在知识建构中演绎精彩生成——从一堂没有完成『教学任务』的数学课谈起

☉江苏省姜堰第二中学 何拓程

一、背景描述

著名教育家叶澜教授有过这样一段精辟的论述：“课堂教学是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循既定线路的没有激情的行程.”由此可知：课堂教学是一个鲜活的动态生成过程.在这一充满生机的过程中，面对一个个灵动的学生，教师如何才能利用自己的教学智慧，抓住稍纵即逝的教学机遇，引领学生全身心地投入到知识的建构与再创造中，以不断演绎课堂教学的精彩？笔者就一堂没有“完成”教学任务的数学课为例，对此作出必要的诠释，并提出一些教学反思，供大家参考.

二、课堂实录

2.1 预料之中的错误

这堂课是从下面的一道习题入手的：

引例 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法有（ ）.

A.140种 B.84种 C.70种 D.35种

作为一节课的引入，这个题目并不难.以我过去的教学经验来看，将有相当一部分同学会出现错误，我之所以将此题拿出来，就是防患于未然，使学生以后能注意到这方面的问题.这是我很为之得意的“问题”引入法，课在进行中……学生对这个题目显然也颇为自信，不一会就做出来了：

面对预料之中的错误，我故作镇静地点评道：很好，第一步满足“至少”这一条件，第二步满足“取3台”的要求……然而这时课堂内有个学生困惑地嘟呶着：“我是分类做的，怎么结果不同呢？”这正是我所需要的，于是立即请这个同学回答，并鼓励他大胆一点.

2.2 合乎情理的探究

教师：请同学们思考，究竟哪一个是错的？（我很是得意，课在我预先设计的框架内进行）

学生们相互讨论，气氛十分热烈，但是结果还是两种，谁也说服不了谁.这时，我建议他们可以排排看.

然而那么多种取法怎么可能很快排出呢？时间一分分地过去了，我有点着急了，因为这才是这节课的一个序幕（.这种急是没有道理的，因为充满活力的课堂并不是完全能够预先设计的，教师不可能洞察学生的全部，只能是引导者）这时班上一个头脑很灵的小男生不举手就抢着回答.

生3“：可简化这个题目.”

我问结论是什么，他不好意思地说，还没做出来呢.

为了节约时间，我就直接讲下去了……（败笔！应该让学生3自己做下去，而且要让其他同学参与讨论如何进行简化，并帮助分析找出问题的症结所在）

教师：我们将问题简化：从2台甲型和3台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？

将2台甲型电视机分别记作A1、A2，3台乙型电视机分别记作B1、B2、B3.第一步选的如果是A1、B1，第二步选的如果是A2，得到结果A1A2B1；但是如果第一步选的是A2、B1，第二步选的是A1，得到结果也是A1A2B1.而这种重复的种数就隐含在生1的解法中.因此，生2的解法是正确的.

虽然，在这题上花了些时间，我也能让学生得到思考，并且能让学生知道该题错因，个人认为效果应该不错（有点自以为是了，如果让学生自己动手去感受，可能是另外一种情形），于是我们接着按照课前的教学设计继续下去.

2.3 出乎意料的结果

例1 已知A={x|1＜log2x ＜3，x∈N*}，B={x||x-6|＜3，x∈N*}.问：从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，共可组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？

这是《数学周刊》第44期上《计数原理》中的一题.

我选择此题是因为原题提供了错误的解答，而这个错误恰恰是刚才讨论过的，我预计不会有很多同学再发生上述错误了.然而事情和我想象的相反，绝大多数学生是这样解的：

由已知得A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6，7，8}.从A中的4、5、6、7中取1个元素，共有种取法，再从B中取3个元素，有种取法，可组成无重复数字且比4000大的自然数共有个；从A中取3，再从B中取3个元素，有种取法，可组成无重复数字且比4000大的自然数共有个.故满足题意的自然数共有A=564（个）.

这和原题提供的解法一样——是错误的！

这样的结果让我大为失望：为什么精心设计而且非常流畅的课，效果却不好呢？（完全没有必要这样，一道没有研究透彻的引例就能变成解决一类问题的“良药”？）我无奈地再次类似于引例的讲法进行分析、讲解（这种做法明显不妥，应该让学生自己去探究，去发现，可在学生充分研究的基础上得到两个问题之间内在的一致性，因为学生对题目的熟悉程度不可能达到教师的水平，更不要说能一眼看出它的出处）.

由于节外生枝用去了不少时间，课堂气氛一下子也随我的情绪而落到了冰点.我只好拿出教师传统的法宝——“讲”（败笔！这时最需要冷静，任何情况下都不要忘记教师只是一个配角.由于失去了最佳的探究时机，学生可能还会有类似的错误.）

2.4 虎头蛇尾的结局

教师：将集合A与集合B并起来得到{3，4，5，6，7，8}，然后再进行思考…（还好，没有一讲到底）

教师：很好！能特别注意到无重复和比4000大的条件，有没有其他解法？

生5：可用去杂法：不考虑比4000大的条件，只考虑数字不重复的四位数共有种，去掉3排在最高位的，共有-=300（种）.

生6：还可以先在4、5、6、7、8中选一个排在四位数的最高位有种方法，第二步再在剩下的5个数字中选3个排在四位数的后三位有种排法，故共有种排法.

这时课堂气氛又活跃起来了，我的情绪也逐步调整到位，再次启发学生有没有新的思路.

教师：好！同学们讨论得很热烈，课后请大家思考：为什么同一类问题，当形式略有改变时会出现如此出人意料的结果呢（其实最应该思考的是我自己）？

虽然讨论还算热烈，但是一堂课的时间已到，距离原先准备的教学目标还有一定的差距，因此，我心里觉得很不愉快，一堂课就这样虎头蛇尾地结束了.

三、教学反思

课后，笔者对这节课进行了认真的反思：

3.1 课堂设计的机械性

建构主义认为：知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助教师和学习伙伴等其他人的帮助，通过意义建构的方式而获得的.一开始笔者就走入自己设下的误区，认定学生应该按照教师设计的套路一步一步地获得知识，忽略了学生是活生生的人.同时，认为用一道题就能解决一类问题这种想法本身就是不科学的.因此，生动的课堂不能只是按照预设的教学方案，机械、僵化地传授知识的线性过程，而应该是教师充分捕捉课堂信息，不断调整教学预设的动态生成的过程.

3.2 传统观念的顽固性

新课标中指出：“教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流.教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.”本节课中笔者虽然已经注意到让学生自主探索与合作交流，但是，受传统观念的束缚，仍然放不开手脚，特别是出现自已意想不到的局面时，传统的完成“教学任务”的观念立即占了上风，而学生是否掌握、是否理解和运用就放在次要的地位.要知道，我们最终的“任务”是帮助学生发展其优良的思维品质，而不是完成我们自己所设计的“任务”.课堂是一个充满活力的开放阵地，怎么可能一定会完全落入教师预先设计的框架内呢？

如果笔者在得到例1的错解后，冷静地肯定学生解法中的合理的因素，同时引导学生自主地找出错误的原因，并帮助学生寻找解决问题的方法，这样就能有效地避免前面出现的冷场.以下是笔者经过思考后在另一个班上课的部分实录：

教师：好，我们一起来分析一下这个答案.

学生很快就自己分析起来，因为有引例的铺垫，找出解答中的错误并不难.自己发现错误远没有让别人指出错误那么使人难堪，因此课堂情绪没有受到影响.

教师：我们发现了问题的症结，已经向成功迈出了一大步，但我们也不必全盘否定前面的成果呀，能不能进行一些改进，化腐朽为神奇呢？

同学们认真地思考着……

生1：可以用去杂法，A中取4，B中取5、6、7；A中取5，B中取4、6、7；A中取6，B中取4、5、7；A中取7，B中取4、5、6，得到的是一样的.

生2：还有呢，在A中取4，B中取5、6、8；A中取5，B中取4、6、8；A中去6，B中去4、5、8，得到的也是一样，应减去2.

教师：这种情况共有多少种呢？

学生在讨论着.

同学们深深地叹了一口气.

教师：从以上解法看，的确不好做，甚至很烦琐.能否找到一个简洁方法呢？

同学们再次深思，几个学生小声议论：重复的原因是A、B中有重复的元素呀.

教师：说得好！假如没有重复的元素就好了.

生4马上举手，跃跃欲试.

生4：可将A、B并起来考虑.

教师：怎么想到的？合理吗？

生4：没有做到底，但我想至少是合理的，因为集合中的元素都是互异的.

教师：好，那我们就试试看吧.……

这样不急不躁，稳步推进，较好地调动了学生的积极因素，教学的品味在交流中升华.

3.3 不良情绪的制约性

课堂教学是一个动态生成的过程，有效的数学课堂离不开教师的精心预设，但更需要精彩的生成.教学活动应该是紧紧围绕着学生的思维活动而展开的，学生只有亲身体验了发现问题、提出问题、探究问题、解决问题的过程，才能感受到探究过程的艰辛和探究获得成功的乐趣，因此特别要提倡师生平等、教学相长，创造民主、活跃的气氛，努力使学生释放出巨大的创新潜能，作为设计者、点拨者、赏识者和点评者，教师要积极地鼓励学生大胆猜想、合理联想，勇敢地发表自己的见解，而且要给学生创造提出问题的条件和机会，努力培养学生的问题意识.而笔者在教学进程受阻时的不良情绪影响了课堂的气氛，使学生失去积极思维、勇于探索的机会，这是很不科学的，要知道和谐、快乐是一种能力，我们要带着智慧进课堂，更要将快乐留给学生.

四、结束语

一堂课的成与败不能仅仅看是否完成了本节课的教学内容，获得了多少知识，更重要的是在一节课的学习中，训练了学生什么样的技能，培养了学生什么样的能力，发展了学生什么样的思维品质.一堂好课，更应该从顺应学生的发展，使学生领悟到更多东西的角度上来考察，这才是学生最需要的，也是最具生命力的，同时也是最有意义的课.