确定Sn的元素的阶的集合On的第一种方法

孙宗明

(泰山学院 数学系，山东 泰安 271000)

本文中，n 是正整数，Sn是n次对称群，On是Sn的元素的阶的集合，先讨论On的构造，而后给出确定On的第一种方法和例子，并且，研究与数论的联系.

1 On的构造(Ⅰ)

先列出两个引理.

引理1 每一个n 元置换都可以分解为互不相连的循环置换的乘积，n个文字中的每个文字都出现于一个循环置换中，并且，不计因子次序时，分解式是唯一的.

证明 见［1］，定理，从略.证完.

引理2 设n 元置换π分解为s个互不相连的循环置换的乘积，它们的长度分别为n1，n2，…，ns，则π的阶为n1，n2，…，ns的最小公倍数，即

证明 见［2］，P63，定理5.1.2，从略.证完.

下面的定理给出了On的构造.

定理 Sn的元素的阶的集合

证明 首先，对于任意的

因此，o(σ)∈On.证完.

2 确定On的方法(Ⅰ)和例子

因为，求一组整数的最大公因数时，若整数组中有重复的数，则可以从重复的数中任取一个数而去掉其他的，所以，根据定理，就得到下面的确定On的第一种具体方法.

方法(Ⅰ)按下列5个步骤确定集合On:

1)求出k，使1+2+…+(k－1)+k ≥n，而1+2+…+(k－1)＜n;

4)计算〈n1，n2，…，ns〉中的n1，n2，…，ns的最小公倍数;

5)上步中的所有的数就构成On.

应该注意，这里的［n1，n2，…，ns］仅仅作为数组的记号，并不表示最小公倍数，下面的一些地方也是这样.

下面给出两个例子.

例1 当n=5 时，

1)因1+2+3 ＞5，而1+2＜5，所以k=3;

3)〈1〉，〈2〉，〈3〉，〈4〉，〈5〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈1，4〉，〈2，3〉;

4)上面的9个数组的最小公倍数分别是1，2，3，4，5，2，3，4，6;

5)O5={1，2，3，4，5，6}.

当n=6 时，

1)因1+2+3=6，而1+2＜6，所以k=3;

还有一组:［1，2，3］;

3)〈1〉，〈2〉，〈3〉，〈4〉，〈5〉，〈6〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈1，4〉，〈1，5〉，〈2，3〉，〈2，4〉，〈1，2，3〉;

4)上面的13个数组的最小公倍数分别是1，2，3，4，5，6，2，3，4，5，6，4，6;

5)O6={1，2，3，4，5，6}.

同样，可以继续确定On，列出下面的结果，具体步骤均从略.

当n=7 时，O7={1，2，3，4，5，6，7，10，12}.

当n=8 时，O8={1，2，3，4，5，6，7，8，10，12，15}.

当n=9 时，O9={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，14，15，20}.

当n=10 时，O10{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，14，15，20，21，30}.

关于O1至O4，容易得到，列出结果如下，具体步骤也从略.

O1={1}，O2={1，2}，O3={1，2，3}，O4={1，2，3，4}.

关于On中元素的个数| On|，由上可得:| O1|=1，| O2|=2，| O3|=3，| O4|=4，| O5|=6，| O6|=6，| O7|=9，| O8|=11，| O9|=14，| O10|=16.

例2 列出下面的结果，具体步骤从略.

O9=O8∪{9，14，20}，| O9|=14;

O10=O9∪{21，30}，| O10|=16;

O11=O10∪{11，18，24，28}，| O11|=20;

O12=O11∪{35，42，60}，| O12|=23.

3 数论函数

用数论的语言，定理表述为下面的

所有的J 构成集合SJ.试确定SJ.

问题2 集合SJ的元素的最大值记为J(n)，试求J(n).能否找到J(n)的表达式?

实际上，J(n)是一个数论函数，寻找用n的式子来表示J(n)，值得从数论的角度进行探讨.

［1］孙宗明.元置换的分解［J］.益阳师专学报(自然科学版)，1987(1):29－31.

［2］［美］M.赫尔著，裘光明译.群论［M］.北京:科学出版社，1982 ﹒

［3］孙宗明.次对称群的元素的阶的集合［J］.数学的实践与认识，1983(3):25－26(美国，Math.Reviws，1985(e):20007).

［4］孙宗明.关于的元素的阶的集合［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1994(2):13－17(美国，Math.Reviws，1995年索引，P1321，P396).

［5］孙宗明.有限阿贝尔群同构的一个判定算法［J］.商丘师范学院学报，2004，20(2):53.

［6］孙宗明.关于阶群的子群个数的若干结论［J］.商丘师范学院学报，2008，24(3):44－45.

［7］孙宗明.关于极大子群的若干结果［J］.商丘师范学院学报，2010，26(3):27－28.

［8］孙宗明.群的阶方程及其应用［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2010(39):462－466.

［9］孙宗明.循环群的子群交子群并子群积的构造［J］.商丘师范学院学报，2011，27(3):26－28.