Vasicek模型下的分数布朗运动模型的欧式期权定价

闫传鹏

（浙江科技学院 理学院，杭州310023）

期权定价是金融数学研究的一个核心课题。自Black，Scholes和Merton于1973年给出期权的定价公式以来，金融衍生品的定价理论有了很大的发展。但在实际的金融市场中发现，标的资产价格过程具有长期依赖性和自相似性。近年来，分数Black-Scholes模型作为对古典的Black-Scholes模型的改进被提出来［1-3］，并利用Wick积建立了相关的随机积分。但是，由于分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）不具有鞅性，这样的市场存在无风险套利的机会，所以市场不再是完备的。T.H.Thao在2006年给出了分数Black-Scholes模型的一种逼近方法［4］。在文献［4］的方法下，P.Sattayat ham等［5］给出了带跳的分数布朗运动下股票的价格，T.H.Thao［6］得出了波动率是随机且由GARCH（1，1）给出的股票价格模型，梅正阳等［7］给出了利率为常数时欧式期权的定价公式。

1 Vasicek模型及分数布朗运动

在经典的B-S公式中，利率是一个常数。在金融市场中，利率是其变化的一个最基本的因素，具有在均值水平上下摆动的趋势，即均值回复。本研究考虑最简单的随机利率模型——Vasicek模型：

其中β，γ，σ1为非负常数，Wt为标准布朗运动。

分数布朗运动是一个Gaussian过程BH＝｛BHt：0≤t≤T｝，其中H∈（0，1）为Hurst指数，数学期望和协方差分别满足

和

Black-Scholes模型有如下形式：

其中St为股票价格，μ，σ为常数。

由于Bt不是半鞅，T.H.Thao给出了如下一种逼近形式：

2 零息债券

考虑两种可交易资产：股票和零息债券，股票服从如下随机微分方程：

其中短期利率rεt服从 Vasicek模型：d rεt＝β（γ-rεt）d t＋σ1d Bεt。

首先给出在随机利率下零息债券P（t，T）的价格。当rt是确定函数时，零息债券的价值满足：

显然，P（t，T）＝e-∫Ttr（s）ds；当rt是随机过程时，P（t，T）＝P（t，rt，T）＝E（e-∫Ttrsds｜rt）。

在利率的逼近过程rεt下，由伊藤公式可知：

又因零息债券的贴现过程是一个鞅［8］，所以上式中只含有d Wt项。由此可得偏微分方程：

且满足终端条件：

易知定解问题式（7）和（8）有如下形式的显示解：

其中

而且P（t，rεt，T）满足如下随机微分方程：

3 欧式看涨期权的定价

下面考虑欧式看涨期权的定价。

设V（St，rεt，t）是其在t时刻的价格，K是敲定价格，在到期日VT＝ （ST-K）＋。利用Δ-对冲原理导出Vt满足的PDE。

考虑投资组合（St，Pt），其t时刻的价值为：

其中Δ1t，Δ2t分别为所持股票和零息债券的多头，使Πt在时间段［t，t＋d t］内无风险，即

由伊藤公式知：

定理 V（St，rεt，t）是欧式看涨期权在t时刻的价格，则

其中

证明 把零息债券P（t，T）作为新的计价单位，作如下变换：

经计算得：

代入式（12），得

从而

其中

证毕。

注：1）当ε→0，即为经典的Black-Scholes欧式看涨期权定价公式；

2）由Call和Put的平价关系，可类似得到欧式看跌期权价格的公式。

［1］ Elliot R J，Van Der Hoek J.A general fractional white noise theor y and applications to finance［J］.Math Finance，2003，13（2）：301-330.

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［3］ Bjöor k T，Hult H.A note on wick products and the fractional Black-Scholes model［J］.Mathematics to Fiance，2005，9（2）：197-209.

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［6］ Thao T H.Fractional integrated GARCH diff usion limit models［J］.Jour nal of the Korean Statistical Society，2009，38：231-238.

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