异形单牙轮钻头井底牙齿轨迹的Matlab仿真*

李少阳，邓 嵘

(西南石油大学，四川 成都 610500)

1 引言

前人研究表明，单牙轮钻头因其自身的结构特点和运动方式，对于小井眼钻井和水平钻井有不可替代的工作优势。笔者主要利用数学计算软件Matlab对异形单牙轮钻头在井底所形成的的牙齿轨迹模拟仿真，利用牙齿轨迹覆盖井底的情况，以此来指导牙齿及牙轮的结构设计。

异形单牙轮钻头主要是从结构特点上相对于球形单牙轮钻头而命名的，它的牙轮形式并非规则的球形。但其运动形式依然是绕钻头主轴的回转运动以及牙轮绕自身主轴的旋转运动。二者复合形成牙齿在井底的空间轨迹。图1为一种异形单牙轮钻头。

2 建立计算机仿真模型

首先根据各种齿形的方程用笛卡尔直角坐标系法建立牙齿模型，通过Matlab软件输入牙轮的齿圈数、每圈牙齿布齿数、牙轮外廓半锥角、各齿圈定位高度、各齿圈初始布齿角、定位半径;镶齿偏转角、牙齿镶装后出刃高度等结构参数。再通过平移及分别绕X，Y，Z轴旋转的矩阵变换。进而得到整个牙轮的模型［2］，如图 2 所示。

3 牙齿轨迹

输入钻头的轮速比、进尺以及钻速等运动参数并设置循环，模拟出钻头旋转在井底所刮切出的空间轨迹，如图3所示。透过对轨迹的观察发现，牙轮锥顶至锥底的齿圈依次排序为1～10，因牙轮有一定角度的轴倾角(牙轮主轴与钻头主轴夹角)，所以第1、2圈齿与第5、6圈齿的轨迹相似，以一个进尺为一周期，每一周期内刚接触时牙齿与岩石刮切痕迹的宽度由窄变宽，直到宽度等于齿顶线的长度，随着钻头旋转及牙轮自转，牙齿与岩石刮痕的宽度逐渐变窄，并脱离岩石，所以轨迹会呈现燕尾形状，如图4所示。

图1 一种异形单牙轮钻头

图2 楔形齿钻头模型

图3 牙齿与井底接触截图

图4 燕尾状牙齿轨迹

而第3、4圈的齿与岩石接触频率最高，且以冲击为主，故形成的轨迹为旋涡状，如图5所示。而第7到第10圈的齿需要钻进到一定深度才会出现轨迹，轨迹是曲率半径很大的圆弧相互交叉，如图6所示。

图5 旋涡状牙齿轨迹

图6 大圆弧形状牙齿轨迹

4 牙齿井底覆盖情况

同时将井底模拟为一个圆形的平面，并采取网格化的方式分为微小单元格。这样方便将牙齿的井底轨迹与井底的网格单元进行数值比较，得到牙齿轨迹在井底所覆盖的面积，以此来衡量钻头的井底覆盖率(牙齿轨迹覆盖的面积与井底总面积的的比值)以及钻井效率。

图7为网格示意图，四边形EFIJ为一单元格，面积为s=1 mm2，整个井底单元格数量N=S/s，S为井底总面积设置循环变量i，计算每一单元格面积，单元格EFIJ的面积为1 mm2，变量i累加1，而ABEF的面积超过1/2，变量i同样累加1，但JKL的计算值不超过1/2，i的值不改变，当然，如果单元格内没有牙齿的轨迹的覆盖，也不进行变量i的累加。井底覆盖率r= ∑i/N ×100% ，其中i=i+1，s≥0.5 mm2。图8为分别镶装在同样尺寸异形和球形牙轮上的楔形齿的井底轨迹覆盖率的比较。从图中反映出球形牙轮的覆盖情况较异形更好。

图7 网格示意图

图8 球形牙轮与异形牙轮的比较

5 结论

(1)利用计算机仿真软件建立一种异形单牙轮钻头的模型。

(2)采用楔形齿做模型，绘制一种异形单牙轮钻头的牙齿在井底刮切形成的轨迹，以及不同齿圈的轨迹特点。

(3)将球形与异形两种牙轮形式的井底覆盖情况做比较，利用Matlab数据处理计算覆盖率，指导齿形及牙轮形式的设计。

［1］马德坤.牙轮钻头工作力学［M］.北京:石油工业出版社，1994.

［2］周德胜，马德坤.三牙轮钻头的计算机仿真模型［J］.西南石油学院学报，1995(4):86－91.

［3］李思涛.单牙轮钻头牙齿研究［D］.南充:西南石油学院，1998.