构造直角三角形巧解一类三角求值问题

☉江西省全南中学 肖秋莲

已知角的某种三角函数值，求其他三角函数值的问题，是学生学习中的一个难点.同学们在求解这类问题时，往往由于解题方法的选择不当而一筹莫展.笔者多年的教学实践表明，在处理一些三角求值问题时，若能充分利用三角问题中所具有的图形特征，通过构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，便可简洁、迅速地使问题得到解决.下面笔者略举数例并加以分析，供同学们学习参考.

分析：已知正切值求解正、余弦，在同角三角函数的基本关系式中，并没有现成的公式可以套用，而必须经过一系列的变形，运算量较大.本题若利用构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行求解，运算量将大大减小.下面提供两种求解方法，来加以比较.

解法1：常规法.

解法2：构造法.

将A看成是锐角，构造直角三角形ABC（如图1）.

图1

由已知tanA<0，知A是钝角.

点评：本题若用常规方法求解，必须利用同角三角函数关系式中的平方关系和倒数关系去进行变形转化，运算量较大.本题若用构造直角三角形法进行求解，可简捷、快速地求得结果.

从上题的解法2中不难看出，当我们求解角的三角函数值问题时，无论这个角是不是锐角，我们都视之为锐角，先求出角的三角函数的绝对值，进而由角所在的象限，判断出函数值的符号，从而求得待求的三角函数值，本过程可简记为“将任意角视为锐角，绝对值不变，符号看象限”.

例2 （北师大版必修4课本第116页例3）已知tanα=m（m≠0），求sinα和cosα的值.

分析：本题中不仅含字母参数，解题时要分情况进行讨论，而且由正切转化为正弦、余弦的过程中，公式变形也较复杂.本题若采用构造法解题，可迅速、快捷地得出正确结果，下面给出两种解法，进行对比.

解法1：常规法（教材中提供的解法）.

解法2：构造法.

将α看成是锐角A，构造直角三角形ABC（如图2）.

图2

因为tanα=m≠0，α得终边不在x轴上.

点评：解法2显然比解法1简单得多；因此在处理含字母的求值问题时，我们仍然可构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系得出函数值的绝对值，然后分情况进行讨论.在讨论过程中，一定要注意角的象限和字母表示的数的正负，避免因符号而导致错解.

分析：本题是一道常规的三角求值题，利用同角三角函数的基本关系式，便可以较快求得结果.本题若用构造法进行求解，也可收到意想不到的效果.

点评：利用构造直角三角形法解题时，正确判断三角函数值符号是解题的关键.

从上述数例可以看出，利用构造直角三角形求解三角函数值，既准确又快捷，尤其是在解决客观性问题时，能起到事半功倍的效果，同学们在学习中不妨一试.