Broer-Kaup系统3类达布变换间的关系及其精确解

黄 坤, 陈友军

(华北水利水电学院 数学与信息科学学院 河南 郑州 450011)

0 引言

孤子方程是非线性方程领域中极具潜力的课题,它反映了一类非常稳定的自然现象.近年来,已经有许多求解孤子方程精确解的方法,例如反散射方法、双线性方法、贝克隆变换法、达布变换法和代数几何法等.这些方法各有特点,也有其内在联系. 其中,达布变换是一种自然而美妙的方法, 它从平凡解出发得到孤子方程的精确解.

考虑Broer-Kaup(BK)系统问题

(1)

BK系统的精确解能用来描述在同一水面上孤子追赶碰撞,因而受到物理学家和数学家的重视.通常可根据BK系统的Lax对构造3种不同的达布变换,并借助达布变换获得方程的单孤子解和多孤子解.研究BK系统3种不同达布变换间的关系,可以获得BK系统的精确解.

1 Broer-Kaup系统的3类达布变换

考虑BK系统的谱问题

φx=Uφ；φt=Vφ，

(2)

这里

其中u和v是两个势,λ是一个谱常数.

(3)

从而Lax对(3)式可转化为

(4)

(5)

(6)

这里

(7)

这里

在引理1，2，3中，α,β,γ,ak,bk,ck,dk(0≤k≤n-1)是关于x和t的函数.

当n=1时, 3类达布变换有下列特殊形式：

(8)

2 Broer-Kaup系统3种达布变换间的关系

以下考虑n=1时,Broer-Kaup系统3类达布变换之间的关系.

定理1若变量α,β,γ,ai,bi,ci,di(i=1,2)满足关系式

(9)

(10)

则T2(λ2)·T1(λ1)=T(λ).

证明由(9)式计算可得

同理可证(10)式其余各式成立.

定理2若变量α,β,γ,ai,bi,ci,di(i=1,2)满足关系式

(11)

则T1(λ1)·T2(λ2)=T(λ).

综合定理1和定理2可得Broer-Kaup系统3类达布变换之间的关系，

T1(λ1)·T2(λ2)=T2(λ2)·T1(λ1)=T(λ)，

3 Broer-Kaup系统的精确解

首先以平凡解u=0,v=1作为种子解, 代入(2)式, 可以得到2个基本解：

由上可得：

1)两个正碰的孤子解.当λ1<-1,λ2>1时,两孤子解u,v相互正碰,如图1.

2)两个追赶碰撞的孤子解.当λ2>λ1>1时,两孤子解u,v相互追赶碰撞.

3)两个周期解.当-1<λ1<1,-1<λ2<1时,两孤子解u,v是周期解, 如图2.

达布变换是求解孤子方程行之有效的方法.从平凡解出发,利用达布变换,求解出谱问题的新孤子解.如果利用3类达布变换间的关系,将会获得多孤子解及其碰撞的情形.

图1 Broer-Kaup系统相互正碰的孤子解Fig.1 Two-head-on collision soliton solution of Broer-Kaup system

图2 Broer-Kaup系统周期解Fig.2 The periodic solution of Broer-Kaup system

参考文献：

[1] Li Y S, Ma W X, Zhang J E. Darboux transformations of classical Boussinesq system and its new solutions[J]. Phys Lett A, 2000, 275(2):60-66.

[2] Li Xuemei, Chen Aihua. Darboux transformations and multi-soliton Solutions of Boussinesq-burgers equation[J]. Phys Lett A, 2005, 342(5/6):413-420.

[3] 张金顺,李华夏.2+1维levi孤子方程的Darboux变换[J].郑州大学学报：理学版,2001,23(3):13-17.

[4] 刘萍, 张金顺. Broer-Kaup系统的达布变换及其奇孤子解[J]. 西南师范大学学报:自然科学版, 2006, 31(5):31-36.