天波超视距雷达海杂波的混沌动态特性分析

盛 文 任 吉

（空军预警学院，湖北 武汉 430019）

引 言

传统的海杂波模型都存在共同的缺点，一方面出于数据拟合和数学上的方便对海杂波模型进行了一定的简化，另一方面只是对指标的某一种侧面特征的刻画从而没有完全地反映出海杂波的本性。海杂波的分布随着海情、风速、浪高等因素变化而变化［1］，往往就呈现出时变性和非平稳性［2］，因此只用传统的模型来描述海杂波是不确切的。为了得到对海杂波性质更深的理解，更多新的概念被关注［3-7］，用于对海杂波的描述和建模，而以混沌、分形和吸收子为研究对象的非线性理论正好可以胜任这一工作。迄今为止，国内外已有大量的学者将精力投入到基于非线性理论的海杂波分析。

利用非线性理论针对以目标检测为目的的海杂波特性分析研究还主要集中在微波波段。加拿大McMaster大学以S.Haykin为代表的团队的实验室为研究高分辨雷达海杂波，建立了一部著名的对海观测实验雷达——X波段海面浮冰多参数成像雷达（IPIX），该雷达的数据被广泛地用于混沌和分析特性研究，并首次得出了海杂波具有混沌特性的结论［8］，而其数据和结论随后被国内外本领域内研究者多次引用［7，9-13］。在 HF波段上国内外也有许多学者利用混沌理论开展了大量的研究，同样并得出HF海杂波具有混沌特性的结论［14］。值得注意的是利用混沌理论主要是集中在高频地波超视距雷达的海杂波上。

尽管不同频段的海杂波特性呈现出大体相似的特性，但是由于缺乏必要的实验手段，高频天波雷达海杂波的散射机理尤其复杂，Bragg散射比微波波段要显著，同时存在电离层带来的严重影响［15-16］以及各种脉冲干扰［4］，所以人们都公认海杂波背景下的目标检测存在着大的困难，尤其是对于低速目标的检测。国内外针对高频天波雷达海杂波特性分析的研究非常少。

本文详细地分析了高频天波雷达的混沌特性，从非线性检验、相空间重构、计算最大Lyapunov指数和Kolmogorov熵以及短期可预测性检验等方面证实了高频天波雷达海杂波确实具有混沌特性，这一结论对高频雷达目标探测和海杂波建模研究具有一定意义。

1.混沌动态特性分析及验证方法

对于给定的实验时间序列，至今还用单独的准则来判断其是否是混沌过程。通常，如果满足一组准则就可以判断该序列来自于一个混沌系统，对于这些准则可以归纳如下［8］:

1）相应过程应该是非线性的。

2）相应过程的吸收子关联维数（DC）应该具有分形特征。此外，DC应随嵌入维数（m）的增加趋于一个常数值。

3）产生相应过程的系统的动态特性应对于初始条件具有敏感性，即相应的过程至少具有一个正的Lyapunov指数。且由于相应的系统为耗散系统，所以所有的Lyapunov指数之和应为负。

4）系统的Kolmogorov熵应为正数且为有限值，更进一步应接近所有正的Lyapunov指数之和。

1.1 非线性检验基本原理

通过检验数据的非线性成分间接地判断其混沌特性是判定时间序列混沌特性的方法之一。主要代表就是著名的替代数据法（SDT）［17］。该方法的基本思想是首先指定某种线性随机过程为零假设，并依据该假设产生相应的一组替代数据，分别计算比较原始数据和替代数据集的检验统计量，采用以下高阶统计量作为非线性判据由式（1）计算并观测替代数据和原始数据的非线性判据的差异，如果原始数据所算的值与替代数据集的值有显著差异，则拒绝该零假设，即该零假设不成立，说明原始数据中存在确定性的非线性成分。

1.2 相空间重构与吸收子

1980年，N.H.Packard［18］等人提出采用延迟坐标法，利用观测的时间序列来重构原始动力系统。简单来说就是对于给定的时间序列｛x（n）｝，利用延迟时间τ来构造m维的相空间矢量

根据1981年F.Takens嵌入延时定理:对于无限长、无噪声的dA维混沌吸引子的标量时间序列｛x（n）｝，只要维数m≥2dA+1，总可以在拓扑不变的意义上找到一个m维的嵌入相空间。

针对伪最近邻法具有对噪声敏感和需要主观选择参数等缺点，Cao［19］对其进行了改进。Cao方法归纳为:

定义

如果时间序列来自于一混沌系统，当d大于某一值d0时，E1（d）停止变化，且d0+1即为最小嵌入维数。同时，Cao定义E2（d）

随机序列数据不具备可预测性，E2（d）将恒等于1；而确定性序列数据问的相关性是依赖于嵌入维数d值变化的，即总存在一些m值使得E2（d）≠1.从而，可以通过E2（d）判定信号是随机序列还是确定性序列。

由此可以看出，选择合适的τ是正确使用Cao算法的前提。一种比较常用的估计嵌入延时τ的方法就是CC法，但是对离散时间数据最好取τ为1［19-20］，仿真分析使用的海杂波为经过积累的离散数据，故取嵌入延时τ=1.

1.3 Lyapunov指数和Kolmogorov熵

混沌动力系统的一种定性描述就是相空间中两个相邻的轨道以指数率速度分离，而最大Lyapunov指数是对于吸收子在轨道空间演化的一种量化的指标，具有正的Lyapunov指数就表明动力系统是混沌的。由于HF雷达海杂波的数据量有限，所以利用Rosenstein小数据量法计算最大Lyapunov指数。

1.3.1 Rosenstein小数据量法计算最大Lyapunov指数的基本原理

寻找相空间轨道上第j点Yj（t0）的最近邻点Yj'（t0），即满足dj（0）=min‖Yj（t0）-Yj'（t0）‖，其中｜j-j′｜大于平均轨道周期，则最大Lyapunov指数可以表示为

式中:Δt为样本周期；dj（i）为基本轨道上第j对最近邻点对经过i个离散时间后的距离。演化式（8）且根据最大Lyapunov指数的几何意义，有

可以得到

显然，利用最小二乘拟合式（10）的斜率即为最大Lyapunov指数，其单位为nats／Δt（奈特／采样）。

1.3.2 Kolmogorov熵K2

Kolmogorov熵是系统的混沌水平的测度，即度量着系统运动的混乱和无序的程度，根据著名格拉斯伯格-庞加莱算法（GPA），K2为

式中:（l）为尺度l、重构维数为m下的关联积分。改进的GPA方法为

K2衡量了一个系统具有混沌特性的程度:K2=0表明系统是规则的；K2→∞表明系统是随机的；0＜K2＜∞表明系统具有混沌特性。

1.4 基于Lyapunov指数的预测

根据A.Wolf等人提出的采用最大Lyapunov指数进行混沌时间序列的预测方法，设相空间中YM为预测的中心点，其最近的邻点为YK，距离为dM（0），则存在下列关系

YM和YK经过一步演化成为YM+1和YK+1，根据最大Lyapunov指数的物理含义可得

在式（14）中，只有YM+1中最后一个分量YM+1，m=x（tn+1）未知，并可按式（15）计算出来。

预测均方误差定义为

这就是时间序列的一步预测法。

2.仿真分析

仿真分析采用的海杂波数据是在HF波段某雷达上采集到的海面后向散射回波信号。图1（a）和图1（b）分别给出距离为34点I、Q通道的2048个重复周期的海杂波采样回波幅度值。对该点的I、Q数据的2048个采样周期数据作快速傅里叶变换（FFT）得到图1（c）和图1（d）所示海杂波频谱分布图形。

图1 典型的高频海杂波数据及其Doppler谱

2.1 高频海杂波数据进行SDT非线性检验分析

对实测高频海杂波I、Q路信号进行非线性检验。首先产生99批替代数据，利用式（1）得到统计量的分布分别如图2（a）和2（b）所示。原始数据的高阶统计量的分布与替代数据的统计量的分布差异明显，所以，海杂波数据具有非线性特性。海杂波具有非线性，并不代表海杂波就一定具有混沌特性，而仅仅表示海杂波是一个非线性动力学过程。

为了使研究不失一般性，我们分析了所有的数据，得到结果为:线性批数和非线性批数分别为3和509批。由于可以认为所有的海杂波数据均为纯杂波，得到的结果也就是高频杂波总体上表现出非线性。

2.2 相空间重构的参数确定分析

为了能够更加直观地观察海杂波的吸收子在相空间中的行为，利用m=3，τ=1对I、Q路数据分别进行相空间重构，得到相图分别如图3（a）和3（b）所示。

对于较短的时间离散时间序列最好取延迟时间τ=1.分别利用GPA和Cao方法估计海杂波的嵌入维数。图4（见423页）即为利用GPA的效果图，可以看出，随着嵌入维数的增加，关联维数就稳定在某一个值附近，并且关联维数DC=5，此时的嵌入维数m=7，这也就表明至少对于本批数据来说，海杂波具有混沌特性。

图5给出了利用Cao方法计算的结果，曲线E2≠1且在1附近波动，表明海杂波不是一个完全随机的过程。同时，E1和E2都在m=7之后就趋于稳定，这与GPA得到的嵌入维数基本上是一致的，即m=7.

图5 利用Cao方法计算嵌入维数

利用以上的方法对实测数据进行了相空间重构，得到的重构特征参数经统计分析显示在表1中。从表1中可以清楚地看出:首先，对于I、Q数据表现出的差异较小。这是由于在假设海杂波是来自于一个低维的确定性混沌系统成立的时候，经过正交双通道这种线性的确定性变换，没有改变原始系统的混沌特征，而这对于判定海杂波是否为来自于低维混沌系统及其背景下基于混沌特征提取的目标检测是有力的；不论是从海杂波具有稳定收敛的关联维数来看，还是从替代数据非线性检验的结果来看，都可以证明海杂波不是随机的简单线性过程，而且混沌特征也非常明显。

2.3 最大Lyapunov指数和Kolmogorov熵的计算

根据1.3.1节引入的Rosenstein小数据量法计算最大Lyapunov指数的基本原理，首先确定程序计算的初始参数。海杂波数据是在某一个距离单元上，在时间隔间为采样周期时候连续观测2048个采样周期，故而时间序列的样本周期Δt=Tr，相空间重构参数取Cao方法得到的嵌入维数m和τ=1，平均轨道周期的选取采样频谱分析的方法得到。

计算由2.1节提到的I、Q数据的最大Lyapunov指数，结果如图6所示。可以看出不论对于I还是Q数据，平均分离率〈lndj（i）〉随着演化时间i具有线性上升的区间，利用最小二乘拟合得到斜率即为最大Lyapunov 指 数，λ1，I=0.1233（nats／Δt），λ1，Q=0.1231（nats／Δt）。这就清楚地表明海杂波数据是混沌的。

为了更加直观的观察平均分离率 〈lndj（i）〉与演化时间i的关系，图7给出了所有512批数据的〈lndj（i）〉与演化时间i的关系的误差图。可以清楚地看到所有的数据都存在一个线性上升的区间，即存在一个正的最大Lyapunov指数。

利用石炎福等提出的改进的GPA分别计算了I、Q通道数据，同样重构参数取Cao方法计算的结果，嵌入维数的取值区间为［2，20］，嵌入维数间隔Δm=1.从估计结果图8可以看出，很显然对于I路和Q路信号，0＜K2＜∞，这就清楚的表明系统具有混沌特性。

同样表1和表2分别给出I、Q数据利用Rosenstein方法和改进的GPA估计得到的最大Lyapunov指数和Kolmogorov熵的估计结果。结果清楚地表明高频海杂波相空间中邻近轨道是以一个正的指数率发散的耗散系统，这就是海杂波具有混沌特性的又一个强有力的证据。

2.4 高频海杂波数据可预测性检验

利用基于最大Lyapunov指数的预测对高频海杂波数据进行可预测性检验。以Q数据为例，将数据进行常用的ym8小波在水平2去噪处理。由于最大的预测步数理论上为Nmax=即为31步。取最大预测步数为100步以便观测长期不可预测的现象。图9给出了Q通道数据基于最大Lyapunov指数的多步预测结果，结果表明，高频海杂波基于最大Lyapunov指数的预测较小，高频海杂波确实具有一定的可预测性，而且长期预测是不可能的。所有I、Q通道数据的预测参数展示在表1和表2.

表1 高频雷达海杂波I通道混沌不变量的统计参数

表2 高频雷达海杂波Q通道混沌不变量的统计参数

图9 Q路基于最大Lyapunov指数的预测

从以上的仿真计算分析结果可以得出高频海杂波具有混沌动态特性的结论。同时也注意到，无论是GPA估计的关联维数与嵌入维数，还是Cao方法估算的嵌入维数，以及最大Lyapunov指数的估计都存在一个线性上升区域的选择问题，存在不可避免的主观因素，这使得估算实验数据（存在噪声和数据长度的限制）的混沌不变量存在着一定的限制，但是值得庆幸的是这些限制对于我们定性地认知一个混沌过程来说不是一个决定性的因素。

3.与地波超视距雷达回波混沌特性的比较分析

天波超视距雷达与地波超视距雷达的电波环境的最根本区别在于，由于电离层是前者电波传播环境的重要组成部分，从而在某种程度上受到了电离层的调制作用，并可能对海洋回波的混沌特性产生某种不确定的影响。为了弄清这种电离层对回波的混沌特性的影响，以实验的方法来检验这种假设。

3.1 与地波超视距雷达海杂波混沌特性的比较分析

可以从两种超视距雷达的混沌特征典型值来确定两者的差异。天波超视距雷达回波由GPA得到的关联维数在5.2～5.3之间，而研究表明地波超视距雷达回波的关联维数在8～10之间［21］；天波超视距雷达回波的最大Lyapunov指数在0.177（nats／Δt）左右，这与地波超视距雷达回波的最大Lyapunov指 数 为 0.015（nats／Δt2）（其 中，Δt ≈0.1Δt2，Δt2为地波超视距雷达的线性调频周期）几乎没有区别［21］。由于关联维数和最大Lyapunov指数均为公认的衡量海杂波混沌的指标，所以，仅从典型值还不能确定两者的差异。为了更加有力地解释两者间是否存在显著差异，我们将在下面给出仿真实验分析。

3.2 电离层对回波混沌特性影响的显著性检验

假设影响回波混沌特性的因素为电离层导致的相位路径的线性变化的单一因素A:电离层的扰动强度。电离层的垂直运动将产生一个Doppler域的频移fD

式中:f0为雷达工作频率；τ为群时延；c为光速。通常，经Es（或E）层返回的散射信号的fD为0～0.1Hz，而经F2层返回的散射信号的fD为0.1～0.4Hz，经扰动的F层返回的散射信号的fD为3～5Hz，一般经平静的F层返回的散射信号的fD为0.1Hz.假设因素A的试验水平r=10，即取fD为0～5Hz之间的10个频率点，

利用最大Lyapunov指数来度量回波的混沌特性，每一种水平的测量值（可以认为所有的512批数据是随机挑选得到的）构成一个母体Xi，i=1，2，…，r，Xi～N（μi，σ2），并假设r个母体的方差相等。其中，因素A1对应的母体即为原始的稳定电离层测量的回波信号，而其余因素的母体为对应因素值的仿真回波信号。在母体Xi上作假设

经过计算可以导出

式中:和分别表示因素A和组内元素间引起的均方离差。

给定显著水平α并计算子样的F值，若

则拒绝H0，即可以认为电离层对回波的混沌特性有显著影响。否则

则接受H0，即可以认为电离层对回波的混沌特性无显著影响。一元方差分析的结果见表3.由表3可知，在显著水平α=0.05下，计算子样的F值为134.63.而查表可得F0.05（9，∞）=1.88，又因为F≫F0.05（9，∞），故而拒绝原假设H0，即可以认为电离层对回波的混沌特性有显著影响。

表3 方差分析表

图10 不同因素母体的子样的箱须图

与此同时，图10给出了各因素母体子样的箱须图。从图10可以清楚地看出，未附加额外电离层影响的母体与附加有电离层影响的母体（即对应稳定的电离层）的最大Lyapunov指数的中位数具有明显的差异，且附加有电离层影响的母体的最大Lyapunov指数的中位数均明显小于未附加有电离层影响的母体。此外，从分布的集中程度来看，附加有电离层影响的母体，其最大Lyapunov指数的中位数比未附加有电离层影响的母体更加集中，但是，前者的极端异常值显著地多于后者。综上所述，附加有电离层影响的天波超视距雷达回波混沌特性与未附加电离层影响的回波混沌特性存在显著的差异，即电离层将显著地影响回波的混沌特性。

4.结 论

通过利用SDT方法对实测回波信号进行非线性检验，采用Cao方法进行相空间重构、Rosenstein小数据量法计算最大Lyapunov指数、GPA计算Kolmogorov熵以及可预测性检验验证了高频天波雷达海杂波具有混沌动态特性。仿真计算表明:实测高频天波雷达海杂波确实是来自于非线性过程，并且其吸收子具有稳定收敛的关联维数、正的最大Lyapunov指数和正的Kolmogorov熵以及具有短期可预测而长期不可预测的特性，这就证明了高频雷达海杂波确实来自于一个混沌系统。最后，利用方差分析初步讨论了电离层对回波特性的影响，研究表明，电离层将对回波混沌特性产生显著的影响。

由于数据有限，还没有充分地挖掘出高频海杂波所表现出非线性，所以在以后的研究中就应该考虑更加完善的数据库。尽管存着这样的限制，但是本文的研究不论是对于我们从另外一个视角来更加深刻地理解高频海杂波的本性，还是对海杂波建模及其背景下的目标检测都具有重要意义。

［1］扈罗全，林乐科，朱洪波.三种重拖尾分布海杂波的比较与分析［J］.电波科学学报，2007，22（6）:1061-1067.HU Luoquan，LIN Leke，ZHU Hongbo.Comparison and analysis of three kinds of distribution of sea clutter with heavy tails［J］.Chinese Journal of Radio Science，2007，22（6）:1061-1067.（in Chinese）

［2］HU J，TUNG W，GAO J.A new way to model nonstationary sea clutter［J］.IEEE SIGNAL PROCESSING LETTERS，2009，16（2）:129-132.

［3］杜干，张守宏.分形模型在海上雷达目标检测中的应用［J］.电波科学学报，1998，13（4）:377-381.DU Gan，ZHANG Shouhong.Radar ship targets de-tection based on fractal model［J］.Chinese Journal of Radio Science，1998，13（4）:377-381.（in Chinese）

［4］LIU T，GONG Y，WANG J，et al.OTHR impulsive interference detection in strong clutter background［C］／／International Conference on Communications，Circuits and Systems.Xia'men，China，2009:410-413.

［5］LI Y，WANG W，SUN J.Research of small target detection within sea clutter based on chaos［C］／／International Conference on Environmental Science and Information Application Technology.Wuhan，China，2009:469-472.

［6］LI J，WANG W，SUN J，et al..Chaos-based target detection from sea clutter［C］／／IET International Radar Conference.Guilin，China，2009:1-5.

［7］LIU N B，GUAN J，ZHANG J.Fuzzy fractal algorithm for low-observable target detection within sea clutter［C］／／IET International Radar Conference.Guilin，China，2009:1-4.

［8］HAYKIN S，PUTHUSSERYPADY S.Chaotic dynamics of sea clutter［J］.Chaos，1997，7（4）:777-802.

［9］GUAN J，LIU N，ZHANG J，et al.Multifractal correlation characteristic for radar detecting low-observable target in sea clutter［J］.Signal Processing，2010，90（2）:523-535.

［10］XU X.Low observable targets detection by joint fractal properties of sea clutter:an experimental study of IPIX OHGR datasets［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2010，58（4）:1425-1429.

［11］SHI V，SHUI P，LUO F.Target detection based on correlation and power features in sea clutter［C］／／IET International Radar Conference.Guilin， China，2009:1-4.

［12］LIU N，CHE Z，GUAN J，et al.Fractal-based variable step-size least mean square algorithm for radar target detection in sea［C］／／International Radar Conference Radar"Surveillance for a Safer World"（RADAR 2009）.California，USA ，2009:1-5.

［13］HU J，GAO J，LYNCH R S，et al.Multi-scale modeling approach for detecting low observable targets within sea clutter［C］／／IEEE Aerospace Conference.Big Sky，MT，USA:2008.

［14］田建生，刘铁军.高频雷达海洋回波混沌特性研究［J］.系统工程与电子技术，2007，29（5）:687-691.TIAN Jiansheng，LIU Tiejun.Research on chaotic characteristics of HF radar sea clutter［J］.Systems Engineering and Electronics，2007，29（5）:678-691.（in Chinese）

［15］HOCKING W K，THAYAPARAN T，HOCKING A.Target detection in the presence of sea clutter and ionospheric interference using joint spectral／time-series analysis and autocovariance procedures［J .IET Signal Process.，2010，4（3）:272-286.

［16］刘春波，陈伯孝，陈多芳，等.岸-舰双基地高频地波雷达一阶海杂波特性分析［J］.电波科学学报，2007，22（4）:599-603.LIU Chunbo，CHEN Baixiao，CHEN Duofang，et al.Characteristic of first-order sea clutter for coast-ship bistatic HF-SWR［J］.Chinese Journal of Radio Science，2007，22（4）:599-603.（in Chinese）

［17］THEILER J，EUBANK S，LONGTIN A.Testing for Nonlinearity in Time Series，the Method of Surrogate Data［J］.Physica D，1992（58）:77-94.

［18］PACKARD N H，CRUTCHFIELD J P，FARMER J D，et al.Geometry from a time series［J］.Physical Review Letters，1980，9（45）:712-716.

［19］CAO L Y.Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series［J］.Physical D，1997，110（1-2）:43-50.

［20］XU X，LIU X，CHEN X.The Cao method for determining the minimum embedding dimension of sea clutter［C］／／CIE International Conference on Radar.Shanghai，China，2006:77-80.

［21］董华春，宗成阁，权太范.高频雷达海洋回波信号的混沌特性研究［J］.电子学报，2000，28（3）:25-28.DONG Huachun，ZONG Chengge，QUAN Taifan.Chaotic characteristics in HF radar backscatter from the ocean surface［J］.Acta Electronica Sinca，2000，28（3）:25-28.（in Chinese）