Banach空间中分数次脉冲积分-微分方程的解

苏新卫，林静思，彭明兴

（中国矿业大学（北京）理学院数学系，北京100083）

Banach空间中分数次脉冲积分-微分方程的解

苏新卫，林静思，彭明兴

（中国矿业大学（北京）理学院数学系，北京100083）

应用Banach压缩映像原理，证明Banach空间中一类非线性分数次脉冲积分-微分方程初值问题解的存在唯一性.在主要定理中，除连续性的假设外，对脉冲项不附加任何限制条件.

分数次算子；不动点定理；脉冲积分微分方程；唯一性

1 引言

近几十年来，分数次微分方程在各科学研究和应用领域发挥着越来越重要的作用，因此，分数次微积分算子理论及分数次微积分方程倍受关注，发展十分迅速[1,2,3].由于在众多领域中脉冲因素的影响，最近，出现了许多研究论文讨论分数次脉冲微分方程[4-8].Benchohra 和Berhoun 在[8]中研究了分数次脉冲微分方程的初值问题，没有类似于[4-7]中关于脉冲项的限制条件，应用Schaefer 不动点定理，通过逐步求解的方法，证明了解的存在性(定理3.5)，然而，在其解的唯一性结果(定理3.6)中，关于脉冲项的Lipschitz 条件仍是必须的.

受文献[8]的启发，本文在Banach空间E中讨论如下分数次脉冲积分微分方程的初值问题

其中K是积分算子

2 有关引理

关于函数f(t)的δ>0次的Riemann-Liouville分数次积分定义见文献[1].

引理2.1分数次微积分算子有如下性质[1-3]：

由引理2.2可得

3 解的唯一性

用C(J,E)表示定义在J上的连续函数空间,取最大值范数.令J0=[0,t1]，J1=(t1,t2]，L，Jp-1=(tp-1,tp]，Jp=(tp,l].定义

若函数x(t)∈PC(J,E)且满足(1.1)，则称之为(1.1)的解.

下面给出本文的主要结果.

定理3.1假设存在非负Lebesgue可积函数L1(t),L2(t)∈L1(J,R+)满足

又设存在非负常数L使得

证明 为明确起见，将证明分为如下几步:

第一步：考虑没有脉冲影响的问题

由引理2.1，引理2.2和(2.1)式易知(3.1)等价于积分方程

定义算子T0如下

则T0的不动点就是(3.1)的解.下面验证T0满足Banach压缩映像原理的条件.

事实上，由函数f和k的连续性易知，T0:C(J0,E)→C(J0, E)，由定理3.1的假设条件，可得

故T0是压缩算子，由Banach压缩映像原理推出T0存在唯一不动点x0∈C(J0,E).

第二步：考虑有脉冲影响的问题

因而(3.3)有意义.由引理2.1，引理2.2和(2.1)(3.3)式，我们考虑如下方程

定义算子T1如下

故T1是压缩算子,由Banach压缩映像原理推出T1存在唯一不动点x1∈C(J1,E).

第三步：重复第一、第二步的过程可知，对t∈Ji,i=2,3,K, p,有脉冲影响的问题

则x(t)∈PC(J,E)是问题(1.1)的唯一解.证毕.

〔1〕Kilbas,A.A.,Srivastava,H.M.,Trujillo,J.J.,Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Amsterdam:Elsevier B.V.,2006.

〔2〕Podlubny,I.,Fractional Differential Equations,Mathematics in Science and Engi-neering[M],vol.198.New York/London/Toronto:Academ ic Press,1999.

〔3〕Samko,S.G.,Kilbas,A.A.,Marichev,O.I.,Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications[M]. Yverdon:Gordon and Breach,1993.

〔4〕Balachandran,K.,Kiruthika,S.,Trujillo,J.J.,Existence results for fractional impul-sive integrodifferential equations in Banach spaces[J].Commun.Nonlinear Sci.Numer. Simulat.,2011,16:1970-1977.

〔5〕Benchohra,M.,Seba,D.,Impulsive fractional differential equations in Banach spaces[J].E.J.Qualitative Theory of Diff.Equ.Spec.Ed.I,2009,8:1-14.

〔6〕Benchohra,M.,Slimani,B.A.,Existence and uniqueness of solutions to impulsive fractional differential equations[J]. Electron.J.Differential Equations,2009,10:1-11.

〔7〕Atmania,R.,Mazouzi,S.,Existence of local and global solutions to some impul-sive fractional differential equations[J].Electron.J.Differential Equations,2009,136: 1-9.

〔8〕Benchohra,M.,Berhoun,F.,Impulsive fractional differential equations w ith vari-able times[J].Comput.Math. Appl.,2010,59:1245-1252.

O175.6，O175.8

A

1673-260X（2013）09-0001-02 .则初值问题存在唯一解.

中国矿业大学(北京)“国家级大学生创新训练计划”项目(201211413131),中央高校基本科研业务费研究生专项资金项目(2009QS07)