一道中考题的多解、改进与启示

☉江苏省东海石榴初级中学 尚海燕

一、试题回放

题目 某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图1所示.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm，为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）

说明：本题为2013年滨州市中考试题第24题，分值10分.

图1

图2

图3

二、多解展示

所以EP=12，所以EF=2EP+PQ=24+20=44（cm）.

解法二（平移腰）：如图3，过点C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P.

由题意得，四边形ABCM是平行四边形，所以EN=AM=BC=20（cm）.

所以MD=AD-AM=50-20=30（cm）.

由题意知CP=40cm，PQ=8cm，所以CQ=32cm.

解得NF=24.

所以EF=EN+NF=20+24=44（cm）.

解法三（平移腰）：如图4，过点F作FM∥AB，交直线BC、AD于N、M，作FP⊥AD，并反向延长交BC于Q.由BC∥AD，可知FQ⊥CN.

由题意得，四边形ABNM、BEFN、EAMF均为平行四边形，所以CN=BN-BC=AM-BC=AM-20.

所以MD=AD-AM=50-AM.

由题意知PQ=40cm，PF=8cm，所以FQ=40cm-8cm=32cm.

因为CN∥MD，所以△CNF∽△DMF.

解得AM=44.

所以EF=AM=44（cm）.

图4

图5

解法四（平移腰）：如图5所示，只要求出FN即可.过程基本同“解法二”.

解法五（延长腰相交）：如图6，分别延长BA、DC交于点O，过点O作OQ⊥AD，交EF于点N，交BC于点M.

由BC∥EF∥AD，得OM⊥BC，ON⊥EF，MQ=40cm，NQ=8cm，所以MN=32cm.

图6

图7

解法六（连对角线）：如图7，连接AC，过点C作CH⊥AD交EF于N点.由题意可知CN⊥EF，则有CH=40cm，NH=8cm，所以CN=32cm．因为EF∥AD，所以△CMF∽△CAD．

所以MF=40cm.

同理求得EM=4cm.

所以EF=MF+ME=44cm.

解之得x=44（cm）．

说明：本解法直接从梯形的面积切入，根据题意作一高线足矣！这是以上各种方法中最简单的一个，如此求解的话可能背离了命题者的初衷（试题答案提供的是解法二），但它回归了几何题目的原生态——面积，这一方法古朴（几何的起源、勾股定理的证明等）、通俗（小学已熟悉），给人“大道至简、大美天成”之感！是解题智慧的一种折射.

三、试题评析

1.生活味与数学味拿捏适切

本题取材源于学生的生活，一个学生的板凳，天天离不开学生的视野，自然给学生以亲切、熟悉、真实之感，让学生在考场上再次触摸到数学就在身边的现实，彰显出“数学离不开生活，又服务于生活”的特色，这一试题场景散发着浓浓的生活味.同时题目的字里行间又凸显出数学的本味，实际问题的文字陈述并没有刻意的绕弯弯，而是通过明确的自然语言与数学语言的联袂呈现，简洁干练，入口宽泛，便于学生的入题、理解、把握.从命题者提供的答案及除解法七之外的解答，统而概之，本题以梯形辅助线为载体，综合考查了相似性的判定与性质等核心的知识、技能，其间启动了转化思想、方程思想，若从这层意义上说，是一道不错的题目；若单从解法七不难看出，本题的考查单一，有偏离核心知识之嫌.

2.条件过剩降低了试题的品味

从前面的4种解法不难看出，除了解法一用到了条件“BA=CD”，其他方法均没有用上这一条件，很显然这是一个过剩条件，如此一来，题目的严谨性打了折扣，无形中降低了试题的品味，给考生以混乱.有的学生看到条件没有派上用场，反复地琢磨，无端地浪费了考场上的宝贵时间，干扰了学生的正常思维，如此之偏失造成了试题外部认知负荷的加大，这理应是与考查初衷相悖的.所幸的是，这一过剩条件并没有形成结果的抵触，不论从哪一角度入手解答，获得的答案一致.

3．“孤单一问”难以负荷大分值

本题为2013年滨州市中考试题第24题，位居倒数第二题，分值设为10分，是一道大分值的题目，应该说是压轴题的过渡，它与最后一道压轴题共同承载着把关的作用，同时又要关注学生差异，力求让更多的学生参与到题目中来，去领略试题自身蕴有的风景，可得分、多得分，因此，降低起点、放低入口、层级递进应该是这类题目设计的基本原则．而本题，“独木成桥”，会与不会，一棒敲定，笔者认为欠合理.尤其是解法七，学过梯形的小学同学就能解决，如此难以负起“历史使命”.

四、试题改进

某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图1所示．其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.（材质及其厚度等暂忽略不计）

（1）若板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm时，试求此时板凳腿AB的长度？

（2）在满足（1）的情况下，确定此时横梁的端点E所在板凳腿AB的位置，并求横梁EF的长度？

点评：如此改造（不考虑考查梯形是否合理）后，在不失原有考查意图的基础上，把勾股定理融入，并链接了二次根式的运算，增大了题目考查的广度，笔者以为相对合理一些，避开了一问10分的大跨度考查，增强了题目的信度.

五、启示与建议

1.数学是严谨的，命题也需要严谨

命题是一件严肃且重要的工作，是一项创造性的劳动，它的成功与否决定着考试的信度、效度、匹配难度等.一道优质、科学的数学题，题目本身的结构和叙述要满足合理性、严谨性和清晰性.逻辑上要严密，其中的条件是一个不多也一个不能少，且各种条件之间又不能存在矛盾冲突，即满足充分性、相容性、独立性，另外，条件与结论也要具有相容性.众所皆知，严谨与科学是命题的底线，公平、公正、客观全面是命题的价值取向，以学生的发展为本是命题的人脉走向，基于这些认识，命题者命制试题一定要字斟句酌、精雕细刻、精益求精、反复打磨，力求避免因试题陈述与呈现的不合理、不规范、不严密、不准确等带给学生理解上的歧义或无谓的阻滞，避免使学生遭遇无可挽回的损失，谨防我们的命题偏失害了学生、误导了教师的教学.

2.题目的命制要依“标”靠“本”，遵循《考试说明》，明确其导向

这是一道山东省滨州市的中考题，在考前滨州市教研室已经制定了明确的《考试说明》，以指导教师的教与学生的学、学生的考，抛开《考试说明》合理与否不说，《考试说明》顺应2011年新课标要求，已明文剔除了梯形的相关知识，但在中考试题中却对此进行了考查，纵然没有“梯形”这一名词的显性呈现，但考查的内容，尤其是辅助线的构造就是梯形的内核，如此导向笔者认为实在不妥.尤其是在《考试说明》明令禁止的第一年，如此命题有“出尔反尔”的嫌疑，会给教学一线的老师偏颇的导引，让一线老师无所适从.实际上，本届学生使用的是原课程标准下的实验版教材，作为梯形内容当时都学习过，把它排斥在考试之外是不合情理的，因为新课标增删了部分内容，与原有实验版教材有出入，如此设置《考试说明》，笔者认为导向有点混乱，与学习内容出现错位，不利于教与学的正常进行.