居高临下 化繁为易：高中数学教学渗透高等数学的思想方法的探索

☉浙江省台州金清中学 梁建远

一、问题的提出

高考《考试说明》指出：“数学学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能.”以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号，形式加以叙述，成为当前高考的一道亮丽的风景线.这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，考查了考生的学习潜能，有利于中学数学与高等数学和谐接轨.

首先，高中数学教学如果能够让学生掌握一些高等数学的基础知识，则可以适应数学发展和学生可持续发展的需要，而高等数学的思想方法在开阔学生视野、指导高中数学解题等方面的作用就尤为突出了.比如：连续函数在闭区间［a，b］上一定有最大值、最小值.用原有的高中数学知识在解决高次函数时，就会显得捉襟见肘，力不从心，但是利用导数的知识和方法，就显得得心应手，从容不迫.再如，数集和点集（平面的和空间的）是集合的特例.在高一讲述“集合”之后，在代数、立体几何和其他数学内容的教学中，可以而且应当普遍使用集合符号，逐步使数学语言规范化.如立体几何中，点在线上（A∈a）；线在面内（a⊆α）；平面α与平面β相交与直线a即α∩β=a.

其次，对于高中数学中某些不易交待清楚的问题，要了解其在数学史上产生和解决的过程，弄清楚它们在高等数学里的背景.例如，为什么把“0”作为第一个自然数？自然数与有理数、实数相比较，孰多孰少？实数为什么可以和数轴一一对应？这些对于中学生未必要搞清的问题，数学教师则必须弄清楚其中道理.这就要求我们利用数学史和高等数学知识，对这些问题予以说明.当学生提出这些疑问时，能够清楚地给以科学的回答.

再次，用高等数学思想方法，指导高中数学问题的解决.例如，根据同构观点，利用“关系映射反演原则”对数学问题进行等价变换和求解.利用逻辑真假值表来检验命题证明过程的正确性.利用向量代数方法证明平面和立体几何题.利用射影变换、仿射变换方法对某些几何题寻求证明思路等.

最后，在高中数学教学中，应该适当地对高中数学与高等数学的衔接处进行研究，用高等数学的思想方法指导中学数学教学是必要的.笔者对此进行研究，以期抛砖引玉.

二、高中数学教学渗透高等数学思想方法举隅

1.例析微积分方法的应用.

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分.无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题.比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念.如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分.我们可以利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间［a，b］上的最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考的又一热点.

例1（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为lm的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图1）.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为xm，则1

当10，即V（x）在（1，2）上为增函数；

当2

从中可看出：帐篷的体积函数是一个二次函数，如果用除导数之外的其他方法，就会非常困难.应用导数这一工具，则显得非常容易，还突破了分类讨论的难点.当然，我们还可以用微积分的方法求函数的单调区间、求曲边图形的面积，在数列求和中的应用导数.再如求解变速直线运动的位移是物理学上的一个难题，如果用纯物理的方法就很难解决，但是我们用积分的方法，就简单得多了.

2.例析极限思想方法的应用.

新教材中“双曲线的几何性质”学习，可以由学生自主动手探究：用几何画板画双曲线，在位于第一象限的曲线上画一点M，测量点M的横坐标xM以及它到直线的距离d，沿曲线向右上角拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么？

学生通过操作，直观感受，在右上角拖动点M时，xM（无限）增大，d逐渐减小，（无限）趋向于零.也即双曲线在第一象限与直线随着x的（无限）增大而无限接近，但永不M相交.仿照上面的作法，我们就可以得到双曲线在其他三个象限与直线的接近情况.这样双曲线的图像就更加规范、准确并且迅速，同时为解题提供了方便，也使我们利用有限的图形了解到无限.我们可以利用极限的方法求双曲线的渐近线方程.

3.例析向量在函数、几何上的应用.

由于向量融数、形于一体，是沟通数与形的重要桥梁，因而向量在解析几何中有着广泛的应用，为解决解析问题开辟了一条崭新的途径.向量法的优点在于思路清晰、方法独特.因此通常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐形成的高考命题的一个新的亮点，平面向量与解析几何的结合通常涉及到两直线夹角、平行、垂直等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.

同样，用向量知识解证立体几何问题，常常比用几何法简便，其优点在于向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运用繁重的定理、公理等进行推理的思维过程，在立体几何中求空间面，空间距离及处理垂直面关系显得尤为方便.利用向量法解证立体几何问题的基本思想方法是：将有关的线段与相应的向量相联系起来，并用已知量表示未知量，再通过向量的运算进行计算或证明，从而达到解决问题的目的.

三、用高等数学的思想方法指导中学数学教学应注意的问题

1.教师要不断提高自身的数学素养.

教师要不断加强对数学史和数学方法论的学习与研究，积极参与数学的教改探索与实践，提高学术水平、教学水平和数学方法论的素养.比如我们以“中值定理”为背景研究中学数学中的不等式

分析：（本题的证法较多，这里主谈的是如何利用导数来证明）教材用运动变化的观点将曲线C的割线PQ的极限位置所在的直线定义为C在点P（x0，f（x0））处的切线.由这个定义出发，我们可以发现，若函数y=f（x）在其定义域内连续且可导，则其图像上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）连线的斜率取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率（如果存在）的范围，利用这个结论，解决上述问题.

我们从这个例题中可以看出以高等数学知识为背景，利用中学数学知识解决问题.所以，如果我们能利用高等数学的知识背景思考就不难发现中学数学知识内容，试题的选编可以从高等数学中找到影子.

2.教师要抓准知识与思想方法的结合点.

课中要深入钻研教材和参阅有关参考材料，要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，要预先把全书，每单元章节所蕴含的数学思想方法及它们之间的联系搞明确具体，然后统筹安排，有目的、有计划和有要求地进行数学思想方法的教学.

3.根据教学内容的类型和特点，探索高等数学思想方法渗透教学的途径.

数学思想方法蕴含在数学知识的产生、内涵和发展之中，故一般都可采用以分析解决问题为主线的启发式和发展式的教学方法，具体来说，要注意引导学生抓住：⑴展示或分析过程，如概念的形成过程、定理与法则的发现过程、公式的推导过程、证明思路和解决问题方法的探索过程等；⑵揭示本质，指揭示概念、定理、公式或方法的本质.例如极限方法实质是一种以运动的、相互联系和量变引起质变的辩证观点去分析和解决问题的数学方法；⑶找关联，指要搞清相近概念和定理之间的联系与区别；⑷评论与提出问题，指通过对重要的概念、定理或解法等进行一分为二的评论，从而提出有待进一步研究的新问题.比如在展现概念等知识发生过程中要渗透数学思想方法，在讲解定理、公式证明或推导思维教学活动过程中要揭示数学思想方法，而在应用和问题解决的探索过程中则要激活数学思想方法.此外，要充分用数学思想这个锐利的武器去突出讲透重点、突破化解难点、分清疑点和提出改进局限点.

4.认真上好绪论课和复习小结课.

绪论课和复习小结课是进行数学思想方法教学的良好阵地，比如绪论课一般都要讲述知识产生的背景，发展简史，研究对象、基本和主要的问题、研究的思想方法和与其它各章知识的联系等.据此，教师可抓准时机在绪论中直接简介有关的数学思想方法，而在复习课中则可顺势总结概括本章用到的数学思想方法.故教师应充分备好和讲好各章的绪论与复习课.掌握数学思想方法必须有一个反复认识、训练和运用过程.为此，在每章节的课外练习以及期中与期末考试中都应有一定数量的数学思想方法题目.此外，还要指导学生做好各章或单元的小结，阅读有关数学思想方法的参考书或举办专题报告会.

总之，高中数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在.因此，用高等数学的思想方法指导高中数学教学，就要把高等数学中的某些概念和理论与高中数学里相应的原型和特例联系起来.这样不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握高中数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理数学教材，化繁为易，提高教学质量和教学水平，拓宽学生的解题思路，切实提高学生的解题能力.

1.刘宏武.新课程的教学方法选择.浙江大学出版社，2001.

3.胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学.中学教研（数学），2007（7）.