关注“过程性目标”的“反比例函数”教学探索及反思

☉江苏省盐城市明达中学 江亚辉

一、问题的提出

“过程性目标”表达的是在教学情境中随着教学过程的展开而生成的学习成果和个性化表现的学习成果，具有过程性、内隐性和个性化的特点，是教学目标的有机组成部分．尽管教师都知道教学目标包括结果性目标和过程性目标，但大量课堂观察发现：大多数教师的课堂教学没有关注过程性目标的达成．关注过程性目标的教学怎样操作？笔者以苏科教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册“9.1反比例函数”第1课时为载体进行了探索．初步实践验证表明，探索中形成的操作方法对达成过程性目标有积极的影响．本文简录其教学过程，并提供教后反思，供读者参考、研究．

二、教学过程简录

环节1：经历感悟情境的过程——明确研究对象

引言：我们知道，现实生活中许多数量变化关系问题可以转化为一次函数问题．但现实生活中也有许多数量变化关系问题的数学化结果是其他形式的函数．例如，“一个接在12V电池上的汽车前灯灯泡的电阻为30Ω．如果改用电阻大于30Ω的灯泡，那么汽车前灯的亮度将发生什么变化？你能用数学方法给出解释吗？”其数学化结果就是一个新的具体函数．这节课的研究对象就是满足解决这类问题所需要的新形式函数——反比例函数．（揭示课题）

环节2：参与定义对象的活动——定义反比例函数

师：奉化到象山的路程是120km．一辆汽车从奉化开往象山，记汽车全程的行驶时间为x（h），汽车行驶的平均速度为y（km/h）．问：（1）在这个变化的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？（2）变量y随着哪个量的变化而变化？（3）怎样用函数解析式来表示这两个变量之间的变化关系？（4）当x=2时，y的值是多少？其实际意义是什么？（5）当y=70时，x的值是多少？其实际意义是什么？（先让学生独立学习约2分钟，再要求学生回答问题）

生2：这个函数右边的代数式是分式，正比例函数右边的代数式是整式．

师：不错！你借用了分式与整式的概念来演绎．

生3：这个函数的两个变量成反比例，正比例函数的两个变量成正比例．

师：不错！你借用了反比例与正比例的概念来演绎．

生4：这个函数两个变量的积是常数，正比例函数两个变量的商是常数．

生5：变量与变量之间都是反比例关系；解析式右边的代数式都是分式．

生6：都不是正比例函数，也不是一次函数．

生7：变量与变量的积都是常数．

师：非常好！生8运用了符号化思想和概括方法．由此可见，这类函数有多种特征，但其本质特征是：两个变量的积是常数，即xy=k（k为常数，且k≠0）．

师：现在老师提出下列几个反思性问题，请大家合作研讨并发表自己的观点！

（1）上述数学活动蕴含着哪些数学思想方法？（2）定义反比例函数的基本步骤是什么？（3）你对反比例函数有何感触？你认为还可以研究什么？

教师在倾听学生观点的基础上给出以下参考答案.

（1）数学活动蕴含的数学思想有：变化与对应思想、模型化思想、归纳思想、符号表示思想等.（2）定义反比例函数的基本步骤是：①借助具体情境产生具体的反比例函数；②观察具体反比例函数的特征；③归纳具体反比例函数的共同特征；④用自然语言定义并用符号语言表示.（3）反比例函数有丰富的现实情景，它也是刻画现实世界数量变化关系的有效模型；像研究一次函数一样，还可以研究反比例函数的图像和性质及其在实际中的应用.

环节3：参与尝试应用的活动——合作解答有代表性的问题

师：现在请大家合作解答下列问题.

问题1（概念辨别）：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？并分别指出反比例函数的比例系数和自变量的取值范围：

教师请个别学生回答的基础上，追问：判断的依据是什么？

教师请个别学生回答的基础上，追问：一般地，求函数的值有几种方法？

问题3（解决问题）：如图1，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）.

（1）y关于x的函数解析式是什么？自变量x的取值范围是什么？

（2）y关于x的函数是反比例函数吗？如果是，请说出其比例系数.

（3）当x=50时，函数y的值是什么？并说明这个值的实际意义.

图1

图2

教师先引导学生解决问题，再提出两个反思性问题：（1）解决问题3的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？（2）学习反比例函数有何意义？请大家合作研讨并发表自己的观点！

教师在倾听学生观点的基础上给出以下参考答案.

（1）解题策略：用函数思想把实际问题转化为数学问题.解题方法：①在动态的变化过程中引进两个表示变量的字母；②用适当的方式建立变量之间的变化关系；③用数学方法解决变量之间的变化关系问题；④用数学问题的解回答实际问题的答案.解题技巧：①审题——问题涉及哪些量？哪些量是常量？哪些量是变量？②分析——变量与变量之间的变化关系是什么？③建模——根据杠杆原理建立函数关系式；④解模——用代入求值法求函数的值；⑤回答——用数学问题的解回答实际问题的答案；⑥反思——问题的深化与拓展.

（2）意义：有助于我们进一步认识研究数量变化关系问题的思维模式和解决问题的方法，也能在研究过程中发展我们的智力、能力和个性.

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行课堂总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）什么叫反比例函数？反比例函数的本质特征是什么？

（2）反比例函数与正比例函数的区别与联系分别是什么？

（3）定义反比例函数的基本步骤是什么？在概念形成过程中蕴含着哪些数学思想？

（4）用反比例函数解决实际问题的策略、方法和技巧分别是什么？

（5）学习反比例函数有何意义？你认为反比例函数还可以研究什么？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价．

最后，教师让学生欣赏反比例函数的自述：

Hi！我是反比例函数．我像一次函数一样也是刻画现实世界数量变化关系的有效数学模型．因为我是函数，所以我也具有函数的内涵：我也是在研究运动、变量与曲线的过程中抽象出来的；我的灵魂也是运动、变量、变量关系；我的本质也是变量与变量之间的变化关系；表示我也有三种方法：解析法、列表法、图像法；用我解决实际问题的思想方法也是：①在动态的变化过程中引进两个表示变量的字母；②用适当的方式建立变量之间的变化关系；③用数学方法解决变量之间的变化关系问题；④用数学问题的解回答实际问题．我又是特殊的函数，我的本质特征是：两个变量的积是常数，即xy=k（k为常数，且k≠0），你不久就会知道我的图形特征与变量之间的不变关系．告诉你：认识我可类比认识一次函数的方法——抓住变量与变量之间的变化关系，遵循特殊到一般、具体到抽象的认知规律，运用运动的观点和数形结合的思想；认识我也要善于独立思考和合作学习，并要经常反思用我解决问题的策略、方法和技巧．值得一提的是：认识我还有助于你理解认识世界的思维模式和解决问题的方法，也能在认识我的过程中发展你的智力、能力和个性．

三、教后反思

之所以这节课关注了过程性目标，是因为这节课在关注结果性目标的同时也关注了过程性目标，并且根据过程性目标设计了相应的数学活动．其具体操作方法如下．

（1）设置科学合理的教学目标．生成科学合理的教学目标的基本过程是：①分析并解析涉及的知识及相互之间的关系；②解析涉及知识的地位及教学价值；③查阅并分析课程标准（内容标准）中的具体目标；④查阅并分析教学参考书设置的章节目标；⑤分析学生的实际情况；⑥在综合分析的基础上设置教学目标．例如，“反比例函数（1）”的教学目标：①经历具体情境诱导下的感悟过程，感受研究反比例函数的必要性；②参与根据具体情境中的数量变化关系列函数解析式的活动，体会变化与对应思想和模型化思想，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；③参与定义反比例函数的活动，认识反比例的量的概念，体会定义反比例函数的基本过程和蕴含的归纳思想，能说出反比例函数与正比例函数的区别与联系，能根据反比例函数的特征识别具体的反比例函数，并能指出其比例系数和自变量的取值范围；④参与用反比例函数解决简单实际问题的活动，体会函数思想方法和已知自变量的值求相应的函数值及已知函数的值求相应的自变量的值的方法，体会学习反比例函数的意义，能用反比例函数解决简单的实际问题．

（2）依据过程性目标设计相应的数学活动．事实上，过程性目标暗含数学活动的形式和目的指向．例如，“反比例函数（1）”这节课，反比例函数概念的教学目标是“体验并理解反比例函数的概念”．这意味着对应数学活动的形式是“参与……活动”．这种数学活动的特征是需要学生具有一定的参与程度（认知参与、行为参与、情感参与），而不是光听教师的讲述．这种数学活动的目的是：既要获得陈述性知识，也要获得蕴含在过程中的程序性知识和策略性知识等，并在获得知识的过程中发展能力和个性．因此，定义反比例函数的教学，既要引导学生参与“列反比例函数的解析式、观察具体反比例函数的特征、归纳若干具体反比例函数的共同特征、用符号表示反比例函数的本质特征”等活动，也要引导学生反思：蕴含在过程中的定义反比例函数的基本步骤是什么？在过程中蕴含着哪些数学思想？这样的数学活动，在获得知识的同时，也能发展能力和个性．

（3）搭建有助于学生实现过程性目标的合适平台．反映过程性目标的生成性学习成果和表意性学习成果具有过程性、内隐性和个性化的特点．既然获得生成性学习成果和表意性学习成果需要合适的过程，就需要让学生经历适度指导下的数学结果的形成与应用的思维过程；既然生成性学习成果和表意性学习成果具有内隐性，就需要教师通过反思性问题来引导学生揭示蕴含在过程中的隐性内容；既然生成性学习成果和表意性学习成果具有个性化，就需要教师留给学生合作研讨的机会以形成多边思维碰撞的学习状态．例如，“反比例函数（1）”这节课，教师在给出程序性知识、策略性知识等之前，都留给了学生充分发表自己观点的机会．只有这样才能实现过程性教学目标．尽管实现数学教育的“双重性”任务，需要关注过程性目标，否则发展学生的能力和个性就成了一句空洞的口号，但教学中要处理好结果性目标与生成性目标的关系．结果性目标是课堂教学过程的决定因素，是教学效果的最起码要求，也是教学效益中可评价的那一部分，若过于重视生成性目标和表意性目标，则教学就有可能走向“无目的”的误区．

1.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．

2.杨裕前，董林伟．义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级下册）［M］．江苏科学技术出版社，2006．