合理运用近似法——以一道物理竞赛题为例

李小丽 敖胜美

(湖南师范大学物理与信息科学学院 湖南 长沙 410081)

合理地运用近似法，能够使所研究的问题大大地简化．但近似法也不能滥用，不适当地运用近似法不仅不能突出问题的主要方面，反而会使物理问题丧失其本质属性，分析所得结果可能与实际情形相差甚远．

本文以第29届全国中学生物理竞赛复赛中的一道电磁学试题为例，分析其近似法运用的合理性，提出一点看法，并对参考解答给以修正．

1 试题及参考解答

图1

图2

解析：如图2所示，当长直金属杆在ab位置以速度v水平向右滑动时，因切割磁感线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势为

ε=BLv

(1)

式中L为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有

(2)

在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度L可视为不变，近似为2R1．将式(2)代入式(1)得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为

ε=2BR1v

(3)

以I，I1和I2分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图2所示，以Uab表示a，b两端的电压，由欧姆定律有

Uab1=I1l1r0

(4)

Uab2=I2l2r0

(5)

式中l1和l2分别为金属杆左、右圆弧的弧长．根据提示，l1和l2中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为

(6)

(7)

B1方向竖直向上，B2方向竖直向下．

由式(4)～(7)可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为

B0=B2-B1=0

(8)

无论金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场．

图3

在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为

(9)

方向竖直向下．对应图2的等效电路如图3，杆中的电流

(10)

其中R为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R左和R右分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故

Rab≈2R1r1R左=R右≈πR1r0

(11)

利用式(3)、(9)、(10)和式(11)可得

(12)

由于小圆环半径R2≪R1，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为

(13)

当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由式(13)表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为

(14)

在长直金属杆以速度v从ab移动到cd的时间间隔Δt内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为

(15)

由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为

(16)

在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为

(17)

于是，利用式(12)和式(17)，在时间间隔Δt内通过小环导线横截面的电荷量为

(18)

2 赏析

此题是一道综合性很强的物理竞赛题，从题目中描述的物理过程、提示中给出的公式和参考解答过程都可见其牵涉的物理知识面之广，对学生分析理解、综合应用知识解决问题的能力的要求之高．

从知识点来看，此题包括了直流电路的概念及计算、电流激发磁场的规律(一般高中物理未学，故在提示中给出，学生需即时理解并应用)、场叠加原理、磁通量的概念及计算、电磁感应的规律等．

从物理模型的运用来看，此题主要涉及圆弧电流模型、长直电流模型、理想电源模型、直导线在均匀磁场中运动模型等．

从处理物理问题的方法来看，解答过程中多处使用了近似的方法，并且巧妙地采用等效的方法将磁场中滑动的杆和静止的大环转化为等效直流电路，这种方法不仅是使问题大大简化，而且会令解题的思路更为清晰．

由此可见，此题注重考查的是学生综合运用电磁学相关知识和物理思维方法解决问题的能力，的确是竞赛中一道很好的综合题．

3 商榷——要合理地采用近似

由题干、提示和参考解答可以看到，处理这一具体物理问题时做出了许多近似，最主要的有4处．

首先，在计算动生电动势时，近似地认为滑动过程中两接触点间金属杆的长度为不变值，且L≈2R1．这是由于考虑到式(2)的几何近似和运动区间很小的因素，显然这个近似处理是合理的．

其次，在计算金属杆中电流产生的磁场时，将金属杆近似地视为长直导线，从而就可利用提示中所给出的公式．这是由于滑动过程中，金属杆都在小圆环附近，场点到杆的距离远小于杆的长度，无限长近似也是合理的．

再者，在计算左、右大圆弧电流在小圆环处的磁场时，近似地都用圆心处的磁场替代了，这才会有二者叠加后为零的结果，如式(8)所见．这是题干中的条件R2≪R1所致，也是一种合理的近似．

最后，在计算载流金属杆的磁场通过小圆环的磁通量时，将磁场近似地视为匀强磁场．这纯粹因为题干中“假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场”，这种近似是否合理呢？笔者认为值得商榷．

我们认为“假设金属杆的电流在小圆环处产生的磁场可视为匀强磁场”(以下简称“假设”)与题干中给的其他几何条件矛盾．“假设”成立的条件应该是圆环的几何尺度远小于杆环间的距离，而不是参考解答中的R2≪R1，且题干表明金属杆是在小圆环附近运动的，故“假设”本身就不恰当，由此所做的近似也是不合理的．

4 对参考解答的修正

上面我们分析了由“假设”所做的近似的不合理性，由此可以判断参考解答的最后结果也会有误．下面我们尝试不依照“假设”做近似，运用微积分的方法对此问题的结果做一些修正．

图4

(19)

取面元dS=2R2sinθdr，穿过该面积上的磁通量为

(20)

式中r，θ见图4所示，故穿过小环的磁感应通量为

(21)

再令tanα=x，做第二次变量替换后有

(22)

(对此积分结果的正确性，可直接用Mathematica软件验证)

把式(22)代入式(21)中得

(23)

则原解答中的式(14)～(17)分别改为

(24)

(25)

(26)

(27)

于是，在时间间隔Δt内通过小环导线横截面的电荷量为

(28)