平方根、立方根的区别和联系

辛贺华

同学们在学习算术平方根、平方根、立方根的知识时往往感觉很容易，但是在解题时又会出现各种错误.为了帮助同学们更好地学习，现将知识点归纳如下.

一、区别

1. 定义不同

平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x就叫a的平方根.

算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定：0的算术平方根是0）.

立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做a的立方根.

说明：只有算术平方根的定义中是“如果一个正数的平方等于a ”，强调的是“正数”，即一个正数a正的平方根叫做算术平方根.

2. 表示方法不同

平方根用“±”表示，根指数2可以省略；算术平方根用“”表示，根指数2可以省略；立方根用“”表示，根指数3不能略去，更不能写成“±”.

3. 存在的条件不同

a有平方根的条件：a≥0，因为正数、零、负数的平方都不是负数，故负数没有平方根和算术平方根.

a有立方根的条件：a为全体实数，即正数、负数、零均可.

4. 结果不同

算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数.

平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.

立方根：任何一个数都有立方根且只有一个立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 .（特例：0的算术平方根、平方根和立方根都是0.）

5. 方根等于本身的数的个数不同

若一个数的算术平方根为本身，则这个数为0或1，有两个数；若一个数的平方根为本身，则这个数为0，只有一个数；若一个数的立方根为本身，则这个数为0、1或-1，有三个数.

二、联系

1. 平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负且互为相反数，其中那个正数就是它的算术平方根. 如：16的平方根为±4，其中4为16的算术平方根.

2. 求一个数的算术平方根、平方根、立方根的运算都是开方运算，开方和乘方互为逆运算.

3. 所有正数都有平方根和立方根.

4. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0.

三、典型例题

例1 的平方根为 .

解析：要知道这个数的含义，它表示16的算术平方根，因为42=16，所以16的算术平方根为4，即=4. 该题就变为： 求4的平方根.因为（±2）2=4，故的平方根为±2.

点评：一个正数的算术平方根只有一个，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.正数a的平方根，表示为±，正数a 的算术平方根为.

例2 n为自然数，则= .

解析：因为n为自然数，2n为偶数， -1的偶数次幂为1，即（-1）2n=1，所以==1.

例3 已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是 .

解析：因为正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（3x-2）+（5x+6）=0，解得x=-.代入3x-2和5x+6，得3x-2=-，5x+6=.由（±）2=，得这个数是 .

例4 若x2=（-3）2，y3=（-2）3，求x+y所有可能的值.

解析：不要被已知条件所迷惑，因为（-3）2=9，即已知条件为x2=9，显然x为9的平方根，由（±3）2=9，得x=±3.

由（-2）3=-8，即已知条件为y3=-8，显然y为-8的立方根， y=-2.

故x+y可能为：①x+y=3+（-2）=1；

②x+y=-3+（-2）=-5.

点评：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；任何一个实数都有立方根且只有一个立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根. （注：0的平方根和立方根都是0.）

练习：

1. 下列说法中错误的是（ ）.

A.是5的平方根

B.-16是256 的平方根

C.-15是（-15）2的算术平方根

D.±是的平方根

2. 下列说法中错误的是（ ）.

A.负数没有立方根

B.1的立方根是1

C. 的平方根是±

D.立方根等于它本身的数有3个

3. 已知2x+1的平方根是±5，求5x+4的立方根.

4.如果A=为a+3b的算术平方根，B=为1-a2的立方根，求A+B的平方根.

参考答案：1.C；2.A；3.4；4.±1.