《数理统计》中假设检验知识点的教学探讨

李正耀，何先平

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

《数理统计》中假设检验知识点的教学探讨

李正耀，何先平

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

分析了《数理统计》课程中假设检验知识点教学过程中学生经常出现的一些问题，提出在实际教学中采用直观、联想与类比的教学方法，让学生正确理解假设检验的原理与方法，并给出了假设检验中假设选取的2条原则。

假设检验；假设选取；类比教学法

假设检验是统计推断的2大核心任务之一，在统计中具有非常重要的意义。让学生理解假设检验的基本原理，学会在实际中正确使用假设检验法，对于提高学生的综合素质及培养学生解决实际问题的能力是非常重要的。但一般而言，工科《概率论与数理统计》课程[1]的假设检验部分在实际教学中，往往过于程式化，学生对假设检验的原理不清楚，只知道有若干个难记的公式，遇到实际假设检验问题时，却不知道如何正确使用；检验之初不知如何选择适当的命题作为原假设与备择假设；由样本观测值作出检验结论时，对于“拒绝原假设”与“接受原假设”的准确含义不能真正理解。下面，笔者在实践教学中就上述问题进行了探讨❶。

1 以生动直观的例子理解假设检验的基本思想

例1一南北交通干线全长10km，公路穿过一隧道，隧道南面3.5km，北面6.5km，在刚通车的一个月中，隧道南发生了3起互不相关的交通事故，而北面没有发生交通事故，据此能否认为隧道南面的公路更容易发生交通事故[2]？

分析隧道将公路分为2段：隧道南3.5km，北面6.5km，记p表示一起交通事故发生在隧道南面的概率，如果每起交通事故在这段公路上每一点等可能发生，则p=0.35(视为原假设H0)；而p>0.35(视为备择假设H1)表示隧道南面的公路更容易发生交通事故。用W表示3起交通事故发生在隧道南，假定每起交通事故在这段公路上每一点确实是等可能发生(H0为真)，则每一起事故发生在隧道南的概率都是0.35，由于3起事故是相互独立的，则P(W)=0.353≈0.05，W是一个小概率事件，一般不会发生，既然它发生了，就有充足的理由否定该假定(拒绝H0)，认为隧道南面的公路更容易发生交通事故。

从上述例子中，容易理解假设检验的过程中包含2个重要思想：①反证法思想。为了检验原假设H0是否正确，首先假设H0为真，看由此能推出什么结果，如果导致一个不合理的结果出现，则表明“假设H0为真”是错误的，由此应当拒绝原假设H0；如果没有导致不合理的现象出现，则不能认为“假设H0为真”是错误的，只好选择接受H0。②小概率原理。数理统计中的小概率原理是指“一次试验中，小概率事件是几乎不会发生的”，在原假设H0成立的条件下，样本观测值(x1,x2,…,x2)落入拒绝域W是一小概率事件，P{(x1,x2,…,x2)∈W}=α，应当是“不容易发生的”，如果该事件发生了，则有充分的理由认为原假设H0不正确。

2 假设检验中注意假设的选取原则

2.1原则1

原则1如果想强烈地支持某一命题，则应将这一命题作为备择假设，而将它的否命题作为原假设。

分析这是一个刚建成投产的工厂，人们对它生产的产品的质量状况没有任何认识，工厂也希望以自己产品的优良品质赢得用户对它的充分信赖，为了能以充足的理由说明该厂的质量可靠，因此，应作如下假设：H0:μ≤225↔H1:μ>225。

如果提出的是另外一种形式的假设，即H0:μ≥225↔H1:μ<225,还是使用t检验统计量，在显著性水平α=0.05时，拒绝域为{t<-1.753}，检验统计量的观测值是相同的，即t=2.05，样本观测值落入接受域中，将由此作出接受原假设的判断。值得注意的是，这时虽然作出了“该厂生产的产品符合国家标准”的判断，但理由是不充分的！

2.2原则2

由于在假设检验中，当原假设为真时，拒绝原假设是如此的不易(必须要有充足的理由)，因此，假设检验具有一种强烈的保护原假设的倾向。

原则2将久已存在的、不能轻易被否定的命题或成见作为原假设。

对这一实际问题，分别提出2种不同形式的假设，考察它们的结论有何差异。

2)假设Ⅱ 考虑作假设II：H0:μ≥0.12↔H1:μ<0.12。还是使用t检验统计量，在显著性水平α=0.05时，拒绝域为{t<-1.711}，检验统计量的观测值还是t=0.091，样本观测值落入接受域中，将由此作出判断：“该厂生产的微波炉辐射量指标不符合标准”(准确的说法是：“没有理由认为该厂生产的微波炉辐射量指标符合标准”) 。

对这同一组样本观测值，2种形式的假设检验却得到了完全相反的结论，这在实际中并不少见，采信何种判断就必须要依赖于人们对该对象的经验与成见。如果该厂生产的微波炉质量一向良好，根据选取假设的第2条原则，应充分保护这种经验与成见，将“质量良好”作为原假设，即应采用假设Ⅰ，样本观测值显示：没有充分理由认为该厂生产的微波炉辐射量指标不符合标准。因此，最终的结论是该厂生产的微波炉辐射量指标符合标准；反之，如果该厂一向质量不可靠或是刚建成投产的新厂，则应采用假设Ⅱ，最终的结论是：该厂生产的微波炉辐射量指标不符合标准。

3 联想与类比：假设检验与司法判决

司法判决在某种意义上也是一种假设检验，结合司法实践中的一些案例，可以非常形象直观地帮助学生正确理解假设检验中的基本原理。以刑事诉讼为例，有罪推定是指先将一个人的行为定为有罪(即原假设为：此人有罪)，然后围绕其犯罪不可否认的定论去寻找法律和事实依据；无罪推定是与有罪推定相对而言的(该检验的原假设为：此人无罪)，犯罪嫌疑人，被告人在未经法院判定有罪的情况下，应推定其无罪。对于某一犯罪嫌疑人或被告人，使用同样的证据，采用“有罪推定原则”进行判决与采用“无罪推定原则”进行判决，结果可能是完全不同的，可以把这一点完全让学生对照例3中的假设检验问题细细体味，进而得出结论：现代文明社会的司法制度采用“无罪推定”，就是要充分保护“无罪”这个原假设，起到保障人的自由、生命、荣誉与权利，所以说“无罪推定”是伟大的政治文明，是最符合人性的伟大法律原则。另一方面，由假设检验可以知道，如果作出拒绝原假设的判断，理由是充分的，而作出接受原假设的判断，理由是不充分的，将该原理应用于刑事诉讼，在无罪推定原则下，如果某人被判为“有罪”(拒绝原假设)，则该嫌疑人一定是罪有应得；如果某人被判为“无罪”(接受原假设)，则该嫌疑人未必没有犯案。

在假设检验的教学中，通过上述这种联想与类比，可以使得看似枯燥单调的公式与规则，变得更直观、更生动有趣，起到开阔学生视野，培养学生在别人看不到数学的地方用数学的眼光发现数学、应用数学。类似这样的训练，对提高学生的综合素质，培养学生的创新意识和创新能力将发挥重要作用。

[1]盛骤，谢士千,潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]何书元.数理统计[M].北京：高等教育出版社，2012.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.059

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A

1673-1409(2012)12-N175-03