f－x域Cadzow滤波随机噪声衰减及其局限性分析

彭更新 （中石油塔里木油田分公司勘探开发研究院，新疆 库尔勒841000）

邓晓东 （中国石油大学 （北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京102249）

满益志 （中石油塔里木油田分公司勘探开发研究院，新疆 库尔勒841000）

刘昭 （中国石油大学 （北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京102249）

段文胜，崔永福 （中石油塔里木油田分公司勘探开发研究院，新疆 库尔勒841000）

频率－空间域 （f－x域）Cadzow滤波，也称为f－x域eigenimage滤波，是一种基于SVD分解，利用特征剖面重构信号压制噪声的方法［1］。该方法最早由Cadzow引入，用于解决谱分析问题，并在核磁共振医学图像处理中得到广泛应用［2，3］。Trickett将该方法应用于地震噪声压制，并推广到f－x－y三维随机噪声衰减中［4，5］。为适应弯曲地震同相轴的处理，崔树果等［6］、袁三一等［7］提出了局部Cadzow滤波，以便能最大限度地压制噪声，保留有效信号。

奇异值分解 （SVD）去噪是工业界常用的随机噪声压制方法，它利用信号和噪声在奇异值分布上的差异进行信号恢复和噪声剔除，当地震反射为水平反射同相轴，该方法效果很好，但不适应多组倾斜同相轴的去噪处理。f－x域Cadzow滤波基于信号在f－x域的可预测性，将地震数据变换到f－x域，取每一个频率切片构建Hankel矩阵，再进行SVD分解，所得到的奇异值对应于所有不同斜率的同相轴，所以f－x域Cadzow滤波更适合于处理倾斜同相轴。笔者主要通过多组数值模型，对Cadzow滤波的去噪性能及其局限性进行了试验分析。

1 基本原理

假设地震数据中含K条线性同相轴和随机噪声频谱，将其变换到f－x域后，表示为：

式中：T（f，x）为频率 －空间域地震数据；f为频率，Hz；x是地震记录的水平位置，m；Wm（f）为子波的振幅谱；τm和lm分别为第m条线性同相轴的截距和斜率；K为线性同相轴的个数；N（f，x）为噪声的频谱。

设频率f为常数，抽取一个频率切片，构建Hankel矩阵，表示成：

式中：S、N分别为信号与噪声的n×（u－n＋1）Hankel矩阵。所谓的Hankel矩阵是指沿反对角线方向的矩阵元素相等，通常取n＝［u／2］使该矩阵尽可能为方阵，n＝［·］表示向上舍入。Cadzow滤波就是要利用SVD分解重构信号矩阵S。

假设地震信号有k个倾角，根据信号在f－x域的预测性特点，f－x域某一固定频率的信号采样点可以表示成：

式中：Pd（d＝1，2，…，k）为预测滤波器；n为地震信号的道数。式（3）表明，Sj可以由前j－1个点预测出来。那么，由Sj构成的Hankel矩阵S经过矩阵的元素运算后求得的有效秩数将不超过倾角的个数k，也就是说rank（S）≤k。

对矩阵S进行SVD分解，得到：

式中：U、V为酉矩阵；H为共轭转置；Σ为实对角线矩阵，其对角线元素σi＝ ［Σ］i，i，且有排列顺序σ1≥σ2≥ …≥σr≥0。矩阵的有效秩数不超过倾角的个数，因而用降秩近似和：Fk（S）＝I1＋I2＋…＋Ik，Ii＝（i ＝ 1，2，…，k）。式中：Fk（S）为矩阵S的降秩近似和；Ii为第i个加权特征图像；ui和vi分别为矩阵U和V的第i列。由于用此方式估计的矩阵Fk（S）一般不满足Hankel结构，需要沿反对角线方向作平均，表 示 成 Hk（S）。Stephenson［3］证 明，对于含k个倾角的无噪地震数据，有Hk（S）＝S。

图1描述了利用Cadzow滤波技术进行信号恢复的过程。随着秩数k的增加，信号恢复程度越高；当秩数等于同相轴倾角个数（k＝3）时，信号被完全恢复出来。

图1 Cadzow滤波信号恢复过程

2 模型试验

图2（a）是由1个水平同相轴和1个倾斜同相轴构成的地震记录；图2（b）是加入20%随机噪声后结果；图2（c）是利用f－x域Cadzow滤波去噪后的结果，随机噪声得到了较好压制；图2（d）为去噪后的残差剖面，残差剖面中没有剩余相干能量，说明该方法具有较好的保幅性能。

图2 f－x域Cadzow滤波随机噪声衰减

3 局限性分析

图3（a）是一个含倾斜同相轴的地震记录，在同相轴下方有一个能量较强的突发噪声干扰。图 3 （b） 是 f－x 域Cadzow滤波去噪后的结果，可以看出，Cadzow滤波之后，虽然强突发噪声的能量得到了较好的压制，但其剩余能量沿倾斜同相轴方向扩散，形成明显的去噪假象，这种现象有可能给后续地震解释工作造成 “陷阱”。

图4（a）是一个含断层的水平同相轴理论模型；图4（b）为加入50%随机噪声后结果；图4（c）为f－x域Cadzow滤波去噪后的地震记录。由图4可以看出，虽然Cadzow滤波较好地压制了随机噪声，但两个断点明显向两侧延伸，模糊了断点精度。这种现象在实际复杂断块地震资料处理中是十分有害的，需要引起地震资料处理人员的高度重视。

图5是含双曲同相轴的地震记录及其Cadzow滤波后的结果。由于双曲同相轴的两翼接近于线性同相轴，去噪之后地震反射畸变不大，但在双曲同相轴的顶点附近，有效信号被严重压制和畸变。该试验表明，基于线性预测理论的Cadzow滤波去噪方法不能很好地适应曲率较大弯曲同相轴的去噪处理。

图3 强能量突发噪声地震剖面及f－x域Cadzow滤波的结果

图4 含断层的地震记录及f－x域Cadzow滤波去噪结果

4 结 语

虽然在处理线性同相 轴 时， f－x 域Cadzow滤波具有较强的去噪能力、较好的保幅性能，但由于该方法的理论基础是基于地震信号的线性可预测性，因此，在应用中也存在一定的局限性：当地震记录中存在强能量突发噪声时，f－x 域 Cadzow 滤波之后，强噪声能量沿地震信号方向扩散，产生虚假的反射同相轴；f－x域Cadzow滤波模糊了断点位置，在对复杂断块叠后地震资料进行去噪处理时，应该关注和警惕该方法对断点产生的模糊效应；在地震记录中存在曲率变化较大的弯曲同相轴时，f－x域Cadzow滤波很容易损害大曲率有效信号的反射能量。

图5 含双曲同相轴的地震记录及其Cadzow滤波后的结果

［1］Trickett S R．F－xeigenimage noise suppression ［A］．2002SEG Annual Meeting ［C］．Salt Lake，2002－10－6～11．

［2］Cadzow J A．Signal enhancement——a composite property mapping algorithm ［J］．IEEE Transactions on Ascoustics Speech an Signal Processing，1988，36（1）：49～62．

［3］Stephenson D S．Linear prediction and entropy maximum methods in NMR spectroscopy ［M］．Oxford：Pergamon Press，1988．

［4］Trickett S．F－xyeigenimage noise suppression ［J］ ．Geophysics，2003，68（2）：751～759．

［5］Trickett S．F－xy Cadzow noise suppression ［A］．2008SEG Annual Meeting ［C］．Las Vegas，2008－11－9～14．

［6］崔树果，朱凌燕，王建花 ．f－x域Cadzow技术分块压制随机噪声及其应用 ［J］．石油物探，2012，51（1）：43～50．

［7］Yuan S Y，Wang S X．A local f－xCadzow method for noise reduction of seismic data obtained in complex formations ［J］．Petroleum Science，2011，8 （3）：269～277．