带外生负债的保险公司最优再保险-投资策略*

李婵娟，李仲飞，曾 燕

(1.中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275；2.中山大学岭南学院，广东 广州 510275;3.中山大学管理学院，广东 广州 510275)

近年来，在各种目标函数下研究保险公司的最优再保险与投资问题正逐渐成为保险精算的研究热点，其中最常用的目标函数有最大化保险公司终端财富期望效用和最小化破产概率[1-4]。另外，一些学者研究了不同市场下保险公司的最优再保险-投资问题[5-6]。同时，也有部分学者采用 Markowitz 的均值-方差准则作为保险公司的决策目标[7-8]。

现实中，任何个体和机构投资者都可能面临负债。目前已有不少学者研究了投资者的资产负债管理问题。例如，文 [9] 研究了面临负债的投资者在离散多期均值-方差模型下的最优投资问题，其中的负债可以是内生或者外生的；文[10-11] 研究了连续时间均值-方差框架下带外生负债投资者的最优投资问题；文[12-13] 将资产负债管理问题拓展到机制转移市场的情形，投资者仍采用均值-方差准则作为目标。上述文献中的风险资产价格均服从几何布朗运动，外生负债由几何布朗运动或带漂移的布朗运动刻画。另外，文[14] 研究了基准准则和均值-方差准则下连续时间资产负债管理问题。

对保险公司而言，一方面，由于保险公司的特性，可以将保单的未来赔付看作保险公司的内生负债。文[15] 解释了将保险公司的未来赔付看作负债的含义，此时的负债与市场无关，且负债的风险不能被完全对冲。另一方面，保险公司还需偿付外生的负债，如文[16] 考虑了需要偿还固定利率债务的保险公司的最优比例再保险与股利分配问题。因此， 研究带外生负债的保险公司的最优再保险-投资策略具有重要的现实意义。然而，目前研究带外生负债保险公司资产配置的文献并不多。文[17] 从资产负债平衡的角度研究了保险公司的产品设计和投资策略。文[18] 研究了离散时间框架下保险公司的资产负债管理。文[19] 研究了面临外生负债的保险公司的最优均值-方差投资策略。

以上文献或只考虑了保险公司的再保险与投资决策，或只考虑了保险公司面临外生负债时的投资决策，而没有考虑再保险。事实上，再保险是保险公司分散风险的一种有效手段。当保险公司面临外生负债时，购买再保险仍是其分散风险的有效措施。鉴于此，为了弥补现有研究的空白，本文考虑了在面临外生负债的情形下，保险公司如何在一个连续的计划期内选择再保险-投资策略，以最大化其终端财富的期望指数效用。风险资产和外生负债均由几何布朗运动刻画，盈余服从扩散模型。运用随机动态规划方法，得到了最优策略以及相应最优值函数的解析式。

本文结构如下，第二节建立基本的市场模型，给出了保险公司的盈余过程以及金融资产和外生负债的动态方程；第三节是模型求解，分别给出保险公司在对再保险策略进行不同限制时，面临外生负债的保险公司的最优再保险-投资策略的求解过程以及解的显式表达式；第四节通过数值算例阐述了外生负债与市场参数对最优策略与最优值函数的影响。

1 模型建立

当考虑大型保险公司投资组合时，单个索赔相对公司盈余规模来说非常小。本文类似于文[1-4,8]，采用扩散模型来刻画保险公司的盈余过程，即dR(t)=μdt+σdW0(t),其中，μ>0为保险业务的保费收益率；σ0>0表示保险业务的风险水平；{W0(t)}为一维标准布朗运动。

假设金融市场由1个无风险资产与n个风险资产组成。无风险资产的价格过程服从如下方程

dP0(t)=r0(t)P0(t)dt,P0(0)=p0

其中，p0>0为无风险资产的初始价格；r0(t)为确定性连续正值函数，表示无风险利率。第i(i=1,…,n)个风险资产价格过程服从如下方程

,

Pi(0)=pi

假设保险公司在计划期 [0,T] 内将其盈余连续地投资到这n+1个资产上，且不考虑金融市场上的交易费和买卖差价。记bi(t)为时刻t保险公司投资到第i个风险资产上的金额，b(t):=(b1(t),…,bn(t))T为保险公司的投资组合。除投资外，为了控制风险，保险公司将会在计划期 [0,T] 内连续地购买比例再保险或获取新业务，例如作为其它保险公司的再保险公司 (见文[3,7-8])。记a(t)为时刻t保险公司购买比例再保险或获取新业务的自留水平，a(t)∈[0,+∞)，t∈[0,T]。a(t)∈[0,1]对应购买比例再保险，此时保险公司只承担时刻t索赔的a(t)倍，索赔的1-a(t)倍由再保险公司承担；为此，保险公司需要将自身保费收入的(1-a(t))θ支付给再保险公司，θ>μ为再保险业务的保费收益率。a(t)∈(1,+∞)对应保险公司获取新业务。为叙述方便，称随机过程{a(t):t∈[0,T]}为保险公司的再保险策略。进一步，记保险公司时刻t的再保险-投资策略为π(t)=(a(t),b(t)T)T。

当采取策略π(t)时，记Xπ(t)为保险公司在时刻t的盈余。若保险公司的初始盈余为x0，则其盈余过程为

dXπ(t)=[r0(t)Xπ(t)+θa(t)+r(t)Tb(t)+

m]dt+σ0a(t)dW0(t)+b(t)Tσ(t)dW(t)

其中，m=μ-θ，r(t)=(r1(t),…,rn(t))T，-r0(t)(i=1,…,n)为第i个风险资产的超额收益率，σ(t)=(σij(t))n×n。进一步，假设∀t∈[0,T],σ(t)σ(t)T>δI,δ为某一正常数，I为n×n维单位阵。

考虑到外生负债的非负性，许多文献采用几何布朗运动刻画负债过程，如文[10,13,19]。类似地，本文假设保险公司在 [0,T] 内所面临的外生负债L(t)也服从几何布朗运动，其价值过程服从如下方程

dL(t)=L(t)[β(t)dt+γ(t)TdW(t)],L(0)=l0

(1)

其中，l0>0为外生负债的初始值；β(t)与γ(t)=(γ1(t),…,γn(t))T为确定性连续函数。这里外生负债值不受保险公司决策过程的影响。

从而，当面临外生负债时，保险公司在任意时刻t的盈余为Sπ(t)=Xπ(t)-L(t)，满足

dSπ(t)=[r0(t)Sπ(t)+L(t)(r0(t)-β(t))+

r(t)Tb(t)+θa(t)+m]dt+σ0a(t)dW0(t)+

[b(t)Tσ(t)-L(t)γ(t)T]dW(t),

S(0)=s0≡x0-l0

其中，L(t)服从方程 (1)。

2 模型求解

本节分别在保险公司 (i)进行投资且允许购买比例再保险或获取新业务，(ii)进行投资和购买比例再保险，不可获取新业务，两种情形下求解了外生负债影响下保险公司的最优再保险-投资策略。

2.1 可获取新业务

,L(0)=l0]

(2)

此时保险公司的再保险行为包含购买比例再保险或获取新业务。优化问题 (2)的最优值函数记为

类似于文[20]中的推导过程，可得关于V(t,s,l)的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，即

(3)

其中，(t,s,l)∈[0,T)×R×R+，边界条件为V(T,s,l)=U(s),对于任意二阶连续可微函数G(t,s,l)以及函数d(t)和e(t),算子D,D1,D2如下定义：

D(G(t,s,l))=Gt+Gs[r0(t)s+l(r0(t)-β(t))+m]+

D2(G(t,s,l),e(t))=Gsr(t)Te(t)+

Gsllγ(t)T[σ(t)Te(t)-lγ(t)]

记a*(t)和b*(t)为上述方程中两个极大值问题的极值点。

下面定理给出HJB方程 (3)的解。

(4)

(5)

σ(s)T)-1σ(s)γ(s)ds}

(6)

同时

b*(t)=(σ(t)σ(t)T)-1·

(7)

其中，L(t)是随机微分方程 (1)的解。

证明猜测 HJB 方程 (3)的解具有如下形式

(8)

其中，c(t),g(t),y(t)为待定函数且∀t∈[0,T]，满足c(t)>0，g(t)>0，c(T)=1，g(T)=1，y(T)=0。则有vs>0和vss<0。根据方程 (3)中的极值问题的一阶条件，有

[vsr(t)+(vsl-vss)lσ(t)γ(t)]

(9)

将a*(t)和b*(t)代入方程 (3)中可得

vt+vs[r0(t)s+l(r0(t)-β(t))+m]+vllβ(t)+

(σ(t)σ(t)T)-1{vsr(t)+(vsl-vss)lσ(t)γ(t)}=0

(10)

将 (8)式代入上式，经整理可得c(t),g(t),y(t)满足如下方程组：

η·

(σ(t)σ(t)T)-1r(t)=0,c(T)=1

(11)

g′(t)+g(t)r0(t)=0,g(T)=1

(12)

-ηg′(t)y(t)-ηg(t)y′(t)-ηg(t)·

(r0(t)-β(t))-ηg(t)y(t)β(t)+

ηg(t)(y(t)-1)r(t)T(σ(t)σ(t)T)-1·

σ(t)γ(t)=0,y(T)=0

(13)

逐个求解方程 (11)-(13)得解为(4)-(6)。

从而，HJB方程 (3)的解为 (8)式，其系数由 (4)-(6)式给出。将 (8)式代入 (9)式即得(7)式。证毕。

接下来给出最优解的验证定理。

定理2 设v(t,s,l),a*(t),b*(t)由定理1给定，则V(t,s,l)=v(t,s,l)，且策略π*(t)=(a*(t),b*(t)T)T是优化问题 (2)的最优再保险-投资策略。

v(T,Sπ(T),L(T))=v(t,s,l)+

因为v(t,s,l)是 HJB 方程的解，且v(T,Sπ(T),L(T))=U(Sπ(T))，所以

L(t)=l]≤v(t,s,l)

另一方面，因为π*(t)=(a*(t),b*(t)T)T使得 HJB 方程 (3)的右端达到最大值且等于0，所以当采取策略π*(t)时，上式变为等式。证毕。

注1 为考察外生负债参数对最优投资策略的影响，考虑函数r0(t),r(t),σ(t),β(t),γ(t)不随时间变化，即均为常量的情形。此时，

y(t)=1-exp{(-r0+β-rT(σσT)-1σγ)(T-t)}

最优投资策略为

σγexp{(-r0+β-rT(σσT)-1σγ)(T-t)}

可以看到最优投资策略是一个反馈控制，依赖于当前外生负债值。策略中的第一项是没有外生负债时使得终端财富期望效用达到最大的投资组合。第二项与外生负债有关，且当其他参数不变而β增大时，b*(t)随之增大，这说明当外生负债较大时保险公司将在风险资产上投资更多的资金。这是由公司的资本结构决定的。当保险公司的财务杠杆增大，也就是外生负债与资产比率增大时，公司的决策者倾向于投资回报率较高的风险资产。

注2 容易得到，当保险公司不涉及外生负债时，其最优再保险-投资策略为

(14)

可以看到，外生负债只影响保险公司的最优投资策略，对最优再保险策略没有影响。这是因为驱动索赔过程的布朗运动与驱动外生负债过程的布朗运动相互独立，保险公司面临外生负债与否不会影响其最优再保险策略。进一步，当保险公司再保险策略恒为1时，最优投资策略b*(t)仍由 (14)式给出。此时结论与文 [1] 中ρ=0时的特殊情形相同。

2.2 不可获取新业务

这里限定保险公司只能投资和购买再保险，不可获取新业务。保险市场的设定不变。保险公司所面临的问题仍为选择再保险-投资策略，使其终端盈余期望效用最大，效用仍然采用2.1节的指数效用。与前一节不同的是，此时的允许策略集变为

问题 (2)变为

,L(0)=l0]

(15)

其中，(t,s,l)∈[0,T)×R×R+，边界条件为V(T,s,l)=U(s),映射D,D1,D2的定义与2.1节相同。

引理1 令A1={(t,s,l)∈[0,T)×R×R+:

(16)

ββ(t)+

(17)

根据上述两个引理，可以证明 HJB方程 (15)的解由下面的定理给出。

定理3 设

(18)

z2=0

(19)

其中，g(t)由 (5)式给出，t0满足条件

(20)

HJB方程 (15)的解存在，且

(i)当t0∈[0,T]时，

(21)

同时

,σ(t)σ(t)T)-1·

,σ(t)σ(t)T)-1·

上述各种情形中，c1(t),g(t),y(t)分别由 (4)-(6)式给出，L(t)是随机微分方程 (1)的解。

我们猜测方程 (16)和 (17)的解均具有如下形式

,s,

(22)

文 [2] 考虑了保险公司最大化终端财富期望指数效用下的最优再保险-投资策略，其中投资受到不允许卖空的限制。根据文 [2] 的方法，当去掉其中不允许卖空的限制时，文[2] 得到最优再保险-投资策略同本章不考虑外生负债且市场参数r0,r,σ均为常数时得到的策略一致。

解的验证定理与定理 2 相似，从略。

3 数值算例

接下来，我们给出一个数值算例来阐述：(i)外生负债对保险公司最优策略的影响；(ii)获取新业务对最优再保险策略的影响；(iii)市场上各参数对最优策略与最优值函数的影响。

不失一般性，考虑金融市场含有一个无风险资产和一个风险资产且各个参数均为常数的情况。假设保险公司的初始财富x0=2,l0=0.5，风险厌恶系数η=0.5，各个参数的基本值为μ=0.5,σ0=1,θ=0.8,r0=0.05,r1=0.13,σ1=0.1,β=0.08,γ=0.05,T=1。

图1 不同计划期外生负债以及能否获取新业务对最优策略的影响

(i)外生负债对最优策略的影响。

通过对比保险公司面临外生负债和无外生负债两种情况下的最优策略来反映本文所引入的外生负债对保险公司策略的影响。考虑保险公司可以获取新业务的情况。此时保险公司的资产负债管理问题的解由定理1给出，纯资产管理问题的解由 (14)式给出。

从图1 的子图1-1和1-2可以看到，一方面，保险公司面临外生负债时在风险资产上的投资金额高于无外生负债的情形，这与注1的解释一致；另一方面，相对于较短的计划期 (T=1)，当计划期的长度变大 (T=20)时，外生负债对最优投资策略的影响变小。这是因为当计划期较长时，保险公司有足够的时间进行投资，积累更多的财富使得外生负债对公司终端财富盈余的影响变小，从而导致对投资策略的影响变小。

(ii)能否获取新业务对最优再保险策略的影响。

我们只需考虑保险公司不涉及外生负债时，能否获取新业务对最优再保险策略a*(t)的影响。当计划期T=1时，t0=-8.4，结合定理1和定理3可知，当可获取新业务时，最优再保险策略为在整个计划期内都开展新业务；不可获取新业务时最优再保险策略为保险公司承担所有的索赔。当T=20时，可获取新业务时的a*(t)由 (14)式给出，不可获取新业务时的a*(t)由定理3给出。图1的子图1-3描述了能否获取新业务对计划期长度T=20时最优再保险策略的影响。

(iii)市场参数对最优投资策略和最优值函数的影响。

首先考虑保险公司面临外生负债时各市场参数r0,r,σ,β,γ对最优投资策略b*(t)的影响。由图2可以看出，b*(t)是r0,σ的减函数，是r,β,γ的增函数。也就是说，当无风险资产的收益率或者风险资产的波动率增大时，保险公司投资到风险资产上金额减少；当风险资产的超额收益率增大，或者外生负债的漂移率或波动率增大时，保险公司投资到风险资产上的金额增多。

图2 市场参数对最优投资策略的影响

图3 外生负债和市场参数对最优值函数的影响

其次考虑保险公司在可获取新业务的情形下市场参数对最优值函数的影响。由图3可看出，首先保险公司面临外生负债时最优值函数小于无外生负债时的情形。其次对各参数而言，考虑外生负债时的最优值函数是r0,r,γ的增函数，是σ,β的减函数。也就是说，当无风险资产的收益率或风险资产的超额收益率增大，或者外生负债的波动率增大时，保险公司的终端财富期望效用增大；当风险资产的波动率或者外生负债的漂移率增大时，终端财富期望效用减小。

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