用重节点差商法求解3n＋2次Hermite插值问题*

乐依赟，蔡 静

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000）

用重节点差商法求解3n＋2次Hermite插值问题*

乐依赟，蔡 静

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000）

用重节点差商法求解Hermite插值问题，在已有的成果基础上，针对节点数完全匹配的情况，建立了带导数的Hermite插值公式，进行了相应的误差估计，并通过具体的求解例子与现有的Lagrange基函数法作了比较，显示所用方法的优越性.

Hermite插值；重节点差商法；误差估计

MSC 2000：65D05

0 引言

Hermite插值是插值函数的一种，广泛应用于经济学、几何学、物理学以及军工等学科领域，其研究具有重要意义.许多文献研究了Hermite插值的不同形式.主要涉及多个节点的Hermite插值、多阶Hermite插值、多次Hermite插值、分段Hermite插值等方面［1～6］.

在所查阅的文献中，关于Hermite插值问题的讨论，几乎都是用Lagrange插值基函数法求解的，当节点处的函数值、导数值增加，所有的基函数都必须重新计算，非常不便.

本文主要考虑的问题：在节点数完全匹配的带一阶导数的Hermite插值公式的基础上，能否用差商法推出节点数完全匹配的带二阶导数的Hermite插值公式？

本文的安排如下：第二节给出3n＋2次完全匹配的Hermite插值公式并进行误差分析.第三节通过数值试验，将所建立的重节点差商法Hermite插值公式与已有的Lagrange基函数法作比较，以说明本文所提出算法的优越性.

1 3n＋2次完全匹配的Hermite插值公式及误差分析

定义1 设f（x）在［a，b］上具有二阶连续导数，若在互异节点a≤x0＜x1＜…＜xn≤b上存在一个不超过3n＋2次多项式H3n＋2（x），使

则称H3n＋2（x）为3n＋2次Hermite插值多项式.

定理1 满足插值条件（1）的插值多项式是存在唯一的，且公式如下：

2 数值实例

已知f（x）的相关数据如表1所示：试构造不超过5次的Hermite插值多项式.若为f（x）增加一个节点x2＝2，使f（x2）＝113，f′（x2）＝484，f″（x2）＝ 1924，试构造 不 超 过 8 次 的Hermite插值多项式.

解 先用文献［6］中提及的Lagrange插值基函数法，构造基函数.

表1 已知的f（x）的相关数据

因为f（x）在（a，b）上的节点为x0＝0，x1＝1，且节点x0＝0，x1＝1都是三重节点，所以

由文献［6］中（6）、（7）、（15）得：

得插值多项式：

比较结果：根据实例中两种算法的比较可以发现，本文给出的算法在计算过程中更简便.运用构造Lagrange插值基函数法，当函数f（x）在某一节点处的相关数据发生变化或增加某一节点处的相关数据时，原本所构造的全部基函数都必须重新构造，而重节点差商法，则只需计算发生变化或增加的某一节点的那部分数据即可，计算量大幅减少.

［1］朱琳.Hermite插值多项式的重节点差商表示及其应用 ［J］.河北理工大学学报（自然科学版），2010，32（4）：116～118.

［2］曾长雄.3n＋2次 Hermite插值多项式及插值误差 ［J］.邵阳学院学报（自然科学版），2010，7（2）：9～12.

［3］王景泉，谭冰.带二阶导数的 Hermite插值公式的推导 ［J］.南阳师范学院学报，2008，7（6）：13～16.

［4］杨士俊，王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用 ［J］.高校应用数学学报（A辑），2006，21（1）：70～78.

［5］张进军.伪二元函数的 Hermite插值 ［J］.大学数学，2008，24（5）：98～102.

［6］赵易.Hermite插值算子及其误差的Hilbert变换表示 ［J］.高校应用数学学报，2009，24（1）：86～90.

MSC 2000：65D05

Solving the 3n＋2 Orders Hermite Interpolation Problems with the Method of Difference Quotient

YUE Yi-yun，CAI Jing
（Faculty of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

This paper mainly considers the Hermite interpolation problems with the method of divided difference at the same node.Based on the existing results，it studies the Hermite interpolation functions with derivative whose number of nodes is completely matching，builds some Hermite interpolating formulas with derivatives，and also gives the corresponding error estimate.Some numerical examples are presented to compare the proposed method with the existing Lagrange primary function method to show its advantage.

Hermite interpolation；divided difference at same node；error estimate

O151.21

A

1009-1734（2012）01-0027-05

2011-03-10

浙江省自然科学基金（Y6110043）；国家特色专业建设点“数学与应用数学”资助.

乐依赟，湖州师范学院理学院2008级本科生，从事计算数学研究.