关于q-gamma函数及对数导数的性质

2012-09-20 02:29赵教练
渭南师范学院学报 2012年10期
关键词:恒等式北京大学出版社渭南

赵教练

(渭南师范学院数学与信息科学学院,陕西渭南714000)

经典分析中的Gamma函数是一类特殊的函数,是由L.Euler在18世纪推广自然数的阶乘时给出的,常被称为第二类Euler积分,定义如下:

关于Gamma和q-gamma函数研究成果很多也很重要,它们在分析、数论、特殊函数论、数学物理方法等领域中都起着关键的作用[6-7].本文在此基础上,将给出q-gamma的一些新的性质.

1 主要引理

为了证明所给的结论,需要以下两个引理:

引理1 对于给定的x>0,有以下恒等式

证明 以上各恒等式很容易从定义中直接推出.

引理2 给定x∈[0,1],q∈(0,1)并且0 <s<1,我们有以下不等式成立

当0 <q<1,x∈[0,1],0 <s<1,我们可以得到 ψq(x+1)- ψq(x+s) >0.

2 定理及其证明

定理1 给定x∈[0,1],q∈(0,1)并且0 <s<1,我们有以下恒等式成立

另一方面,由引理中第四式两边求导,比较上式可以证明所要的结论.

定理2 对于0<q<1,我们可以给出Gamma之商的一个不等式的q模拟,即

由上式计算的结果,根据引理1的结论,我们可以判断g'(x)>0,也就是得到g(x)是区间[0,1]上的单调递增函数.所以f(x)也是区间[0,1]上的单调递增函数,那么对于f(x)就有f(0)<f(x)<f(1),也就是

[1]Artin E.The Gamma function[M].New York:Toronto,1964.

[2]Jensen J,Gronwall T.An elementary exposition of the theory of gamma function The Ann[J].1916,17(3):124 -166.

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[8]王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论[M].北京:北京大学出版社,2000.

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