利用特征线法求解方程ut+b·Du+cu=0的初值问题

吴建成

(江苏科技大学 数理学院, 江苏 镇江 212003)

本文所研究的初值问题[1-2]

式中:c∈R1,b=(b1,b2,…,bn)∈Rn都为常数.x=(x1,x2,…,xn)为n维空间变量,t为时间变量,Du=(ux1,ux2,…,uxn),g(x)为已知函数.

上述初值问题中的方程(1)是具有常系数的一阶齐次线性偏微分方程.在大多数常微分方程和偏微分方程教程中,对一阶偏微分方程通常都进行简单的处理,原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程，即位势方程、热传导方程和波动方程等，都是标准的二阶偏微分方程.实际上,一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过,在流体力学、空气动力学和其他工程技术等领域有着广泛的应用.

一阶偏微分方程的特点是:其通解可以通过解一个常微分方程组而得到,称这种求解方法为特征线法[2-5].而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点.特征线法是一种重要又实用的方法,利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[6];用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式,并证明其光滑性，从而得到了经典解的唯一性[7];通过运用特征线法,讨论了无粘性Burgers方程柯西问题解的衰减估计,并给出了证明[8];运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[9]等等.特征线法除了可以运用于理论证明,也可以用于数值计算和一些实际问题的解决.

在方程(1)中,令c=0,则方程退化为齐次传输方程,初值问题变为传输方程的初值问题.传输方程的初值问题已经得到解决,并且得到了古典解,受其启示,研究初值问题(1～2),通过推导来寻找该初值问题的古典解.方程(1)是一阶偏微分方程的其中一种情况,因此可以利用特征线法来研究初值问题(1～2).

1 利用特征线法来求解该初值问题

下面定理理论上保证了初值问题有解的存在唯一性.

定理[2]设曲线γ:(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑,且f′2+g′2≠0,在点P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))处行列式

又设a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.则初值问题

在参数s=s0的某一领域内存在唯一解.称这样的解为局部解.

该定理可以推广到n元函数u=u(x1,x2,…,xn)的具有如下形式的拟线性一阶方程的情况.

(3)

式(3)的特征方程是常微分方程组

(4)

初值问题是要在空间Rn+1中求满足式(3)的积分曲面z=u(x1,x2,…,xn),使之通过用参数表示的n-1维超曲面γ:

过γ上每一个具有参数(s1,s2,…,sn-1)的点做特征曲线,即求出式(4)的当t=0时，(x1,x2,…,xn,z)=(f1,f2,…,fN,h)的解

(5)

在条件

下,就能够由式(5)前n个式子解出s1,s2,…,sn-1,t,将它们代入式(5)的第n+1个式子,就得到积分曲面z=u(x1,x2,…,xn),它就是初值问题的解.

因为线性偏微分方程可以看作是拟线性偏微分方程的特殊情况,因此由以上对方程(3)初值问题的处理,来解决初值问题(1～2).

设参数τ=0时的初始超曲面为：

γ:x1=s1,x2=s2,…xn=sn,t=0,z=g(s1,s2,…,sn).

(6)

则常微分方程组

过初始曲面(6)的解为

(7)

又在γ上

则由式(7)的前n+1个方程可以解出

代入到式(7)的第n+2个方程可得

z=u(x,t)=g(x1-b1t,…,xn-bnt)e-ct=

g(x-bt)e-ct

(8)

它就是齐次传输方程初值问题的解.

2 利用特征线法的一种特殊情况求解

这是一种更直接、更直观的求解方法.设方程

ut+b·Du=0x∈Rn,t∈(0,∞)

(9)

有光滑解u(x,t).由方程的形式可以看出,u(x,t)沿一个具体方向的方向微商等于零.

事实上,固定一点(x,t)∈Rn+1,令

z(s)=u(x+bs,t+s)s∈R

于是

最后一步等于0是因为u满足方程(9).因此,函数z(s)在过点(x,t)且具有方向(b,1)∈Rn+1的直线上取常数值.所以,如果知道解u在这条直线上一点的值,则得到它沿此直线上的值.这就引出求解初值问题(1～2)的方法.

先取定(x,t)∈Rn+1,对s∈R,令z(s)=u(x+bs,t+s),s∈R.则

-cu(x+bs,t+s)=-cz(s)

这是可分离变量的一阶常微分方程,它的通解是

z(s)=ae-cs

式中a为任意常数.

令s=-t,结合初值条件(2),可得

g(x-bt)=u(x-bt,0)=z(-t)=aect

由此得

a=g(x-bt)e-ct

z(s)=g(x-bt)e-cte-cs

令s=0,可得

u(x,t)=z(0)=g(x-bt)e-ct

(10)

此即所要求的初值问题的解.

3 结论

如果问题(1～2)有充分正则的解u,它一定是由式(8)给出.反之,容易验证:如果g∈C1,那么由式(8)定义的u确实是问题(1～2)的解.

以上利用特征线法把偏微分方程转化为常微分方程求解了初值问题(1～2),这是一种基本又重要的方法,它不仅适用于该初值问题的求解,也适用于波动方程及其他类型的偏微分方程的求解.

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