正交频分复用系统的拟合优度检测算法

王海泉 潘伟丽 沈 雷

（杭州电子科技大学通信工程学院，浙江 杭州310018）

引 言

随着无线通信业务的不断发展，可用频谱资源越来越稀缺，但研究表明频谱资源稀缺很大程度上是由于频谱利用率低.认知无线电（Cognitive Radio，CR）中频谱共享技术容许非授权用户在授权用户不使用频谱资源的时候使用其频谱，这一技术能够有效地解决频谱利用率低的问题［1-3］.为了不对授权用户造成干扰，非授权用户在使用授权用户频谱之前必须检测是否有授权用户存在，并需实时的监测是否有新的授权用户使用该频谱，因此，频谱检测是CR的关键技术 .所谓频谱检测［4］就是CR对接收到的信号进行检测来判断是否有授权用户存在.另一方面，正交频分复用（OFDM）技术是一种多载波传输技术，它通过添加循环前缀有效地对抗多径效应造成的码间干扰，已成为高数据率通信系统的首选技术［10］.因此，基于OFDM系统的频谱检测就显得非常必要.

目前已有的基于OFDM 系统的频谱检测方法有能量与检测［5-6］、循环平稳特征检测［9］、自相关检测［11-12］.能量检测利用接收到的信号的能量与噪声之间的差异进行信号检测，方法简单、方便，但在低性噪比的情况下，检测性能不佳.且这种算法需要知道噪声的方差，如果噪声方差估计不准确，能量检测性能将快速下降.循环平稳特征检测利用OFDM信号的循环谱特性进行信号检测，这种算法需要知道OFDM信号的调制参数，如果参数估计不准确，循环平稳特征检测性能快速下降，而且这个方法所需观测样本个数比较长，计算复杂度比较高.自相关检测法是对信号和信号延迟做相关检测，利用不同假设下信号自相关系数的差别，实现检测，但是这种方法只利用了两者相关性的能量部分，其检测性能较差.

本文提出一种基于拟合优度检验的OFDM系统的频谱检测方法.基于拟合优度检验的频谱检测方法已被应用于单载波系统，例如，参见文献［7-8］.此方法在单载波系统中具有良好的检测性能，但是并没有应用到多载波调制系统中.OFDM系统中的循环前缀［13］是该系统的重要特性之一.利用循环前缀的数据复制特性可以有效地检测授权用户的存在与否.具体地说，如果信道中不存在OFDM信号，循环前缀部分和被复制的有效数据部分是统计独立的高斯噪声.反之，由于循环前缀的存在，使得两者的相关性很强.本文所提的频谱检测算法就是通过对这两部分相关系数值的大小来做出判决，而此数值的大小由分布距离进行度量.这种检测算法充分利用了OFDM信号循环前缀的整体特性进行频谱检测，从原理上讲应该具有良好的检测性能，事实上，仿真也证明了这一点.

1 系统模型

在认知无线电中，CR接收到的OFDM信号是由发送端发送的信号经过调制（双相移相键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）、或正交振幅调制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）、串并变换、离散快速傅里叶变换（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）和添加循环前缀之后得到的［14］.在本文中我们假设发送端发送的OFDM符号子载波数目为Nd.假设每个OFDM信号中存在M个OFDM符号，第m个OFDM 符号的接收数据表示为Sm（i），i＝0，…，Nd-1，并且Sm（0），…，Sm（Nd-1）是经过 QAM 调制的独立同分布随机变量，则经过IFFT之后的第m个OFDM符号可以表示为

每一个传输的OFDM符号都包括有用数据（长度为Nd）和循环前缀（长度为Nc）两部分，一般情况下，Nc≤Nd/4.在OFDM符号上添加循环前缀，第m个OFDM数据块如图1所示.

图1 第m个OFDM数据块

经过添加循环前缀之后的第m个OFDM符号为Nd＋Nc维的列向量，可表示为

式中：［］T表示矩阵的转置；s′m表示被复制数据.

相对应的，CR接收到的OFDM符号和噪声信号表示为

式中：wm（n）是独立同分布，服从均值为零、方差为σ2w的复高斯随机变量；x′m是CR接收到的被复制数据部分.

假设CR接收到的信号经过多径衰落信道，信道的冲击响应为h＝［h1，h2，…，hμ］，其中hi（i＝1，…，μ）为第i条路径增益（未知的常数）.假设hi是循环对称复高斯随机变量，μ是信道阶数，则CR接收到的第m个OFDM符号可以表示为

式中，h是（Nd＋Nc）×（Nd＋Nc）的矩阵，可表示为

基于此公式，提出二元假设模型

当授权用户不存在时，记为H0；反之，记为H1.

2 检测方法

由于发送端发送的OFDM符号循环前缀部分［s′m（Nd-Nc），…，s′m（Nd-1）］是其部分有用数据［sm（Nd-Nc），…，sm（Nd-1）］的复制，即两部分完全相同.所以，即使通过多径衰落信道和受到噪声的影响，CR接收到的信号xm的前Nc部分和后Nc部分仍具有很强的相关性.但是当OFDM授权用户不存在时，只有噪声信号，那么接收到的信号xm的前Nc部分和后Nc部分的相关性就较小.因此，可以根据CR接收到信号的前后Nc个数据之间的相关性强弱来检测是否有授权用户存在.

将CR接收到的第m个符号xm的前Nc部分和后Nc部分分别用向量表示：xm1＝［x′m（Nd-Nc），…，x′m（Nd-1）］＝［x11，…，x1α，…，x1Nc］，xm2＝［xm（Nd-Nc），…，xm（Nd-1）］＝［x21，…，x2α，…，x2Nc］.所提出方法的检测依据就是向量xm1和向量xm2之间的相关性.

当授权用户不存在即只有噪声信号时，向量xm1和xm2中的数据都是来自于均值为0、方差为σ2w的复高斯随机变量.因此，xm1和xm2的总体相关系数为0.由文献［15］可知xm1和xm2相关系数的极大似然估计为

式中：x1α，x2α分别是向量xm1和xm2的第α个分量；ˉx1的概率密度函数为

式中Γ是伽玛函数.其累积分布函数记为F0（r），值为

其中n＝（Nc-4）/2.

在授权用户存在时，OFDM信号添加循环前缀以及通过多径衰落信道的传输，CR接收到的信号不再是均值为0、方差为σ2w的复高斯信号.因此，向量xm1和xm2的相关系数也不再服从分布F0（r）.据此，OFDM授权用户存在与否取决于向量xm1和xm2的相关系数rm是否服从分布F0（r）.

拟合优度检验就是通过度量接收到的信号循环前缀和被复制数据间相关系数rm的经验分布和理论分布之间F0（r）的 Anderson-Darling（AD）距离来判决授权用户是否使用频谱.下面我们详细介绍AD检测.需要注意的是，拟合优度检验是在实数范围内的检测，而CR接收到的信号一般是复数，所以检验之前应将复数表示成实部和虚部两部分.以下分析都是在实数域里进行.

假设CR接收到的信号有M个OFDM符号，实部和虚部分开后成为2 M个（Nd＋Nc）维实向量，记为x1，…，x2M.根据式（7），我们可以得到2 M 个相关系数，记为rm，m＝1，…，2 M.

利用以上2 M 个数值，可以定义经验分布F2M（r）为：

在文献［16］中，经验分布F2M（r）和理论分布F0（r）之间的AD距离是由下式定义

式中φ（u）＝（u（1-u））-1.式（11）积分运算非常困难，文献［16］将其简化为

式中zm＝F0（rm），m＝1，2，…，2 M.

根据上述距离，OFDM系统的授权用户存在与否就可以等价于下列检测：

H0：如果H0成立，CR接收到的信号向量之间的相关系数R＝｛rm｝2Mm＝1是统计独立变量，且服从分布F0（r）.根据大数定理，F2M（r）应该接近于F0（r），这样AD距离就应该趋向于0.

H1：如果H1成立，CR接收到的信号向量之间的相关系数R＝｛rm｝2Mm＝1是统计相关的，这样F2M（r）就不会接近于F0（r），因此AD距离就不应该趋于0.

根据以上分析，我们用AD距离的大小来判断H0还是H1成立，即信道中是否存在授权用户.利用统计判断原理，对于给定虚警概率α，其门限值可以由下式得到：

若AD距离A2c，2M大于门限值t0，则假设H1成立，即授权用户存在；反之，假设H0成立，即授权用户不存在.

门限值t0的计算需要随机变量A2c，2M的分布函数，但求其分布函数非常困难，文献［16］给出了一个当2 M趋向无穷时的渐进分布函数：

式中ak＝（-1）kΓ（k＋0.5）/（Γ（0.5）k！）.同时，文献还给出了通过以上公式计算的一些门限值，其中当α＝0.05时，t0＝2.492.

综上所述，基于AD检验的OFDM系统的频谱检测算法步骤可以归纳如下：

1）给定虚警概率α，由式（14）确定门限值t0；

2）利用式（7）求出每一个CR接收到的信号向量xm1和xm2之间的相关系数rm；

3）对所有的相关系数R＝｛rm｝2Mm＝1从小到大进行排列，假设r1≤r2≤…≤r2M；

4）根据式（9），计算zm＝F0（rm），m＝1，…，2 M；

5）根据式（12），计算A2c，2M；

6）给出判决：如果A2c，2M＞t0，则判断 H1成立，即基于OFDM系统的授权用户存在；反之，则判断H0成立，即授权用户不存在.

3 仿 真

通过MATLAB仿真来分析基于拟合优度检验的OFDM系统频谱检测算法的检测性能.假设CR接收到的OFDM信号是经过16QAM调制的，其子载波数Nd＝32，循环前缀Nc＝8，衰落信道的多径信道阶数μ＝8.在给定虚警概率α＝0.05的条件下，对基于拟合优度检验的频谱检测算法在多径衰落信道做了仿真，并将其与能量检测和基于循环前缀自相关检测算法［12］进行了比较，后两种方法是在OFDM信号检测中广泛应用的.

图2给出了多径衰落信道下三种检测算法的检测概率.很显然，能量检测（Energy Detection，ED）比基于AD的相关性检测和自相关检测算法的检测性能好，而基于AD的相关性检测比自相关检测算法要好.不过要注意的是在此处能量检测算法中假设接收信号的噪声方差是已知的，基于AD的相关性检测和自相关检测算法不需要知道噪声方差.

图3给出了基于AD的相关性检测与能量检测在噪声方差不确定情况下的性能比较.当噪声不确定性在0.5dB时，在大部分区域能量检测优于AD相关性检测，但在低信噪比时可以发现AD相关性检测比能量检测要好.随着噪声不确定性的增加，基于AD的相关性检测算法逐渐显现出其优势.当噪声不确定性在1.5dB时，基于AD的相关性检测算法完全优于能量检测算法.

4 结 论

针对OFDM系统，基于循环前缀和被复制数据相关系数的经验分布函数与理论分布函数之间的AD距离，提出了AD频谱检测方法.该方法利用信号相关系数的整体特征进行频谱检测，比直接利用信号自相关特性做检测具有更好的性能.同时克服了能量检测在噪声不确定情况下性能快速下降的缺点.

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