正后的柱计算长度精度很高。

参考文献：

1 王金鹏，童根树. 考虑层相互作用的框架柱计算长度. 钢结构. 2004年第3期

2 梁启智. 高层建筑结构分析与设计. 华南理工大学出版社, 1992年广州

3 王金鹏，考虑层与层相互作用的框架稳定分析，浙江大学硕士学位论文，2004

4 陈骥. 钢结构稳定理论和应用.科学出版社,2001年北京

5 饶芝英,童根树. 钢结构稳定性的新诠释.建筑结构,2002,第4期

作者介绍：

王金鹏（男，1978年生，安徽桐城人，工学硕士，地址：合肥市长江西路3号春天大厦501室）

注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。