分组协同中继系统性能研究以及分组长度性能影响分析

刘少阳，习勇，李颖，魏急波，ALISTER Burr

（1. 国防科学技术大学 电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073；2. 中国电子系统工程公司研究所，北京 100141；3. Department of Electronics, York University, Heslington, Yo105DD, UK）

1 引言

在协同通信系统中，节点相互帮助进行数据转发，能够有效地对抗分布式无线网络中的信道衰落影响，从而提高系统的传输可靠性或系统容量。协同通信是目前的研究热点，基于不同的设计准则和信道条件假设，学者们提出了不同的协同方案和策略。在这些协同策略中，放大转发(AF, amplify-and-forward)和解码转发(DF, decode- and-forward)模式，DF包括固定DF和选择性DF，由于其实现简单，受到了广泛研究。对于AF模式来说，中继将收到的来自源节点的信号进行放大，并转发给目的节点；而对于DF模式来说，中继首先将接收到的来自源节点的信号进行解码，重新编码后转发给目的节点。

目前，有很多文献对协同AF和DF模式性能进行了研究，或对两者的性能进行了比较。这些研究，或者是基于不同的性能准则，例如中断概率[1]、中断容量[2]、误符号率(SER)[3,4]；或者基于不同的信道衰落条件假设，包括瑞利衰落[3]、莱斯衰落[5]；或者是联合多中继[3]和中继选择[6,7]进行性能分析；或者是结合混合 ARQ[8,9]系统进行性能分析等等。

特别地，Laneman在文献[1]中以中断概率为准则，评估了不同的协同策略在瑞利衰落下的性能；研究表明，除固定DF外，所有其他的协同策略均能够获得全分集增益，在高信噪比下，选择性 DF模式与AF模式两者性能等同。

尽管目前有大量的文献对不同协同策略下的性能进行了研究，这些性能分析主要是以SER或者BER（误码率）或者中断概率为准则的。然而，对于实际的协同通信系统来说，分析误帧率（PER,packet error rate）性能通常比分析误码率来的更加直观明显，因为对于大部分实际无线通信系统来说，数据总是以分组的形式发送出去的，而不仅仅是比特流；这样，系统的吞吐量性能主要取决于PER而不是BER。特别是对选择性DF来说，数据是基于分组的形式一帧一帧地传输，这样中继节点才有可能根据每一帧数据的CRC（循环冗余校验）进行错误检测，并且将分组数据的解码状态反馈给源节点。尽管目前大部分对协同通信系统性能的研究都假设中继节点能够对每个符号进行独立的错误检测，考虑到实际的信令开销，这几乎是不现实的。

另一方面，衰落信道下的误帧率分析长期以来也一直是研究的难点。文献[10]研究了 Turbo码在衰落信道下的误帧率性能，文献[11]基于 Chernoff上界推导了衰落信道下未编码系统的误帧率；文献[12,13]用数值近似的方法获得一般情况下（任意调制与编码方式）的误帧率，但仍存在一定的偏差；文献[14]基于一个新的积分不等式得出了一般情况下（任意分组长度与调制编码）衰落信道误帧率的紧上限。文献[15]分析了分组协同通信系统 AF模式和DF模式的性能，并讨论了分组长度（帧长度）对AF模式和DF模式性能差异的影响。本文与文献[15]的不同点与扩展之处在于：1）本文基于文献[14]提出的积分不等式，从数学的角度严格地证明了分组长度对AF模式和DF模式性能差异；2）本文的研究中考虑了编码系统；3）本文还分析了分组长度对于最优中继节点选择的影响。

2 系统模型

考虑一个典型的无线协同中继通信系统，中继节点R位于源节点S和目的节点D之间，如图1所示，源节点发送分组数据给目的节点，中继节点对源节点进行辅助转发。

图1 3节点协同中继系统模型

协同过程分为2个阶段：第一阶段，源节点广播信号至中继节点和目的节点。假设源节点发送功率为P的广播信号x，中继节点的接收信号ysr和目的节点的接收信号ysd可以分别表示为

第二阶段，中继节点转发接收到的来自源节点的复制信号xr（可能是错误的，或者是受到了噪声影响包含转发功率的信号，其功率大小依赖于转发模式）至目的节点，因此可将目的节点的接收信号yrd表达为

本文假设所有的信道都是准静止的瑞利衰落信道，在式(1)～式(3)中，hsr、hsd和hrd分别表示源-中继(S-R)信道，源-目的(S-D)信道，中继-目的(R-D)信道的瑞利衰落系数，该系数同时包括了路径损耗和瑞利平坦衰落的影响。nsr、nsd和nrd为高斯白噪声信号，具有相同的功率谱密度N0。

基于准静止的衰落信道模型，本文假设信道衰落系数hij( i ∈ { s, r} , j ∈ { r, d } ,i ≠ j)在一个分组的发送期间保持恒定，在分组与分组之间服从独立的衰落。在接收端，瞬时的接收信噪比（SNR）γij可以表示为

考虑具有CRC校验的分组系统，采用一定的纠错编码或者未编码方式进行数据传输。假设数据帧的接收瞬时信噪比为γ，并且定义f()γ为瞬时信噪比与误帧率的函数。对于未编码的分组数据传输，误帧率可以表示为

其中， b(γ)为在给定的瞬时接收信噪比时系统在高斯信道下的BER，n为数据分组的bit数目。对于非相关DPSK解调，BER可以表示为bDPSK(γ)=e-γ/2，而对于MPSK相关解调，BER形式为bMPSK(γ)=，这里Q(·)表示高斯Q函数，定义为Q( x)=，其中，k1, k2＞0为与调制相关的系数。

如果接收瞬时信噪比SNR具有概率密度分布函数p()γ，那么平均误帧率(fP)可以表示为

3 准静止衰落信道下的渐近平均误帧率分析

1) 定理1 假设f()γ为给定接收瞬时信噪比γ，系统在高斯白噪声信道（AWGN）下的误帧率函数，并假设存在，β为与信道相关的衰落系数，其概率密度分布函数为p(β)，假设p(β)在零点处可以展开为多项式p(β)=atβt+O(βt+ε)(at＞0,t＞-1,ε＞0)，那么在高信噪比下，系统在准静态衰落下的渐近误帧率可以表示为

证明 根据式（5），平均误帧率可以表达为

那么

值得注意的是，本文借鉴了文献[16]分析平均SER性能的思想，将其推广到平均PER的情况，核心的区别在于本文存在性假设。文献[14]指出，对于常见的调制和编码方式，不论分组长度，对于任何的m≥-1/2，假设存在是合理的。

2) 瑞利衰落下的平均误帧率

该积分通常不能够获得解析表达式，因此，定义一个新的变量

于是，式(9)可表示为

3) 两瑞利衰落分支最大比合并下的平均误帧率

对于2支路瑞利衰落，有2个指数随机变量β1和β2，设其均值分别为E[β1]=和E[β2]=，使用最大比合并，合并后的等效信道衰落系数β(β=β1+β2)具有如下的概率密度分布函数

p(β)的Maclaurin级数展开为

与前文类似，定义

式(14) 简化为

4) 关于w0和w1

通常来说，如果能够给定一个f(γ)的显示表达式，例如对于未编码分组传输系统，f(γ)可以用式(4)表示，那么w0和w1的值能够通过符号积分或者数值积分获得。对于BCH(n, m0, t)编码系统，n为分组长度，m0为信息比特数目，t为最大纠错能力，假设硬判决解码，那么f(γ)可以表示为

对于一般的编码系统，f(γ)可以通过界限技术进行估计，诸如联合限、球形限等。

为了分析w0和w1的关系，首先介绍一个积分不等式引理[14]。

引理1 定义f( x)为区间(a, b)上的有界非负的可积函数，并且满足0≤f( x)≤B 和( x)d x=w0；定义g( x)为区间(a, b)上的非负函数；假设f( x) g( x)dx 存在，如果g( x)是一个单调下降函数，那么

如果g( x)是一个单调上升函数，那么

如果下面2个条件任何一个成立，不等式（18）或不等式（19）将成为等式：

条件1 g( x)在区间(a, b)内保持恒定；

条件2 f( x)在区间(a, b)为阶越下降函数，并满足f( a+)=B 。

定理2 定义f(γ)为AWGN下的误帧率函数，并定义w0和w1分别为式(10)和式(15)，那么

如果f(γ)呈现出陡峭的特性，或者说存在一个合适的γ0，使得

则有：

证明 令g(γ)=γ ，那么对于任何的γ＞0，g(γ)是一个非负单调上升函数，由引理1中不等式(18)，可得

当式(21)成立时，通过引理1条件2，式(22)成立。

文献[14]讨论了f()γ陡峭特性，一般来说，编码系统的f(γ)较非编码系统的更陡峭，分组长度大的f(γ)较分组长度短的更陡峭。

图2 l(n)与分组长度的关系

4 协同中继系统平均误帧率分析

1) AF模式

对于AF模式来说，中继节点将接收到的信号进行放大转发，假设放大系数为A，即xr=Aysr，那么式(3)表达为

考虑到中继节点的功率约束，选择A2=P/(N0+P2)，源-中继-目的（S-R-D）信道的等效SNR可以表示为

AF同时放大了信号和噪声，因而S-R-D支路比S-D支路具有更大的噪声，为了利用MRC技术，将中继支路的信号乘以系数1/(1+A2)再进行合并，使用相关检测，合并前的S-R-D支路信号可以表示为

合并S-D和S-R-D分支的信号，最终获得的SNR为

对于瑞利衰落，βsr、βrd和βrd均为指数分布，令其均值分别为、和，则βAF的概率密度分布函数可以表示为[4]

从式(29)可以看到，以误帧率为性能参数，不论分组的长度，协同AF模式总是能够获得二阶全分集增益，和以误码率为参数取得的分集数一样，但获得的编码增益不一样，编码增益依赖于分组的长度和调制编码方式。

图3 协同AF模式下平均误帧率性能

2) DF模式

有2种基本的DF方案，固定DF和选择性DF。文献[1]的研究表明固定DF不能够有效地提供全分集增益，因为其性能受限于源-中继信道，因而本文仅考虑选择性DF。中继节点根据CRC校验判断能够正确解码源信号才对数据进行转发。假设瑞利衰落，中继节点的接收信噪比 SNR可以表示为γsr=βsrγ，基于式(11)，中继节点解码源数据的平均误帧率可以表示为

当中继节点解码数据正确，在协同的第二个阶段，以同样的功率P转发解码后的数据至目的节点，因此，目的节点的接收信号可以表示为

假设使用MRC合并，合并后的SNR表示为

基于式(16)，平均误帧率为

当中继解码错误，中继将向源节点反馈解码错误信息至源节点，那么在协同的第二个阶段，源节点将重新发送第一个阶段发送的数据至目的节点，假定源-目的信道在协同的2阶段保持不变，那么目的节点接收到的合并信噪比为

根据式(11)，获得平均误帧率为

最后，选择性DF模式下总的平均误帧率可以表达为

从式(36)可知，以误帧率为指标，选择性 DF模式同样获得类似AF模式的二阶全分集增益，然而，获得的编码增益与AF模式不一样。

图4给出了使用近似式(36)和仿真2种途径获得的选择性 DF模式下的平均误帧率。类似地，分别设置未编码分组传输和编码分组传输，仿真条件的设置与图3相同，其中，w0通过式(10)积分获得。从图4可以看出，当平均信噪比＞ 2 0dB，不论对于编码还是未编码传输，近似公式与仿真获得的结果非常吻合。

图4 协同DF模式下平均误帧率性能

3) AF和DF模式下的性能比较

为了对AF和DF模式下的性能进行比较分析，定义一个变量

通过定理可知，由于 w1＞/2，那么在条件①和条件③下，总是有L＜1，也就是DF总是好于AF。当分组长度足够大，f(γ)呈现出陡峭特性，w1≈/2，两者的性能相近。

假设对称的S-R和R-D链路，未编码分组传输，图5进一步通过数值计算给出了AF和DF的性能比较。从图中可以看出，DF的性能总是要比AF的好，并且分组长度越短，DF相对于AF的优势越明显。该结论与Laneman经典文献[1]的结论有所不同，文献[1]中，以中断概率为性能准则，在高信噪比下，AF具有和DF相同的性能。然而，从图5中可以发现，当分组的长度足够大，以误帧率为准则，AF的性能接近于DF的性能。也就是说，中断概率实际上给出了当分组为无限大时的一种特例，而对于实际有限的分组长度，DF性能总是优于AF性能。

图5 协同DF和AF模式PER性能比较

4) 最优中继位置

为了简化分析，假设中继位于源和目的之间，并将源和目的之间距离归一化；令源和中继距离为ρ，则中继和目的距离为1-ρ，于是可得

其中， α为路径损失因子，其典型值为 2～5之间[17]。

对于AF模式来说，式(29)可以变换为

对于任何的α＞1和任意的分组长度，当ρ= 0 .5，式(40)获得最大值。这个结论和文献[4]的结果吻合，该文考虑了N=1的特例。

对于DF模式，式(36)变换为

对ρ求导，可以得到当满足下式的时候可以得到最优值

假设路径损耗因子分别为 α = 2 ,3,4和未编码分组传输，图6给出了AF和DF模式下的最优中继位置曲线。可以看到，相比于AF模式，其最优中继位置始终位于中点，对于DF模式，最优的中继总是更加靠近源节点，特别是对于大的路径损耗因子。该结论同样也可以用定理 2来解释，由于/(2w1) ＜ 1，那么ρ＜0.5；考虑N=1和α=2的特例，可以得到ρ≈0.14。

图6 最优中继位置和分组长度关系

然而，从图6也可以看出，当分组长度变大，对于DF模式，最优的中继位置逐渐平移到中点处，与AF模式类似。由前文可知，当分组长度足够大，/(2 w1) ≈ 1，可得ρ≈0.5。例如，对于适度的中等分组长度200byte (1 600bit)，对于所有的α值，最优的中继节点位置都在大约0.45处，与中点非常接近。这意味着对于实际的分组发送，只要粗略地选择大致位于中点处的中继节点，就可以近似地获得最优的性能，这个结论对于中继节点的选择具有指导意义，并不需要假设中继节点、源节点和目的节点一定位于直线上。

5 结束语

本文分析了分组协同中继系统在高信噪比下的渐近误帧率性能，而目前大多数的研究主要集中在SER或者中断性能上。考虑到目前实际的大部分通信系统总是以分组而不是比特流的方式进行数据传输，本文的研究具有重要的实际意义。本文研究表明以误帧率为准则，AF和选择性DF模式都能够获得全分集增益，但是编码增益不同，编码增益随着分组长度变化而变化。在高信噪比下，DF模式的渐近误帧率性能总是好于AF模式，然而随着分组长度的增大，两者的性能接近。本文同时分析了最优的中继位置问题。对于AF模式来说，最优的中继总是位于源和目的节点的中点处；而对于DF模式来说，最优的中继位置总是更靠近源端，当帧长度增大，最优的位置向中点移动。

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