一种计及滑块裙部变形的滚珠直线导轨副模态分析方法

陈 汀 黄其柏

华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室，武汉，430074

0 引言

滚珠直线导轨副具有低摩擦、高刚性、高耐磨性、高可靠性和精确的导向性等特点，已成为各类数控机床、制造装备的必要部件。当前，有限元分析技术在制造装备整机设计过程中的应用日益广泛，但系统部件之间的滚动接触面（如滚动轴承、滚动直线导轨等运动部件的接触面）特性在系统仿真过程中往往得不到足够的重视，其主要原因是，这些运动接触面之间存在数目众多的滚动接触对，且接触对具有非线性特性。如何对这些接触对进行合理建模直接影响对制造装备进行动态特性预测的结果。

建立合理有效的滚珠直线导轨副动态仿真模型，是进行制造装备动态特性预测的重要环节。有学者对滚动直线导轨副的动态特性进行了分析。Ohta等［1］基于均匀分布的弹簧单元，模拟滑块与导轨的接触特性，对某型号滚珠直线导轨副的滑块进行了有限元模态计算，并通过对滚珠直线导轨副进行模态测试，得出滚动直线导轨副的滑块存在滚动、偏摆、俯仰、垂直振动等振型的结论。Hagiu等［2］应用赫兹接触理论，建立球轴承法向力与弹性变形方程，分析了机床的动态特性。文献［3－4］应用赫兹接触理论，讨论了球轴承的振动与刚度矩阵的关系。Pimsarn等［5］提出了一种PISE（pseudo－interference stiffness estimation）方法，该方法可快速估计球轴承的等效刚度。文献［6－7］对具有两列滚珠的滚珠直线导轨副进行了有限元模态分析，将滚珠与滚道的接触区视为面接触，利用膜单元模拟接触特性，并在Ohta模型［1］的基础上引入了一个切向弹簧单元模拟二维点接触，进行了计算模态分析，并将计算结果分别与Ohta的计算模型的结果和试验模态的结果进行了比较。张耀满等［8］用弹簧阻尼单元模拟滚动直线导轨的结合面进行机床进给系统的模态分析，然后对包含滚动直线导轨副的数控机床进行了静刚度和动刚度试验。分析表明，试验测试结果与有限元分析结果差别较大，说明直线导轨副运动结合面的建模直接影响制造装备的物理特性。由以上文献分析可知，在对滚珠直线导轨副进行动力学仿真时，往往根据赫兹接触理论将整个导轨副视为刚体，仅考虑接触区的变形，计算导轨副的接触刚度。实际上，由于滚珠直线导轨副受预紧力作用，滑块裙部会产生变形，从而影响滚珠直线导轨副的接触刚度。作为制造装备中重要的功能部件，如何使仿真模型尽可能准确地反映实际物理模型是动态特性预测的关键技术。而以上文献在分析滚珠直线导轨的动态特性时，均未考虑滑块的变形。

本文以某精密制造装备中用到的某型号滚珠直线导轨副为对象，首先，基于计及滚珠直线导轨副滑块裙部变形的刚度模型［9］，建立了一种滚珠直线导轨副的三维有限元模型。然后，通过有限元模态计算，求得了滚珠直线导轨副的模态频率及其相应的振型。最后，利用试验模态分析技术，对滚珠直线导轨副进行了模态测试，以验证有限元建模与分析方法的有效性。

1 滚珠直线导轨副运动坐标系

滚珠直线导轨副的运动坐标系如图1所示。滚珠直线导轨副坐标系的原点O与滑块的质心重合，α为滑块与滚珠的接触角，z轴平行于导轨的轴线。由于滑块的驱动方向为z向，故不考虑滑块沿z轴的位移。滑块的运动主要产生沿y轴的振动位移v、沿x轴的振动位移u、绕x轴的振动角θ、绕y轴的振动角ψ以及绕z轴的振动角φ。

2 滚珠直线导轨副接触刚度计算

不受预加载荷作用时，滑块与导轨沟槽曲率中心距为

式中，rc为滑块沟槽曲率半径；rr为导轨沟槽曲率半径；d0为基准滚珠直径。

在预加载荷作用下，滚珠的过盈量为

式中，d为实际滚珠直径。

将式（2）代入式（1），可得预加载荷作用下，滑块与导轨沟槽曲率中心距：

在预紧力和垂直载荷作用下，导轨副产生垂直位移v，滚珠直线导轨副第i列滚道中的第j个钢球所受到的接触力为Fij，滚珠与滑块滚道之间的接触变形为δcij，滚珠与导轨滚道之间的接触变形为δrij。在滚珠与滑块滚道之间的接触力的作用下，滑块滚道处产生Δci的弹性变形。由于滑块的变形，滑块的沟槽曲率中心位置变为O′ci，假设导轨的沟槽曲率中心位置不变，则导轨副变形后的沟槽曲率中心距为

变形后的接触角的计算式为

其中，Δci可通过对滑块裙部进行计算求得。

滚珠直线导轨副第i列滚道中的第j个滚珠的弹性趋近量为

根据Hertz接触理论［10］，滚珠与滑块以及滚珠与导轨之间的弹性趋近量分别为

其中，Ccij、Crij分别为滚珠与滑块滚道、滚珠与导轨滚道之间的变形系数，它们与导轨副的材料、变形系数及接触点处的曲率和有关：

在垂直载荷作用下，滚珠直线导轨副的静力平衡关系为

式中，n为滚道承载区中钢球数目；Fv为滑块受到的垂直载荷。

故滚珠直线导轨副垂直刚度的理论表达式为

结合滚珠直线导轨副的结构特点和垂直刚度表达式，滚珠直线导轨副的接触刚度为

式中，ZL为滚道承载区内滚珠的数目。

3 滚珠直线导轨副有限元建模

本文应用PATRAN／NASTRAN有限元分析软件，建立了某型号滚珠直线导轨副的有限元模型，如图2所示。首先利用三角形单元对滑块和导轨的端面进行划分，然后通过拉伸面单元形成体单元。注意到，滚珠直线导轨副中有4列滚道，各列滚道内的每个滚珠与滚道间形成两点接触状态，因此必须保证接触界面处有限元模型与物理模型具有等效的接触刚度。

根据弹性力学基本理论，杆单元具有沿杆方向的二力性特征，此特点与滚珠和滚道间的接触特性非常相似；同时，杆单元在有限元建模中应用广泛，而且可以保证计算精度，故本文用杆单元模拟滚珠与导轨和滑块间的接触刚度。杆单元的刚度

式中，Erod为杆单元的弹性模量；A为杆单元的横截面积；L为杆单元的长度。

根据已计算的滚珠直线导轨副的接触刚度，可以确定杆单元的参数。

本文研究的某型号滚珠直线导轨副中的滚珠和导轨所用材料的弹性模量E1＝204GPa，泊松比μ1＝0.28，材料密度ρ1＝7850kg／m3。滑块所用材料的弹性模量E2＝206GPa，泊松比μ2＝0.3，材料密度ρ2＝7900kg／m3。

4 滚珠直线导轨副有限元模态分析

在建立了滚珠直线导轨副有限元模型后，根据滚珠直线导轨副的工作特点，将导轨底面的自由度全部约束后，进行有限元模态计算。导轨副主要模态频率及其对应的振型如表1和图3所示。

表1 滚动直线导轨的计算模态频率

由图3所示的有限元计算模态振型可知，滚珠直线导轨副的振动主要表现为滑块的刚体模态。除了第1阶模态外，2～6阶模态的振动都是由导轨副的弹性变形引起的。其中，2～5阶模态主要由滚珠与滑块滚道之间、滚珠与导轨之间的弹性接触变形引起，模态特性表现为滑块在各自由度上的刚体模态；第6阶模态为滑块绕z轴的高阶滚动，除了具有刚体模态之外，还表现出滑块的柔性模态，模态频率较高。此分析结果与文献［1，7－8，11－12］中的分析结论基本一致。但是，第1阶振型与实际情况不符，此振型为沿z轴即为沿运动方向的模态。理论上，在滑块的6个方向的自由度上都存在相应的模态频率和振型，但是，z方向为滑块沿导轨的运动方向，振动机理非常复杂，具有强烈的非线性，不同于其他方向上的振动状态，需要进行专门的研究，在此不再赘述。

5 滚珠直线导轨副模态测试

为验证有限元建模方法及计算结果的有效性，对滚珠直线导轨副进行模态测试。本试验中，用于测试的滚珠直线导轨副由广东高新凯特精密机械股份有限公司制造。导轨副的结构与有限元分析模型结构一致。滚动直线导轨副中的导轨根据工作状态的要求安装在一个近似刚性的基座上，以此来避免外界系统对滚珠直线导轨副模态测试的影响。采用美国PCB公司的086C03硬质锤头的力锤对导轨的滑块进行激振，采用美国PCB公司的352C33型模态高分辨率ICP加速度传感器拾振。信号采集与模态分析系统采用LMS公司的SCADAS Mobile前端和Impact Testing模态测试系统。

6 有限元模态计算结果与模态测试结果

有限元模态计算结果与模态测试结果如表2所示。由于实验中很难对滑块的x方向进行激振，且x方向的动态特性具有非线性特征［12］，故在实验中不考虑x方向的模态频率和振型。模态测试的模态振型如图4所示。

表2 有限元模态计算与模态测试结果比较

由结果对比可以发现，第2、3、5、6阶试验模态与有限元模态分析结果完全一致。第2阶试验模态对应的振型为绕z轴的滚动，第3阶试验模态对应的振型为绕y轴的偏摆，第5阶试验模态对应的振型为沿y轴的振动，第6阶试验模态对应的振型为绕z轴的高阶滚动。从表3所示的模态频率中发现，虽然模态测试测得的第3阶模态频率与有限元模态计算的第4阶模态频率相近，但第3阶模态振型主要以绕y轴的偏摆为主，故为导轨副的第3阶模态频率。

模态测试没有提取到有限元计算中的第4阶模态频率，这主要是由于第4阶模态频率与第3阶模态频率非常接近。从第3阶模态对应的振型中可以发现，第3阶模态伴随有不太明显的绕x轴的俯仰，由于模态密集，导致模态混叠，模态识别困难。

从模态振型中发现，滑块的模态主要表现为滑块的刚体模态，滑块或导轨的弹性变形产生的柔性模态在测得的频带内没有体现出来。这可能主要是由于柔性模态具有比刚体模态更高的模态频率。因此，滚珠直线导轨副的模态主要表现为滑块的模态，滑块的振动状态主要由滚珠与滑块滚道之间、滚珠与导轨滚道之间的接触变形引起，这与有限元分析得到的结论基本一致。

对有限元分析结果与模态测试结果进行对比分析后可知，除滑块运动方向的动态特性识别需要进行专门地研究之外，本文提出的有限元分析方法的计算结果与模态测试结果基本一致。该有限元分析结果比较准确，可满足工程应用的需求。因此，在对滚珠直线导轨副利用有限元方法进行动态分析时，可以利用本文的方法对滚动接触面进行建模和分析。

7 结论

（1）滚珠直线导轨副的模态主要表现为滑块的刚体模态，它是由滚珠与滚道之间的弹性接触变形引起的。除沿导轨运动方向之外，每个自由度上都存在相应的模态。

（2）滚动直线导轨副沿运动方向上的动态特性需要专门的建模、分析与测试方法，有待进一步研究。

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