一类含时滞具有种群Logistic增长传染病模型的Hopf分支

郑宗剑　张斌儒

【摘 要】研究了一类含恢复期时滞且具有种群Logistic增长传染病模型。讨论了平衡点的存在性、局部稳定性，利用Hopf分支理论，以时间为参数给出了系统在正平衡点处产生Hopf分支的的充分条件。

【关键词】Hopf分支；时滞；局部渐近稳定；平衡点

1.引言

针对一些通过细菌传染的疾病，如脑炎、淋病等康复后不具有免疫力，可以被再次感染，1932年kermack-Mckendrick提出仓室模型。近些年学者们将传染病动力学与种群动力学结合起来建立模型，得到一些成果，如文献[1-3]。而关于模型研究主要特性主要体现在染病者被治愈变为易感者的恢复期阶段，故考虑恢复期时滞更具实际意义。本文考虑加入恢复期时滞，研究如下系统的平衡点及其稳定性与Hopf分支，即：

其中分别表示时刻易感染者的数目，感染者的数目，为传染率， 为内禀自然增长率，为环境容纳量，为移出率，为疾病的死亡率，为潜伏期， 均为正常数。

2.平衡点及局部稳定性，Hopf分支存在性

带入并结合得知，即从小于到大于特征方程（2）的根在复平面上从左到右穿过虚轴。

定理4：若时，是特征方程（2）的根，且满足，，，同时系统（1）也是条件稳定，因此在处出现Hopf分支。

3.结论

本文将种群动力学与传染病动力学结合考虑了含时滞的传染病模型，主要讨论了平衡点及局部稳定性和Hopf分支。当时滞由0变化到临界值时，系统在正平衡点附近发生Hopf分支，即当增加通过临界值时，从平衡点分支处周期解，此时，疾病会出现周期振荡现象。

参考文献：

[1]宋新宇，肖燕妮，陈兰荪.具有时滞的生态-流行病模型的稳定性和Hopf分支[J].数学物理学报，2005，25A（1）：57-66.

[2]徐为坚.具有种群Logistic增长饱和传染率的模型的稳定性和Hopf分支[J].数学物理学报，2008，28A（3）：578-584.

[3]赵仕杰，李大普.一类具有种群Logistic增长及非线性发生率的时滞传染病模型的稳定性与Hopf分支[J].广西科学院学报，2011，27（1）：6-9.

[4]郑祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥：安徽教育出版社，1994.

[5]J. K. Hale.Theory of Functional Differential Equations[M].Springer_Verlag ，New York，1977.

基金项目：

四川文理学院院级项目“具有时滞的传染病模型动力学研究”（2011Z0031）。

作者简介：

郑宗剑（1982—） 男，四川巴中人，硕士，四川文理学院数学与财经系，讲师，主要从事常微分方程与数学建模教学与研究。