一类无穷时滞积分微分方程周期解的稳定性

常 啸

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030)

0 引言

泛函微分方程是20世纪70年代以来研究较多的微分方程的分支内容.近年来，已有不少的专家学者对泛函微分方程［1］的定性和非定性等相关性质做了分析研究，这些研究包括了周期解的分析［2－3］、有界性的分析［4－5］等，对于无穷时滞和分布时滞等一些类型的方程都做了一定的研究工作.本文主要考虑更一般形式的泛函微分方程，对其周期解的存在性和稳定性进行定性分析，得出了更具一般性的结论，对已有的结果进行了推广和改进.

对于下面两个微分方程

其中：t∈R，x∈Rn，A(t)为n×n连续函数矩阵，且A(t+T)=A(t)，g(t)为连续向量函数，且g(t+T)=g(t)，关于其基解矩阵有如下的结论.

引理1［6］对于系统(1)，假设存在不全为零的T－周期连续向量函数α(t)，使得对于∀t∈R，有μ1(A(t))≤α(t)≤0成立，则系统(1)的基本解矩阵X(t)一定满足下面的不等式：

引理2［7］在引理1的条件下，方程(2)存在唯一的T－周期解x(t)，它可以用如下式子表示：

其中X(t)为方程(1)的基解矩阵.

引理3 设C(t，s)为n×n连续的函数矩阵，并且满足假设条件(A3)、(A5)，如果f1(t)是连续的T－周期函数向量，则g(t)=t，s)f1(s)ds也是连续的T－周期函数.

1 主要结果

本文考虑如下的中立型无穷时滞泛函微分方程

其中：t∈ R，x∈ Rn，A(t，x)=(aij(t，x))n×n，B(t，s)，C(t，s) 为n × n 维的连续函数矩阵，g 是从 R × Rn到Rn的连续向量函数，f(t)是从R到Rn的连续向量函数，f(t)是从R到Rn的连续向量函数.

对于上述方程(4)中的函数，先作如下假设：

(A1) A(t，x)和f(t)关于t都是以T为周期的函数，并且有μ1(A(t，x))≤α(t)≤0，其中α(t)是连续的不恒为零的T－周期函数;

(A2) 存在常数K1，0≤K1＜1，它使得对 ∀t∈R有B(t，s)‖ds ＜ K1，且对 ∀t，s∈ R 有

定理1 对于方程(4)，如果条件(A1)～(A5)成立，则方程(4)存在唯一的T－周期解.

证明 设B={u(t)|u∶R→Rn是连续的T－周期函数}，则集合B在范数‖u‖ =sup{‖u(t)‖∶0≤t≤T}下是一个Banach空间.

对t求导可得x(t)满足方程(4)，x(t)是方程(4)的唯一T－周期解.

考虑方程

则 F(t，x) 满足(A1).

推论1 如果满足条件(A2)～(A7)，则方程(5)存在唯一的T－周期解.

证明 由 f(t，x)∈ C1(R ×Rn，Rn)，可知

结合假设条件知，方程(5)满足定理1中的相应条件，故由定理1得出方程(5)存在唯一的T－周期解.

考虑方程

作如下假设：

(A8) A(t)关于t是以T为周期的，且μ1(A(t))≤α(t)≤0，α(t+T)=α(t)，其中α(t)不为零.

定理2 如果方程(6)满足条件(A2)～(A6)和(A8)，则它一定存在唯一的一致稳定的T－周期解.

证明 类似定理1的证明过程，可知方程(6)存在唯一的T－周期解.下证方程(6)的任一解都是一致稳定的.方程(6)可改写成如下形式

否则，一定存在 t1＞ t0，使得 ‖x(t，t0，φ1) － y(t，t0，φ2)‖＜ ε，t0＜ t＜t1，而

从而得出矛盾，所以(8)式成立.即方程(6)的解是一致稳定的.

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