内插法简析

张春敏

（襄阳职业技术学院经管学院 湖北 襄阳 441021）

1 内插法的内涵

我们知道，当我们在投资决策时想要知道方案的实际利率、项目有效期、项目内含报酬率和债券到期收益率时，往往都需要使用内插法来求解。而现行相关教材中既没对内插法以明确定义，也在其解法上含糊其辞。这往往使初学者深感困难。而内插法的实质其实就是根据指标之间的相关关系（正相关或负相关），利用数学原理在有限区域内看成是成正比或反比关系来推算其数值的一种求解方法。诸如利息与期数、利率与净现值、现金流量与项目期限等相互间都存在一定的相关关系。如果我们要想知道实际利率、项目周期、项目内含报酬率及债券的到期收益率等，都必须应用内插法求解。

2 利用“数轴”的“比例推算法”求解

2.1 现行内插法存在的缺陷

现行相关教材中的内插法求解存在两大缺陷：其一“内插法或称插补法、插值法”无明确定义，而实际上它就是在有限范围内的 “比例推算法”。即根据指标值之间的相关关系而采用数学上的“比例推算法”。其二，求解方式模糊、单一，求解时只采用下界临界值求解。而利用“数轴”采用“比例推算法”，既可以采用下界临界值也可以采用上界临界值求解，其结果并无二致。

2.2 利用“数轴”的“比例推算法”求解

假设某投资者本金1000元，投资5年，年利率8%，每年复利一次，其本利和是1000×（1+8%）5=1469元，若每季复利一次本利和 1000×（1+8%÷4）4×5=1486 元， 后者比前者多出（1486-1469）17元。此时8%为年名义利率，小于每季复利一次的年利率 （即实际利率）。要求实际利率需用内插法来求解。

根据上述资料， 已知 1000×S/P8%，5=1469， 又知 1000×S/P9%，5=1000×1.538 （查复利终值系数表）=1538。 而要求的1000×S/Pi.5=1486中的i介入8%～9%之间，我们利用“数轴“的“比例推算法”求解过程如下：

第一，设一数轴，根据“数轴“原理把指标值在“数轴”上标示出来（见下图）

第二，计算数轴上各已知点距离

第三，利用各点数值与利率的相关关系，按“比例推算法”求出终值1486或终值系数为1.486点的利率。其具体程序步骤如下：

（1）计算数轴各点间的距离

由“数轴”上各点数据可知，点S/P8%.5与点S/P9%.5终值系数距离为1.538-1.469=0.069,终值距离为1538-1469=69，二点间的利率距离为9%-8%=1%，点S/Pi,5与前后两点终值系数距离分别为1.486-1.469=0.017，1.538-1.486=0.052，终值距离分别为1486-1469=17，1538-1486=52。

（2）设点S/Pi,5与前后两点i的距离分别设为X和Y

因为利率与终值或终值系数从左至右是成正向变化的，所以点S/Pi,5的实际利率是介于8%～9%之间的，应为 8%+X或9%-Y(按“比例推算法”原理)。

（3）利用“比例推算法”及点P/Si,5上下临界值求解

按 “比例推算法”X、Y的求解表达式应为0.069：0.017=1%：X 或 69：17=1%：X、0.069：0.052=1%：Y 或 69：52=1%：Y

因此 S/Pi.5点的利率应是 8%＋0.25%=8.25%或者 9%－0.75%=8.25%

3 利用“数轴“进行比例求解应注意的问题

无论用任何方式应用内插法求解，有一个问题必须清楚，那就是这种求解方式显然建立在指标值之间的相互关系上，而且是在尽可能小的区间范围内的一种成比例（正比或反比）关系，而事实上数值之间并非完全成比例关系。因此在求解时，一定要注意在采用逐步测试法时测试的间距不应过大，利率以不超过2%为宜，否则得出的结果便不精确了。

［1］中国注册会计师协会.财务成本管理[M].北京：中国财政经济出版社,2010.

［2］财政部会计资格评价中心.财务管理[M].北京：中国财政经济出版社，2010.