聚焦与反比例函数有关的面积问题

赵国瑞

综观近年的中考试卷，笔者发现以反比例函数为载体的面积问题越来越受到中考命题者的青睐.这类试题大致有两种类型：（1）已知反比例函数的图象，求有关图形的面积；（2）已知反比例函数的图象及有关图形的面积，求反比例函数的比例系数.解答此类问题大致有以下三种思路.

一、利用k的几何意义

如图1，若点P（x0，y0）是反比例函数y=上的任意一点，则有x0·y0=k，即x0与y0的积必是一个定值.过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M、点N，则PM=ON=y0，PN=OM=x0，于是S矩形OMPN=x0·y0=k.而S△OPN=S△OPM=x0·y0=k.

这就是说，过双曲线上任意一点作x轴和y轴的垂线，两垂线段与坐标轴围成的矩形的面积等于k，或以该点与垂足、坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于k，这是比例系数k的几何意义.

图1

例1 （2012年辽宁丹东）如图2，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）.

图2

A.-1 B.1 C.2 D.-2

解析：四边形ABCD被两条坐标轴分成四个小矩形，由对称性知每个小矩形的面积相等，都等于2.由k的几何意义知k=2.由双曲线y=的一支位于第二象限知k<0，从而k=-2. 故选D.

例2 （2012年辽宁铁岭）如图3，点A在双曲线 y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）.

图3

A.12 B.10 C.8 D.6

解析：反向延长AB交y轴于点E，则四边形ADOE与BCOE都是矩形.由k的几何意义，得S矩形BCOE=k，S矩形ADOE=4.

于是S矩形BCOE=S矩形ADOE+S矩形ABCD=4+8=12，即k=12.由双曲线的一支位于第一象限知k>0，从而k=12.故选A.

例3 （2012年湖北荆门）如图4，点A是反比例函数 y=（x>0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-的图象于点B，以AB为边作？荀ABCD，其中C、D在x轴上，则S？荀ABCD为（ ）.

图4

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则四边形ABFE、四边形AEOP和四边形BFOP 都为矩形.

设AB交y轴于点P，则S？荀ABCD=S矩形ABFE=AB·OP.而S矩形ABFE=S矩形AEOP+S矩形BFOP.由k的几何意义得S矩形AEOP=2，S矩形BFOP=3，于是S？荀 ABCD=S矩形ABFE=2+3=5.故选D.

二、利用反比例函数的对称性

反比例函数图象的两个分支关于坐标原点对称，这是反比例函数的一个重要性质. 在解答一类求反比例函数与正比例函数相结合的图形面积的问题时，灵活运用反比例函数图象的对称性非常有效.

例4 （2012年山东威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）.

A B

C D

解析：对于选项A，阴影部分由两个小三角形组成，由k的几何意义知每个小三角形的面积都等于×2=1，故S阴影=2.

对于选项B，阴影部分由两个小三角形组成，由反比例函数图象的对称性知两个小三角形的面积相等.由k的几何意义知每个小三角形的面积都等于×2=1，因此S阴影=2.选项D亦是如此.

因此选项A、B和D中阴影部分的面积都相等，选项C中阴影部分的面积必然最小.故选C.

说明：上面的解法没有算出选项C中阴影部分的面积，而是根据选项A、B和D中阴影部分的面积都相等，说明选项A、B和D中阴影部分的面积都不是最小的，从而排除选项A、B和D，剩下的选项C必然是阴影部分面积最小的.

三、直接计算

计算有些图形的面积，既不便利用k的几何意义，也不便利用反比例函数图象的对称性，此时可以用反比例函数图象某点的坐标（横坐标或纵坐标）表示出有关图形的边长和高，顺利求出图形的面积.

例5 （2012年湖南株洲）如图5，直线x=t（t>0）与反比例函数y=，y=-的图象分别交于B、C两点，若A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（ ）.

图5

A.3 B.t C. D.不能确定

解析：由题意，得B（t，），C（t，-），所以BC=| -（-）|=，所以S△ABC=BC·t= ··t= .故选C.

例6 （2012年山东德州）如图6，两个反比例函数y=和y=-的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（ ）.

图6

A.3 B.4 C. D.5

解析：设点P的横坐标为a，则P（a，），A（a，-）.再设点B的横坐标为x，由于点B与点P的纵坐标相等，都为，所以=-，即x=-2a.所以BP=a-（-2a）=3a，AP=-（-）= .所以S△PAB=BP·AP=·3a· =.故选C.