太阳核聚变概率计算及太阳目前结构和状态的推测

李学潜

(南开大学物理科学学院 天津 300071)

张邦固

(科学出版社 北京 100717)

1 引言

图1是太阳刚形成时的结构．其中，氢占约75%，氦占约23%，其他占约2%[1～3]．氢核会发生聚变，生成氘；进而，生成氚；生成氦3；生成氦4…… 以氢核数-时间函数为基础，我们计算了时至今日太阳中所消耗的氢、生成的氘、氚、氦3等，得到了太阳目前的大致结构．

图1 恒星初期结构

人们认为，恒星主序期中发生的是氢聚变成氘、氚、氦3、氦4的反应．

那么，具体情况是怎么样的呢？氢经过中间过程，最后都变成氦4？氘、氚、氦3一旦产生就会很快聚变而全都被消耗？聚变概率多么大？有没有剩余？ 剩多少？ ……定量地回答这些问题的关键是氢核数-时间函数．

我们知道，恒星核聚变是粒子靠量子力学隧道效应穿过电势垒来实现的[4]．然而， 能够实际应用的隧道效应概率的理论计算很困难．

本文依观测资料计算了太阳氢核聚变的概率．

由于聚变，氢核数会逐渐减少．本文推出了氢核数-时间函数，并进而给出太阳目前的结构及状态．

2 观测值

2.1 太阳温度

(1)平衡辐射

我们知道，平衡辐射的能量密度U(单位时间、单位面积所辐射的能量)与温度T的四次方成正比[1]

U=σT4

(1)

它就是斯特潘-玻尔兹曼(Stefan-Boltzmann)定律．其中常量为[1]

(2)

其中的π是圆周率，k是玻尔兹曼常量，c是光速，h是普朗克常量，其数值是

σ=5.670×10-8Wm- 2K- 4

(3)

(2)太阳常数

在地球大气层外与太阳光垂直的平面单位面积上单位时间所接收的能量叫太阳常数[5]．其数值是每平方米约1 400 W[6]．

将其乘以面积，我们可以得到太阳辐射的总功率．它叫做太阳光度．其数值为[4]

L=3.826×1026W=2.388 16×1039MeV/s

(4)

(3)表层温度

太阳光是从太阳表面辐射出来的．由太阳半径[4]

R=6.9599×108m

(5)

以及式(1)和(4)，我们可以得到太阳表层温度

(6)

2.2 太阳每秒发生聚合反应的次数

初期，太阳中发生的聚变基本上是质子-质子反应

p+p=D+e++ν+0.9 MeV

(7)

接着，上述反应所产生的正电子会与周围许多电子中的一个湮没

e++e=2γ+1.02 MeV

(8)

所释放的能量为1.92 MeV[7]．

根据观测，人们发现，在恒星光度和它的质量之间有一定的关系：质光关系[3]．质量大的恒星光度大，质量小光度小．质量相同的恒星光度相同．

太阳质量会随着辐射而逐渐减少．我们来估计一下．辐射最大的量是，在主序期太阳中的氢全部聚变成了氦．由氦的结合能[8]，我们可以知道，氢的质量会减少大约0.7%．整个太阳质量会减少0.52%．目前，太阳的主序期过了大约一半．这样，太阳质量最多减少约0.26%．据目前的观测，太阳的辐射只有上述最大量的约十分之一．所以，太阳由辐射所可能减少的质量估计约为0.1%．这是假设太阳最初是以目前量的十倍辐射得到的结果．据质光关系和质量变化，太阳最初的辐射量只可能比目前的大千分之几．这样，太阳质量由于辐射所减少的量就会更少．

太阳辐射总功率[式(4)]应该是变化不大的．它应该是

(9)

次聚变(每秒)所释放出来的．

2.3 一个质子发生碰撞的频率

我们假定太阳是分层热平衡的．温度取T当作平均来做初次计算．于是，质子的速度应该是

(10)

其中，k是玻尔兹曼常量，m是质子质量．

原子核半径公式是[9]

(11)

其中，A是原子核质量数．一个质子每秒扫过的体积为

V2= πr12v

(12)

平均质量密度ρ除以质子质量，得到质子数密度ρn． 于是，一个质子每秒碰撞次数为

n=πr12vρn

(13)

2.4 质子-质子聚变概率

将初始参与聚变的氢核数Np0与式(13)相乘再除以2，可以得到质子-质子(每秒)碰撞总数，再去除式(9)，我们便得到质子-质子聚变概率

(14)

3 氢核数函数

质子-质子聚变不断发生．太阳中参与聚变的氢核数不断减少．t时刻Np个氢核在dt时间内减少

(15)

上式右边第一个2的右面是dt时间内发生的聚变数，而一次聚变消耗2个氢核．积分，有

Np=Np0exp( -nηt)

(16)

我们把温度、密度和聚变概率都当成了常量．这里，我们做了平均．这是初步．

4 太阳目前的结构

4.1 太阳初期氢核数

由太阳中约75%氢质量和质子质量，我们得到

(17)

4.2 尝试

因为氢区其他部分并不释放能量，它们也不可能吸收并储存能量，长达数十亿年之久．所以，太阳表面释放的能量就是反应区表面所释放的能量．用上面得到表面温度的方法，可以得到聚变层的温度是11 540 K．

结论：这个尝试不符合实际．

注意：(1)这里聚变集中在核心区表面．范围相对小，温度、密度、聚变概率等变化不大，以其平均值作为常数所进行的式(16)的推导不会有太大的问题．

(2)式(16)右边仅时间和参与核总数可以讨论．

4.3 太阳氢区缩小

式(17)就应该是Np0．或者说，我们先假设之，下面会检验．

经过46亿年，太阳目前有氢核(质子)数

Np=8.982 0×1056exp(-2.38816×1039×

4.6×109×3.15×107/0.96×8.982 0×1056)=

8.982 0×1056exp( - 0.401 31) = 6.009 86×1056

(18)

我们看到，目前太阳氢的总量由于氢-氢聚变已经消耗了约三分之一．

4.4 氘聚变

(1)氘-氢聚变

一次质子-质子聚变产生一个氘核．由式(18)，太阳共产生

1.441 07×1056

(19)

个氘核．氘产生以后逐渐沉到氢区底部．它也会聚变消耗．氘的消耗也是与氘的总数成正比[式(15)]的．氘是边生成边积累边消耗的．我们假设，氘消耗比例只有氢的一半．减去这个期间消耗掉的，目前氢区底部还有

1.202 65×1056

(20)

个氘核在氘区(见图2)，氘核消耗有3个方向：向上与氢聚变；氘-氘聚变；向下与氚、氦3、氦4聚变．我们假设：这3个方向的概率相同．这样，氘核的四分之一会参与和氢核的聚变.

氘核与氢核聚变主要是

p+D=T+e++ν+5.0 MeV

(21)

p+D=3He+5.5 MeV

(22)

接着，正电子会湮没，释放1.02 MeV能量．

(2)氘-氘聚变

氘-氘聚变的主要方式是[6]

D+D=3He+n+3.27 MeV

(23)

D+D=T+p+4.3 MeV

(24)

接着，上面产生的中子会被质子吸收

p+n=D+2.225 MeV

(25)

因为质子对中子的吸收截面是氘核的640倍，是氦3的一万多倍．若式(23)和(24)是等概率的．那么，两个氘-氘聚变消耗3个氘，释放9.795 MeV的能量．

4.5 氚聚变

氢-氘聚变和氘-氘聚变都生成氚和氦3．氚和氦3生成之后会逐渐沉到氘区的底部．

由式(19)和(20)，太阳到目前共生成

(26)

个氚和氦3．扣除消耗，还有

0.099 486×1056

(27)

个．它们的四分之一会参与和上面的氘聚变

D+T=4He+n+18.6 MeV

(28)

D+3He=4He+p+18.4 MeV

(29)

这里，上面产生的中子会被质子吸收还会生成氘．

我们假定，氚、氦3各占一半．它们还会与下面的氦4聚变

T +4He =7Li + 2.9 MeV

(30)

3He+4He=7Be+1.5 MeV

(31)

7Be + e =7Li+ν+1.47 MeV

(32)

当它们自身的量积累到一定程度(例如：目前的量[式(27)])，还会发生

T + T =6He + 12.2MeV

(33)

3He+3He =4He+p+p+13.1 MeV

(34)

T +3He =6Li + 15.8 MeV

(35)

式(27)表明，氚、氦3的粒子数比氢的小两个数量级，比氘的小一个数量级．

4.6 太阳结构

根据上面计算，我们对太阳目前的状态可以有一个比较细致的描述．

图2 太阳目前结构示意图

由式(18)，氢已经消耗了大约33.09%．由式(20)，总质量的约20.08%是氘．由式(27)，有约

2.5%的氚和氦3．

上图示意了太阳目前结构．其中心是锂以上元素；外是氦4、氚和氦3、氘；最外是氢．

5 检验

(1)总辐射

到目前，太阳辐射的全部能量为

W=Lt=2.388 16×1039MeV/s×4.6×109×

3.15×107s= 3.460 4×1056MeV

(36)

(2)氢-氢聚变辐射

由式(18)，目前已经消耗

(8.892-6.00986)×1056=2.882 14×1056

(37)

个氢．它们释放的能量是

2.766 85×1056MeV

(38)

(3)氘-氘聚变辐射

由式(19)和(20)，到目前已经消耗

0.23842×1056

(39)

个氘．其中二分之一发生氘-氘聚变．假设式(23)和(24)的两个反应概率是相同的．它们释放的能量是

0.29189×1056MeV

(40)

(4)氢-氘聚变辐射

氘[式(39)]的四分之一与氢聚变．假设式(21)和(22)两个反应概率是相同的．它们释放的能量是

0.34273×1056MeV

(41)

(5)氚-氘聚变

假设，氚和氦3是等量的．由式(26)和(27)，已经消耗了

(42)

个氚．其中，四分之一与氘聚变[式(28)]．释放的能量是

0.045858×1056MeV

(43)

(6)氚-氚聚变

氚[式(42)]的二分之一发生氚-氚聚变．释放的能量是

0.03008×1056MeV

(44)

我们看到，由上面5项有

3.477 41 MeV

(45)

与总辐射只差千分之五．其他的有氦参与的聚变概率会小得多．原因是，电势垒高了许多．

6 建议

本文的基本假设是，太阳中所有氢核都参与了聚变．检验基本通过表明，它大致是符合实际的．由此看出，以太阳为代表的恒星中核聚变有如下特点.

(1)温度相对低．

太阳表面温度只有约六千度．还有两三千度的恒星．

(2)概率非常低．

针对这些，作者建议，在地球上实验新形式的聚变装置．不再追求高温．注重提高碰撞次数．建议采用对撞方式．

7 结论

(1)本文得到了太阳中参与聚变氢核数随时间变化的函数式(16)．

(2)上面得到了类太阳恒星条件下的质子-质子聚变概率式(14)．

(3)恒星主序期光度的主要贡献来自质子-质子聚变这个基础反应．

(4)本文得到了太阳目前比较细致的结构，并且，基本通过了检验．

(5)本文的主导思路是，由微观出发探索恒星的物理实际．

(6)上面的第6个大问题“建议”很重要．

8 讨论

(1)实际上，温度应该是由外向内逐渐增加的．密度也是这样．聚变概率也是．本文用平均来做，只是初步的．进一步的细致工作以后做．

(2)式(16)的氢核消耗没有计及氘-氢聚变所消耗的氢核．由式(19)和(17)可以计算出，到目前氘-氢反应所消耗的氢核是氢-氢反应的约2.5%．

(3)上面的聚变中各反应道的分支比与实验可能不同．这会给计算结果带来偏差．

(4)氢区逐渐缩小．这给式(16)的应用时间带来问题．长时间运用它会带来偏差．我们在下一篇文章中讨论这个问题．

(5)检验中，计算结果与实际相差很小．这里有各种偏差互相抵消的可能．但是，还是可以说，本文的主题基本通过了实际的检验．

(6)这里有许多值得进一步探讨的问题．

9 感谢

本文于2012年12月4日下午4时在南开大学物理学院报告，与会的教师和理论物理专业的研究生提出了许多有益的建议，作者进行了相应的修改，并对刘玉斌院长和其他与会者表示感谢.

参考文献

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