考虑激波串的超声速燃烧流场分析模型

王成鹏， 杨永阳， 程克明

（南京航空航天大学 空气动力学系，江苏 南京210016）

0 引 言

近年来各种高超声速飞行实验的成功［1－2］，表明了高空条件下超声速燃烧的可实现性，也验证了采用超燃冲压发动机方案推进吸气式高超声速飞行器的可行性；尽管还存在如推力富裕度很小等很多关键问题有待解决［3］，但吸气式高超声速飞行器相对火箭在长航时飞行时所表现出的经济性仍吸引了更多的关注。这种高超声速飞行器机体／推进系统高度一体化和飞行速域宽的特点要求在概念设计阶段各学科的模型分析精度就要达到较高的水平，而总体选型和性能分析需要进行大量的方案评估，需要快速地得到航程、有效载荷等各项性能的优化参数，所以需要各部件建立具有一定精度的快速分析流动模型［4］；其中针对燃烧室内超声速燃烧流场的分析和计算最为关键，超声速燃烧室流场结构复杂，存在着激波系、膨胀波系、激波附面层相互干扰结构等，化学非平衡效应强烈；针对这种含化学反应的多组分高温高速三维流动，详细计算需要采用CFD技术，需要考虑大量的中间化学反应过程，一般采用简化的化学动力学模型进行并行模拟，二维和三维流场计算量均相当大［5］，而且这种计算中包含的先进湍流燃烧模型尚不成熟。寻找一种快捷简单而又具有一定精度的超声速流动燃烧一维模型为吸气式高超飞行器的初步设计和性能估算服务非常必要。

国内外在描述超声速燃烧主要物理过程的模型建立方面做了很多工作［6－14］，文献［6］对一类超燃燃烧室一维流动分析模型进行了总结并给出了改进模型，模型主要以 William H.Heiser和 David T.Pratt［7］提出的三段物理过程（绝热压缩，等压释热和膨胀释热）为框架，基于实验中获得的实验数据分布，人为确定三种物理过程的分界点，忽略摩擦、热交换等次要因素，先求马赫数分布，再求其他变量；这类以实验燃烧室静压数据为基础的超燃燃烧室流场分析模型可以给出超燃冲压发动机燃烧室内的超声速燃烧过程的合理描述，在估算燃烧室性能方面有重要的参考价值［8］。在概念性飞行器设计的初步阶段，可能无法获得相应的燃烧室壁面压力数据供预测飞行器性能，此时研究者们发展了一类准一维或称为广义一维数值分析方法，结合有限速率化学反应模型［9－10］或无限反应速率一步模型［11－14］，在短时间内获得燃烧室压力、马赫数等参数沿程分布，为飞行器设计提供性能分析或评价。这其中Timothy，Starkey等发展的一种“准一维超燃流场模型”［9－10］较有特色，该模型在考虑面积变化、壁面摩擦、燃料喷射以及向燃烧室内壁传热影响的基础上，在一维管流控制方程中耦合了有限速率化学反应方程，加入了燃料混合模型，相对无限反应速率模型在一定程度上提高了精度，该模型已经被用于吸气式高超声速飞行器的初步设计之中［9］，他们建立起来的准一维流动模型能够预测出着火点，在着火点之后能够准确地计算出壁面沿程静压分布；但是由于此模型没有考虑喷射点之前燃烧高压前传形成的激波串结构的影响，因此在燃烧室着火点之前，计算结果与实验值差别很大；结合超声速燃烧物理过程目前的理解程度，分析这种模型计算结果与实验值的差别还需从实验观察入手，潘余等［15］采用光学观测的方式对不同着火方式下燃烧室内着火过程进行了研究，给出了着火过程中燃烧室内的流动现象，他们发现在一些射流自燃工况中，氢气首先在射流喷孔下游某个区域自燃，初始火焰形成后，燃烧区放热使局部压力升高，在燃烧区域前形成若干激波系，最终实现稳定燃烧。Schmidt V 等［16－17］应用高速摄影和高速阴影对着火过程进行了观测，拍摄了火焰、流场阴影图像等，结果表明火焰首先起始于燃烧室下游，然后逆流传播至喷射点上游，最后建立稳定燃烧的状态。对这些实验现象的观察也许能够解释Timothy，Starkey等［9－10］人的“准一维超燃流场模型”在激波串区域失效的原因：实验中的超声速燃烧过程可以由两个阶段描述，第一个阶段，燃料从喷射口喷出，与主流掺混，在着火点自燃，开始形成初始火焰，压力升高；第二个阶段，燃烧造成的高压在附面层内亚声速区域前传，产生的逆压力梯度使壁面附面层发生分离，进而导致超声速芯流面积收缩，压缩主流，形成激波串结构和稳定的燃烧过程。由于 “准一维超燃流场模型”是一种一维模型，从燃烧室进口沿程向出口计算，模拟了燃烧的第一个阶段，却无法模拟第二个阶段，造成了在着火点之前的压力计算不准。

从较早的 William H.Heiser和David T.Pratt［7］的“一维流动分析模型”到最近的 Timothy，Starkey［9－10］的“准一维超燃流场模型”，随着对超燃现象研究的深入，模型开始更细致地考虑基元化学反应的影响，同时也考虑了摩擦、热交换、燃料喷射等一些在过去模型中忽略的因素，有研究［18］表明这些被忽略的因素很可能会对参数计算造成较大的误差。即使这样，Timothy，Starkey［9－10］的“准一维超燃流场模型”仍然不能在燃料喷口之前的预燃激波串区域准确地计算出沿程压力分布，究其原因，是因为在建立模型的过程中没有考虑激波串结构的影响；而实验中超燃现象表明在燃料着火之后，高压在附面层亚声速流中前传形成激波串，这一现象在“准一维超燃流场模型”中没有体现。基于这种分析，本文在超声速燃烧实验现象观察的基础上，在“准一维超燃流场模型”中耦合进激波串结构模型［19－20］，提高其壁面压力的预测能力，而壁面压力计算结果精度的提高将对超燃燃烧室压力阻／推力的计算乃至整个飞行器的推阻性能计算有重要意义。

1 物理模型与分析

物理模型的分析仍然借助于William H.Heiser和David T.Pratt［7］提出的超声速燃烧模型，燃烧室构型为常见的“等直段＋扩张段”（图1），隔离段进口为经过高超声速进气道压缩后的超声速来流，燃料在3处喷入超声速流场中，燃料与来流混合后在喷射点下游某点开始点燃，燃烧放热形成的高压压缩上游超声速来流，引起附面层分离，使得火焰区域得以逆流传播，在d点和s点之间燃烧释热与超声速有效流动面积变化共同作用形成等压区域；在s点之后面积扩张的影响占主导，压力沿程下降；在d点之前，一段激波串区域跨越燃料喷射点形成绝热压缩段衔接上游低压与燃烧区高压。下文将详细叙述各个物理化学过程的模化处理方法。

图1 超声速燃烧流动物理模型Fig.1 Flow analysis model for supersonic combustor

2 超声速燃烧流场控制方程

将燃烧室内流动介质视为化学反应完全气体混合物，每一组元视为热完全气体，各项组元比热与比热比为温度的函数；考虑流动变量在x方向上的变化；多组分准一维流刚性常微分控制方程组由连续方程（1）、动量方程（2）、状态方程（3）、组分质量分数方程（4）、能量方程（5）组成［9］：

公式（1）～（5）中A为燃烧室管道截面积（m2）；Cf为壁面摩擦系数；cp为比定压热容（J／（kg·K））；为以cp为自变量的函数，详见文献［9］；D为圆形截面管道直径或非圆形截面管道当量直径（m）；h为单位质量的焓（J／kg）；Ma为马赫数；MW为分子量（kg／kmol为组分混合物分子量（kg／kmol）；˙m为质量流量（kg／s）；p为压力（Pa）；Pr为普朗特数；T为温度（K）；U为矢量速度（m／s）；x为轴向坐标（m）；Y为质量分数；ε为燃料射流速度在x向上分量与主流速度之比；γ为比热比；ρ为密度（kg／m3）；˙ωi为每一组元在多步反应机理中的净生成率（kmol／（s·m3））：

其中、对应i组分在j个反应中方程两边反应物与生成物的化学当量系数，kf，jkr，j为正向和逆向反应速率系数，L表示基元反应步数，N为组分个数，这种表达式非常便于化学动力学过程的求解。式（4、5）中下标added为燃料喷射添加的组元，aw为绝热壁条件，ω为壁面条件，0为滞止状态。式（6）中的化学反应机理在本文中采用了Jachimowski提出的13组分、32反应的氢气／空气反应模型［21］，该模型是专门针对高速燃烧问题设计的反应模型，原模型中包括了氮气的化学反应，考虑燃烧室温度小于氮气分解温度4000K，所以仅考虑氢氧反应过程。化学反应生成项及其涉及的反应特征时间尺度差异很大，使得上述控制方程组是刚性常微分方程组，采用刚性系统算法器VODE［22］求解，方程组（1～5）的书写格式也是为了采用 VODE 求解。CHEMKIN－II［23］作为一种子程序库为流动燃烧耦合过程中的化学动力学问题提供了计算工具，计算之前首先将氢气／空气反应化学机理读入CHEMKIN－II的解释器（Interpreter），然后从热力学数据库中提出与机理相关的热力学信息，、hi、MW、cp等各项参数由 CHEMKIN－II的 子程序库计算得到，输出的计算结果应用于控制方程组（1～5）的相关项中。

针对燃料垂直地还是平行地与主流混合，将采取不同的混合模型。垂直喷注依靠燃料射流的能力获得混合效果，文献［9］中给出了一种燃料垂直喷射的混合模型，假定在一维范畴内，燃料的添加过程在一定长度内发生，从燃料喷射点向下游定义一混合长度Lmix，在混合长度内燃料仅仅发生了混合，燃料生产率˙ωi被设定为0，当达到混合长度后，反应开始发生，直至燃料到了燃烧室的末端或反应已达平衡。本文针对燃料垂直喷射工况仍然采用这种模型，不同于文献［9］中的人为给定Lmix，基于文献［24］中相似理论分析和实验数据结果，采用下式来确定燃料空气混合长度Lmix：

其中d为喷孔直径（m），j、∞分别表示喷流与主流条件，ξc为喷流中心线上燃料浓度，这里用燃料摩尔分数表示，文献［24］采用式（7）来表达喷流中心线上燃料浓度在喷孔下游沿流向方向的变化趋势，本文将可燃上限对应的氢燃料摩尔分数代入ξc，来确定Lmix。对于采用支板与主流平行喷射燃料的工况，可压缩混合长度由下式［13］来计算：

Mc为燃料与主流混合层对流马赫数，c为声速。冷流混合实验结果与多维计算结果表明公式（7、8）仅适用各自垂直和平行主流喷射燃料的工况，如果实际的燃烧室模型采用与主流成一定角度喷射燃料或采用凹腔等稳焰结构，均需根据实际情况建立混合模型。

3 激波串模型

如前所述，燃料喷入超声速来流发生混合、燃烧，形成的高压将通过附面层向上游传播，在隔离段中形成激波串结构（图1中u－d段）。第2节中的常微分控制方程组在隔离段进口赋初值求解，考虑燃料喷射、混合、燃烧模型，却没有考虑反压前传形成的激波串对沿程参数的影响，所以利用控制方程组求出沿程压力分布后，还需建立激波串模型。激波串为隔离段进口超声速来流在壁面摩擦、燃烧反压造成的逆压力梯度共同作用下减速扩压形成的复杂流动结构，包含激波相交反射、激波／附面层的相互作用、气流分离等，即使采用多维RANS（Reynolds－averaged Navier－Stokes）数值模拟手段刻画激波串结构目前也是一大难题，原因在于湍流模型在处理分离流、可压缩流体、激波不稳定性效应等现象时精度过低，而目前研究者对这些在激波串流动结构中包含的流动现象的物理机制了解的很不深入。自1958年Crocco［25］首次提出“无激波理论”激波串理论模型以来，至今基于理论分析和实验研究已发展了多个激波串（或伪激波）模型，最具代表性的包括 Matsuo［26］发展的“流量平均”理论模型和Waltrup［19］的基于实验数据的激波串公式，Matsuo的“流量平均”模型采用流量平均的方法处理激波串之前的包含附面层的截面平均参数，控制体包括整个伪激波结构（激波串＋下游的混合段），下游的静压、总压恢复等参数可以通过上游的流量平均参数求出，模型计算值经大量实验值验证表明具有很高的精度，但该模型无法给出激波串区域的沿程参数变化曲线；激波串区域流动分离导致的超声速流动有效面积无法精确确定，导致在一维范畴上处理激波串问题还需借助实验分析或经验方法，本文采用Waltrup的激波串公式来处理激波串区域的压力分布，该公式基于大量一维轴对称等直圆管内激波串结构实验数据，考虑了马赫数、进口附面层动量厚度以及基于进口附面层动量厚度的雷诺数等因素的影响，并根据影响的程度确定了影响因子，确定了管内增压比与激波串长度的关系式，因其实用性而被后人在计算激波串区域参数时广泛引用：

式中D为圆管直径，Ma1为激波串前主流马赫数，θ1为激波串前附面层动量损失厚度，Reθ为基于激波串前附面层动量损失厚度的雷诺数，p1为激波串前壁面静压，p为对应激波串中轴向位置x点的壁面静压。如果管道为矩形截面，则采用下式计算激波串区域压力分布：

将公式（9）中的改为，圆管直径D改为管道进口高度H。如果实际工程应用中需要考虑管道进口（进气道出口）非对称附面层来流工况，可以采用下式［20］计算：

式中Dθ为基于附面层动量损失厚度的表征进气道非对称出口条件的非对称度因子，θmax、θmin分别为管道进口最大与最小附面层动量损失厚度，根据实验数据取为0.3。

由于燃料的喷射、掺混、着火延迟，高压在燃料喷射点之后形成，图1表明反压形成的激波串结构跨越喷射点被分成两段（u－3段和3－d段），为了确定激波串的位置，文献［27］发现3－d段轴向长度x3d与上游来流附面层动量损失厚度θ1、燃烧生成的高压ps／p1有关：

在图1的d点和s点之间，考虑超声速有效流动面积扩张与燃烧加热的共同作用，假定为等压段。

总结整个流场分析模型的计算过程：1）求解第二节中的超声速燃烧流场控制方程组，确定燃烧着火点和燃烧生成的高压ps；2）由公式（12）确定激波串在燃料喷射口下游的长度和图1中d点的位置；3）由ps／p1根据管道形状和来流工况确定采用公式（9～11）中的一个确定激波串的总长度xud和ud段壁面压力的分布；得到整个燃烧室沿程静压分布后，可以根据需要求解相应控制方程得到其他流动变量变化曲线。

4 模型算例验证

首先选择了一种常见的“等直段＋扩张段”超燃燃烧室基本构型进行流场计算，算例为Billg和Grenleski［28］研究的一个轴对称的、壁面垂直喷射燃料的超燃燃烧室模型，如图2所示，燃烧室的组成：一段长0.3312m的截面积为0.0038m2的圆柱，之后紧接着的是长0.6096m的发散型圆台，圆台进出口面积比为2；在x＝0处沿周向均匀分布8个直径为2.64mm的燃料喷射口。根据实验条件，确定计算模型与数值模拟的来流条件：Ma＝3.19，p＝54000Pa，T＝920K，壁温Tω＝500K；假定来流空气的体积组成是氮78%，氧21%，氩1%；氢燃料温度705K，油气当量比为0.5，喷流马赫数为1。

图2 Billig超燃实验模型Fig.2 Billig's experimental combustor configuration

图3中的虚线为求解第二节中的超声速燃烧流场控制方程组所得压力沿程分布，计算过程采用了公式（7）所确定的氢垂直喷射混合模型，燃料在x＝0处开始喷射入主流，经过混合燃烧过程在x＝0.078m处达到最大压力点，而后在扩张段压力沿程下降，可见这段计算过程可以确定燃料的着火点和很好的预测扩张段压力分布［9］，图4给出了对应图3中虚线压力数据的温度和组分沿程分布，表明了对应过程中H2O的生成与OH基的分布。考虑燃烧高压在附面层内亚声速区域的前传过程，采用第三节中的激波串模型来处理氢燃料着火点之前的壁面压力分布，其中激波串长度采用公式（9）计算，结果如图3实线所示，可见考虑激波串的模型很好的计算了壁面压力分布，考虑该模型的较高精度和快速计算特征，可以用于燃烧室的概念设计和性能优化中。为了更好地理解燃烧室内流动特征，图5给出了采用文献［5］中的三维数值模拟方法计算得到的燃烧室中心面上的等马赫数线图谱，可见喷口附近形成的激波串结构。

图3 不同模型壁面压力计算结果与实验数据对比Fig.3 Comparison of theoretical and experimental wall pressure distributions

图4 未考虑激波串模型时沿程温度与组分计算结果Fig.4 Temperature and mass fraction of H2，H2O，and OH distributions calculated using the model without shock train

图5 数值模拟Billig燃烧室等马赫数线图谱Fig.5 Mach number contours in Billig′s experimental combustor

在各种形式的超燃燃烧室数值和实验研究中，带后向台阶的垂直喷氢方式也非常常见，第二个算例选择了Billg和Grenleski［28］的一个轴对称的、带后向台阶的超燃燃烧室模型，燃烧室几何条件见图6，燃烧室同样由“等直段＋扩张段”组成，与第一个算例不同的是，等直段由两段不同直径的部分组成，扩张段也由不同扩张角的两段发散型圆台连接而成，氢气在后向台阶附近上游垂直喷射。第二个算例与第一个算例采用同一个超声速喷管，计算模型来流条件同第一个算例，所不同的是氢当量比提高至0.93。图7给出模型计算得出的壁面压力分布与实验数据的对比，考虑激波串的模型计算所得激波串长度为0.0542m，沿主流方向于喷口之后的延伸距离为0.0051m，尽管存在台阶，模型在x＝0附近仍很好地计算了激波串区域的压力分布，数值模拟结果也表明台阶的存在对激波串结构靠近壁面的分离区流场结构影响较小；在x＝0.1～0.2m处计算结果的偏低表明等压假设的不完善，但作为一种高效快捷的模型计算结果可以接受。

图6 带后向台阶的超燃燃烧室模型Fig.6 A backward－facing step combustor configuration

图7 后向台阶模型壁面压力计算结果与实验数据对比Fig.7 Comparison of theoretical and experimental wall pressure distributions is a step－cylinder－cone combustor

作为一种重要的燃料喷注方式，支板喷射可以将燃料喷入超声速来流的主流当中并获得良好的混合效果。第三个算例选择了Anderson和Gooderum［29］的支板喷射氢燃料超燃试验，如图8所示，燃烧室由“等直段＋扩张段”段构成，氢燃料由支板上喷口垂直喷入主流，燃料喷口位于图8中x＝0处，燃烧室截面为矩形，沿程保持等宽度0.17m，其他尺寸见图中标识。喷管出口条件为马赫数Ma＝2.7，静压P＝75777Pa，静温T＝1031K，油气当量比为0.619，壁面温度假定为Tw＝500K，来流空气组分按照质量百分数定为：O2：27.69%，N2：50.52%，H2O：21.79%。图9中考虑激波串的模型计算所得激波串长度为0.1562m，在燃烧室膨胀段计算压力分布与实验数据吻合很好，在x＝0～0.2m区间模型计算结果没有反映出实验数据的跳跃趋势，是由于模型没有考虑支板与壁面间的激波反射相交现象。

图8 Anderson超燃实验模型Fig.8 Anderson′s experimental combustor configuration

图9 Anderson实验模型壁面压力计算结果与实验数据对比Fig.9 Comparison of theoretical and experimental wall presuure distributions in Anderson′s experimental combustor

通过对上述3例的比较分析，发现本文所建立模型能很好地反映超声速燃烧室流动中的物理化学过程，并和实验数据相符。从而认为该模型是有效的。

5 结 论

对考虑了激波串结构模型的超声速燃烧流场中物理化学过程的模化处理方法进行了研究，建立了意义明确、精度较高的流场分析模型，计算了“等直段＋扩张段”、后向台阶和支板喷射三种构型的燃烧室内氢燃料的超声速燃烧问题，在每一算例中，均能够计算出与实验数据分布趋势一致的壁面沿程压力数据，该模型适用于采用超燃冲压发动机推进的高超声速飞行器概念设计阶段的流场性能预测分析和参数优化，也可用于地面、飞行实验数据分析，加深对燃烧室内气动热力过程的理解。论文给出了处理超燃燃烧室内流动问题的框架，所述方法具有一定的参考价值，研究人员可以根据具体的燃烧室构型（如凹腔结构、多点喷射等）在本文的基础上构建适合的混合、燃烧、激波串模型对流场进行分析。

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