一种基于偏微分方程的蒙面曲面的构造方法

朱 婧 ，余正生 ，郭玉清

(杭州电子科技大学图形图像研究所，浙江杭州310018)

0 引言

基于偏微分方程(Partial Differential Equation，PDE)的曲面造型方法最早应用于过渡面、自由曲面和N边域曲面的构造［1］，以及功能曲面的设计［2-4］。蒙面的任务是拟合一张曲面通过一组有序的称为截面曲线的空间曲线，蒙面法通常被考虑为最合适于交互设计。蒙面法在大量文章中被采用，特别在计算机动画中有广泛应用。文献5中具体提出了利用蒙面法设计B样条曲面的过程。文献6中提出一种曲面导向的自由变形蒙面曲面生成算法。本文在拓展PDE方法构造曲面模型时使用了曲面造型的蒙面算法，借助偏微分方程来构造曲面并控制相应曲面的形状变化。

1 蒙面曲面的表示方法

球蒙面曲面构造的几何问题描述为:给定一系列不同的半径和位置有序列的球，构造一个曲面与每个球相切于一个大圆。参数蒙面曲面S(u，v)可以通过一系列子曲面S(u，v)(i=1，2，…，N)组合生成，其中N是球的总个数，对于每个子曲面，用连接球上大圆的样条曲面来表示，样条曲面可由一系列样条曲线来生成。每条样条曲线以点，以点，即:

对于第i部分来说，Ai(u)，Bi(u)Ci(u)和Di(u)是4个待定系数，v∈［0，1］是一个球序列方向上的参变量。每张子曲面Si(u，v)由Hermite插值的边界条件来决定。每个子曲面Si(u，v)由系数Ai(u)，Bi(u)Ci(u)和Di(u)决定，而这些系数是关于Pi(u)，Pi+1(u)和法向Ni，Ni+1的函数。

2 球蒙面曲面的优化方法

2.1 蒙面曲面面积极小化优化

根据微分几何，曲面的面积公式为:

式中，E=SuSu，F=SuSv，G=SvSv是曲面第一基本公式的基本量。

对式3出关于参数Wk的偏导数，其中Wk∈ { θiØi}∀i。给出了面积关于参数W大的梯度方向，可以沿其反方向迭代找出使蒙面曲面面积最小的角度值。

2.2 蒙面曲面曲率极小化优化

在三维空间中，可采用多种曲率比如主曲率和高斯曲率。主曲率与曲面面积公式的变化比较接近。主曲率公式为:

式中，E，F和G前面已经给出，e，f，g和是曲面的第二基本公式的基本量:

式中，M是曲面的单位法向量。由于S(u，v)可以表示为N-1个子曲面的和，可记为:

可以求出式6关于参数的偏导数，其中Wk∈ { θiØi}∀i。给出主同率关于参数Wk的梯度方向，可沿其反方向迭代求出使蒙面曲面主曲率平方最小的角度值。

2.3 蒙面曲面能量极小化优化

单一地运用曲面的面积积分和主曲率平方积分两个能量函数得到的曲面并不理想，给出混合两个能量函数:

式中，k∈［0，1］是一个常数，用来调整曲面面积和主曲率平方两个能量的比重。式7关于参数Wk的微分函数为:

选取k=0.9效果较好，可得到更光滑的曲面。用数值迭代法求解式8。设wi(n)为关于球Bi的参数wi的第n次迭代，可以沿其梯度递减的方向前进一个步长，即:

式中，Δt是步长，∇Jwi(n)是能量函数J关于参数wi(n)的微分式。迭代过程计算的复杂度取决于球的个数O(NLM)和曲面上求取积分时用到的点的个数的大小。设曲面上的点个数为LM，其中L是每条样条曲线上抽样点的个数，M为每个子曲面的样条曲线的条数。对于每次关于梯度方向的迭代，其计算复杂度为O(NLM)，迭代次数取决于步长Δt的选取和初始曲面与最终曲面的差异程度。

3 球蒙面曲面构造实例

给定4个球的半径分别为 3，2，2 和 3 单位长度，球心的坐标分别为:c1=［0，0，0］T、c2=［5，0，5］T、c3=［10，0，0］T、c4=［17，0，-5］T。给定各个球的初始的角度参数分别为 w1=［0，0］T、w2=［0，/4］T、w3=［0，/2］T、w4［0，/4］T。构造球蒙面曲面的一个简单示例，如图 1 所示，图1(a)为初始蒙面曲面;图1(b)为经过30次迭代效果，其中L=50，M=20，蒙面曲面已比较光滑并且仍满足问题的约束条件;图1(c)为经过60次迭代得到的结果，能量函数已达到其极小值且其角度参数收敛到定值。

图1 蒙面曲面构造实例

给出了一个对称布局的球的蒙面曲面的一个示例，如图2所示，初始条件是非对称的。图2(a)初始设定的蒙面曲面;图2(b)为经过40次迭代得到的优化效果;图2(c)为最后经过65次迭代得到最优解的效果。由图可以看出，由于初始序列球是对称的，最后得到的优化蒙面曲面也相应地是对称的。

图2 对称布局的球蒙面曲面构造实例

对于不太差的初始角度条件，经过大约60次迭代优化，可得到一个收敛的解，蒙面曲面的能量函数也达到其极小值。虽然上述示例的初始角度值皆为自行设定，在实际应用中，为找一个好的初始角度条件，可以选用沿连接邻近球心的矢量的交叉平面的法向作为初始连接圆的法向。需要指出的是，由于本方法的约束条件只要求蒙面曲面与球在连接圆处相切，生成的蒙面曲面可能穿过球，如图3所示为穿过球的蒙面曲面。图3(a)为初始曲面;图3(b)为最终的优化结果。

图3 穿过球的球蒙面曲面构造实例

4 结束语

对于给定的一系列有次序的3D球，可以构造出一个光滑的蒙面曲面。此方法的特点是引进了微分方程来优化曲面，使得最终的3次多项式样条曲面的面积函数与主曲率函数的一类混合得到极小值，并且曲面符合给定的约束条件。并且通过计算曲面的能量函数作为评价，对曲面参数进行迭代使其逐渐收敛，优化得到的蒙面曲面比较光滑。

［1］Bloor M I G，Wilson M J.Using Partial Differential Equations to Generate Free-Form Surfaces［J］.Computer Aided Design，1990，22(4):221-234.

［2］Lowe T W，Bloor M I G，Wilson M J.Functionality in Blend Design［J］.Computer Aided Design，1990，22(10):655-665.

［3］Lowe T W，Bloor M I G，Wilson M J.The Automatic Functional Design of Hull Surface Geometry［J］.Computer Aided Design，1994，38(4):319-328.

［4］Dekanski C，Bloor M I G，Wilson M J.Computer-Aided Functional Design of marine Propeller［J］.Computer Aided Design，1996，40(2):117-124.

［5］施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条［M］.北京:高等教育出版社，2003:294-298.

［6］Singh K，Kokkevis E.Skinning characters using surface oriented free-from deformations［J］.Graphics interface，2000，20(1):35-42.