一道数列竞赛题的另解

☉湖北省汉川一中 陈 春

题目 已知数列{an}满足：a1=2t－3（t∈R，且t≠±1），

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若t>0，试比较an+1与an的大小.

这是2011年全国高中数学联合竞赛试卷（A卷）第10题，该题综合性较强，思维量较大，能力层次要求高，区分度较好.通过研究，笔者发现这道题还有别于参考答案的新思路、新解法，呈现出来和大家一起分享.

①当n=1时，a1=2t－3，命题成立；

点评：递推数列题型的考查，对学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力要求较高，而利用数学归纳法可以在一定程度上降低数列问题证明的难度，学生操作起来也比较容易，因此数学归纳法是证明与正整数n有关命题的一个重要方法.

令f（t）=（2nt－2n－2）tn+2=2n·tn+1－（2n+2）tn+2（t>0），求导可得：

f′（t）=2n·（n+1）·tn－（2n+2）·n·tn－1=（2n2+2n）·tn－1·（t－1）.当01时，f′（t）>0.所以f（t）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，即f（t）min=f（1）=0，故对t>0且t≠1，有f（t）恒大于零，因此an+1－an>0，即得an+1>an.

再令g（x）=tx·（xlnt－1）+1，则g′（x）=tx·lnt·（xlnt－1）+tx·lnt=tx·ln2t·x.因为x>0，故g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）上递增.又g（x）在x=0处连续，g（0）=0，故对x>0，g（x）>0，所以f′（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上递增，所以数列{an}为递增数列，即an+1>an.

点评：数列是一类定义在正整数集{1，2，3，…，n}或它的有限子集上的特殊函数，数列问题常常蕴含着函数的本质和特征.解法1先作差，再构造函数，并利用导数判定函数的单调性，从而得到数列的单调性；解法2直接根据数列通项公式构造函数，然后通过分析函数的单调性来得到数列的单调性.

数列作为离散函数的典型代表之一，在学习中应重视函数思想的渗透，充分利用函数的有关知识，以它的概念、图像和性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁.通过数列与函数知识间的相互融合，使知识网络得以不断优化和完善，同时也会使我们的思维能力得以不断发展与提高.