意外引起的反思

☉四川大学附属中学 刘成龙

☉四川省成都市西北中学 余小芬

在心理学上，反思是人们以自己的认知活动过程及结果为认识对象的认识活动.弗赖登塔尔曾提出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是发现、是再创造.”叶澜指出：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年反思就有可能成为名师.”可见，反思在数学教学活动中十分重要.事实上，在平常的教学活动中有很多地方值得我们冷静地思考、反思.本文记录一次意外及引起的反思，供同行们参考.

笔者任教学校是成都市重点中学，任教班级学生的数学基础较好.学生课堂听课认真，思维活跃，在一些问题上能阐述自己的看法.学习完《圆》这一章节后，笔者布置了2012年湖北恩施中考第23题作为课后作业.布置前，笔者未对该试题深度探究，直接用了参考答案，只觉得该题解答思路常规，知识点和难度适合本班学情.然而，第二天评讲该题时“意外”的一幕发生了.

试题 （2012年湖北恩施）如图1，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

图1

一、教学记录

师：同学们，你们已经做了这道题，老师在这里仅作初略的分析.

在讲评过程中，笔者按参考答案的思路给学生作了分析，并规范地板书了答案：

（1）、（2）略.

又CD=15，CE=13，所以DE=2.

正当笔者打算进行下面的教学任务时，有学生发言了.

生1：老师，我感觉我的解答也是正确的，但是得到的答案和您的不一样.（这时，另外几名同学也开始小声讨论起来）

由于题目选自中考试题，笔者当时的想法是错误可能出自于学生，但看到生1疑惑而又急于想表达自己想法的眼神，于是便停下来听听他的想法.

生1：连接OE、OC，得OE=AE，在Rt△ODE中，设DE=5k、OE=13k，所以OD=12k，AO=r=24k.

在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2=（12k）2+152.

又OC2=OB2+BC2=24k2+（15-5k）2，

但和您的答案不一样，不知道哪里错了？

此时，更多的学生议论起来了.

师：同学们，生1分析得很好，解答思路没错，结果不一样，会不会是计算错误？我们一起来检查计算过程.

经过大家的检查，计算完全正确！此刻，笔者暗自吃惊：难道参考答案真的错了？正当大家疑惑的时候又有学生发言了.

生2：老师，我和生1做的方法不同，但答案一样.

师：哦？那请你谈谈你的做法.

又BC2=CE2=（15-5x）2，

生2刚说完，又有人发言了.

生3：老师，我的答案和你们的都不一样，但我认为我的也是正确的.（生3十分自信）

师：好，请为大家分析你的思路.

由相交线定理可得：

生3刚刚说完，生4就迫不及待地站起来了.

思路是：延长AO交⊙O于N，连接NB.

设DE=5x，则AE=13k，AD=12x，AO=24x.

此刻，同学们更加疑惑了：咦，怎么回事呢，三个不同的答案？

笔者心里寻思：四位同学，解答思路都对，计算也正确，现在出现了三个答案，而根据数学答案具有唯一性可知，题目肯定有问题！

学生思考并相互讨论.笔者深深地吸了一口气，沉思片刻，便发现了端倪.这时有部分学生也发现了问题的所在.

生5：几种解答用的题设条件不一样.

部分学生也点头认可.

师：很好，那你能跟大家具体对比一下吗？

生5：生1、2的解答过程中只用了CD=15，没用到BE=10.

师：很好！

生5：生3、4的解答只用了BE=10，没用到CD=15.

师：参考答案呢？

众生：两个都用了！

师：同学们，这道题的条件多了，这就是为什么有不同解答结果的原因！

这时同学们都恍然大悟了！

师：下面进一步来验证条件多余这一论断！请大家解答以下三个问题：

在同学们的共同努力下，经过一番计算，一致得出：这三个问题答案都是否定的.

师：非常好.不难看出，第（3）问条件多余且CD=15、BE=10互不相容，建议去掉CD=15、BE=10二者之一.

下课铃声此时也响了，笔者深深地舒了一口气，怀着复杂的心情走向办公室……

二、课后反思

这一节课笔者的心情较为复杂，从对参考答案的确信，转为对学生提问的疑惑，再到对多种解答的迷茫，最后体会到问题圆满解答的舒缓，以及感受到学生踊跃多思的欣慰.课后，笔者内心久久不能平息，怀揣着复杂的心情，行文以期提醒自己.

1.课堂的主体是学生

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准》）强调学生是课堂的主体，要充分发挥学生的主体性，教师是课堂的组织者和引导者.教育家陶行知老先生为说明学生主体性的重要性，做了这样一个实验：把一只饿了几天的大公鸡放在桌子上，再在桌上放几把米，然后用手按住鸡头强迫鸡吃米，鸡不但不吃反而会边挣扎边嚎叫，放开手后则鸡高兴地吃米了.这一实验很好地诠释了学生主体的重要性.

（1）善待学生的提问.

希尔伯特指出：“数学问题是数学的灵魂”.“敢于发表自己的观点”是新课标的一大主张.爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更有意义”.教师要充当组织者、引导者和倾听者，引导学生善思、好问、乐学，敢于让学生说、敢于让学生问，并能对学生提出的有意义的问题适时地加以评价和解答.事实上，往往学生精彩、有意义的提问被教师一言堂所冲淡、所掩饰，被教师的“霸权”所扼杀.长此以往，不仅刺伤了学生的兴趣，禁锢学生的思维，束缚学生的心智，更磨灭了学生创造力的火花.“发表自己观点”不仅是主体性的一种体现、一种情绪的释放，更是学生思想的一次大解放.

（2）教师少讲，学生多方面参与.

《标准》倡导“积极思考、动手实践的学习方式”.“学习金字塔”理论表明：不同的学习方式得到的学习效果区别很大，位于塔尖的是学生单凭阅读或听老师讲授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是学生动手参与和给别人讲授效果最好（保持90%）.可见，在教学中教师要少讲（用语要精练，可讲可不讲的东西不讲，可删可不删的东西删掉）、精讲（讲到重点上）、讲精（需要高超的教学机智：在精讲的基础上，部分知识讲到八九分透，剩余部分学生自己悟透），学生要多动手、动脑、动嘴，主动实现知识的意义建构.

2.教师要具备驾驭课堂的能力

教师是课堂的组织者与规范者，教师要组织、规范好课堂就必须具备驾驭课堂的能力.笔者认为要很好地驾驭课堂就必须具有扎实的专业技能.

（1）扎实的专业知识是驾驭好课堂的首要条件.

专业知识包括：初等代数研究和初等几何研究知识（必备的知识）；高等代数、数学分析、解析几何知识（思维的更高层次需要）：数学史（数学文化的需要）、课程教材教法（方法论指导）；数学教育概论（教育理论更新的需要）.

（2）数学学习能力.

笔者认为数学学习能力是一种专业技能，是教育理念和专业知识体系的更新、教育教学活动的深刻反思、新课程标准和两纲的深度解读的有力保障！

（3）必备的基本能力.

敏锐的数学思维、较强的解题能力、猜想能力、探究能力、归纳能力、运算能力等.

（4）良好的教师基本功.

基本功包括：标准的普通话、漂亮的粉笔字；良好的表达能力和课堂意外应对能力.

3.对试题的两点认识

（1）编拟试题要谨慎.

善于解题是优秀教师必备的基本素养，但编拟好的试题需要更高的水平.中考及其他大型考试大部分试题设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，是我们学习的典范.一道好的试题需要反复修改、精心雕琢；一套好的试题必须具备良好的效度、性度和区分度.尤其是大型考试对试题的质量要求更高.因此，编拟试题需谨慎，应注意：

宏观上：背景公平，不偏不怪；无科学性错误；不超“两纲”.

微观上：条件间互不矛盾；条件无多余；解答方法不过分追求技巧．

因此，为了命制高水平的试题可以从以下方面入手：

①平时教学中，多积累好的试题，建立个人试题档案，对一些好的试题（一些好的试题具有很强的生命力，以好题为载体可以衍生一大批新的题目）深入研究（背景研究、立意研究、解法研究、拓展研究、逆向探究试题编拟），阅览并收集期刊上的研究成果；

②立足于教材，以高等数学知识（高中以及大学数学知识）为命题知识层面指导；

③命题周期稍微长一点，磨题的时间多一点，磨题的过程更加细一些；

④组建命题研究团队，集思广益.

（2）使用试题应具有批判精神.

笔者认为大部分试题是教学和研究的有效资源，但部分试题难免有一些缺陷甚至存在错误.历史表明，数学科学伴随错误与反思而发展完善.部分试题编拟中由于各种因素的影响难免会犯一些错误或者存在一些缺陷，比如：平常考试试题存在一些疏漏，甚至中考、高考中也会出现一些有争议，乃至错误的试题.因此，在解题后需要用批判性的眼光对有些试题加以重新审视，不迷信于命题专家们的权威，敢于大胆地质疑，从而优化试题的编拟及使用.

4.参考答案仅供参考

在过去参考答案的使用过程中，参考答案给我们带来了便利：格式规范，能让学生养成良好的书写习惯；便于学生及时自我反馈检测情况，第一时间纠正错误；节省时间，给教师备课带来了方便；提供了解题方法等.然而，参考答案自身存在一些缺陷：缺乏解答的分析过程；解答方法出现错误；解答过程太简约，思维跨度太大；解答方法烦琐；解答方法不自然；缺失反思环节等.加之，由于使用参考答案不当：学生照搬照抄参考答案；教师过分依赖参考答案，于是出现了一些问题（参见文［3］）.因此，使用参考答案要做到以下两点：

（1）对学生来讲，教师要引导学生树立正确使用参考答案的意识，在感受参考答案优点的同时，不迷信、不盲从参考答案，不唯答案论，敢于质疑参考答案的合理性，要具备批判的眼光.具体来说，学生不能照抄照搬参考答案，应该在独立完成试题后，再对照参考答案找出自己解答的优点和存在的问题，尤其要分析导致问题的原因.对于不会做的试题，要先多想，然后再看参考答案，要看懂参考答案每一步，对每一个步骤多问几个为什么、怎么来的，从而把别人的方法变成自己的方法.

（2）对于教师来说，要摆脱对参考答案的过度依赖，创造性地使用参考答案.首先，教师要苦练解题技能（优秀教师必备的技能），遇到难的问题，尽量不看参考答案，多思考，久而久之就会产生顿悟，有所提升.其次，教师先做试题，充分感受解答中需要经历的“磨难”，再对照参考答案，立足最近发展区，寻找学生理解最优的思路、方法，并且做好参考答案缺陷的完善工作.

5.充分备课是高效课堂的关键

备课是上课的一个重要环节，而充分备课是自如驾驭课堂的前提、是高效课堂的关键.备课内容包括：

（1）备教材：教材是学科知识的载体和根基，提供了学科的教学任务（学什么、教什么）.教师需要深刻领悟编者的意图（章前语、例题、习题、旁注、阅读材料等的功能），吃透教材，有效地整合、分拆教材，把“厚书读薄，薄书变厚”.

（2）备“两纲”（教学大纲和考试大纲）：“两纲”是教师制定课堂教学目标（教到什么程度）的指导性文件.教师需要认真研读“两纲”，领会各知识板块的具体要求，不随意拔高难度，增减内容，关注要求有所变动的部分.

（3）备学生：学生是课堂的主体，学生在知识和思维上是否有所提升是高效课堂的唯一检验标准.因而，教师要了解学生的知识储备、思维层次、整体性和差异性；根据学生的实际情况采用适当的教法、学法；充分预设学生在学习中会出现的一些问题及对策，从而避免因准备不充分带来的尴尬.

1.刘成龙，余小芬.对数学解题反思的认识［J］.中学数学研究（江西），2012（6）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.刘成龙，余小芬.参考答案仅供参考［J］.福建中学数学，2013（2）.