教学相长——课堂上意外的惊喜

☉北京首都师范大学附属实验学校 王保东

八年级期中考试前进行复习时，笔者出了一份练习题，总共10道题，4道选择题，4道填空题，1道中档题，1道综合题.预计课堂中先给学生25分钟独立思考时间，教师巡视，了解学生解答时存在的问题，后20分钟针对学生存在的问题和困惑进行点拨和释疑.按照计划学生很快完成了解答任务，前7道题很快订正完了，订正到第8题时，学生们出现很大的分歧，答案各异，争论不休.第8题是一道填空题，内容如下：

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC与点E、G，连接GF，有下列结论：

图1

①∠AGD=112.5°，②S△AGD=S△FGD，③四边形AEFG是菱形，④BE=2OG.

其中正确的结论的序号是________.

经过讨论和推理，大家很快形成了共识：①②③是正确的，焦点是：④是否正确.绝大多数同学的答案是不正确，但是问他们为什不正确时，又说不出个所以然.只有一个同学（数学课的课代表）小姜说是对的.因为课前笔者没有提前做一做，也没看答案，一时很难判断谁是谁非，说是，就要说出为什么；说不是，也得找到否定的理由，当时骑虎难下.

笔者又给大家时间讨论，笔者也积极地与学生一起思考，通过导角、证全等等方法都证不出来.

根据结论，笔者提示：如果OG是△DEB的中位线问题就解决了.

学生说：O是BD的中点，G不是DE的中点，说明OG不是△DEB的中位线

当时笔者也没有深入的探究，应添加辅助线构造中位线，学生也没有深入探讨，一时又僵持住了；一时间笔者不知如何收场，总不能说：这个问题如果同学们感兴趣可以课下讨论，我们还要进行新的内容?这样回答太没水平了.

可是小姜说：观察图形，BE像OG的2倍.

师：像，不能说明一定是，必须经过证明才能说明.

小姜说：这道题我想了好长时间才证出来的.

笔者硬着头皮问了下去：说说你的思路，那你添加辅助线了吗？

小姜：我再看看，是怎样加的辅助线（沉默片刻，接着说），要证明BE=2OG，先找到一条线段等于2OG，再证BE等于这条线段就行了，取ON=OG，连接BN，只要证BE=GN即可.

笔者按照小姜添加辅助线的方法在黑板上加辅助线（如图2），一边飞速转动大脑，搜寻解题的途径.（当时小姜的思路是对的，但是具体的证明一时不能很快的顺畅表达出来）

笔者很庆幸没有否定小姜的答案，给了小姜发言的机会，教室里的紧张空气终于消散了，笔者立刻表扬了小姜同学敢于钻研和敢于标新立异的精神，笔者和同学们为小姜鼓起掌来，掌声经久不息.小姜的脸上洋溢着幸福和成功的神情（学生找到了一种方法，无疑像一根救命的稻草一样，可以理直气壮地确定答案了）.

笔者心里暗暗的想，既然BE是OG的2倍，那么一定可以找到△DEB的中位线，一定可以找到更好的方法，以O为圆心，OG为半径画弧交DE于点M，连接OM，只要证明OG=OM即可.于是笔者接着启发学生.

师：既然BE是OG的2倍，那我们能不能直接找到△DEB的中位线，再证这条中位线的长度与OG相等呢？

学生经过一段时间的讨论，很快有了结果.

如图3，取DE的中点M，连接OM.

所以∠GOM=∠BAC=45°，∠AEG=∠GMO=67.5°.

所以∠MGO=67.5°.

所以OG=OM.

图3

接着笔者又大胆启发：能不能从数量上找出BE与OG的关系？

经过研究讨论，有的同学运用勾股定理的知识和方程的思想解决问题.思路是：

由③四边形AEFG是菱形，可知：FG∥AB，AE=EF=FG=AG，可得∠OGF=∠BAO=∠OFG=∠OBA=45°，△OFG和△BEF都是等腰直角三角形.如果设AE=x，则EF=FG=BF=x.

师：比较一下，三种方法中哪种方法的证明过程较简捷？哪个方法更容易想到？

小姜：第二种书写更简单，思路更容易想到.

师：同学们课下看看还有没有其他的方法？

这时下课的铃声响了，还有两道题没有订正完，但是学生研究的兴趣意犹未尽.

这节课给笔者的印象太深刻了，在笔者的脑海中久久挥之不去，意外的惊喜带给笔者的思考是多维度的，收获也颇丰.

1.教师要多动手，别让“经验”蒙蔽双眼

教学多年的教师，积累了丰富的做题经验，好多题看一眼就知道解题思路是什么，即使偶尔对某道题有一点疑惑，象征性的参考一下答案提示，也就可以胸有成竹了，这节课告诉我们：教师一定要认真备好每一节课，课前对课的内容要有精心的预设，才不会出现“课堂危机”；教师还应该以身示范，亲力亲为，该动手时就动手，尽可能多备学情，多占有资料，这样才能临危不惧，处惊不乱.

2.克服定势思维，别让“习惯”绊住双脚

学生的发散思维、创造思维是平时培养出来的，而思维的定势也是教师培养出来的.在平常教学中，一些学生往往只会按照某种固定的、习惯性的思维方式去处理问题，缺少思维的发散性、求异性、广阔性、灵活性.这件事告诉我们：教学中不要总讲习惯，应该根据实际问题进行分析，克服定势思维，区别对待.

3.教师要引导学生深入思考，别让“想当然”拴住双手

试想，如果我们让“想当然”拴住的话，不去认真思考，看着不是三角形的中位线，就断定BE≠2OG，又怎能知道BE=2OG的真正原因呢？我们只要仔细分析，在图中辨析各线段的联系，就能深入的研究问题了.

4.教师要学会倾听，别让“固执”堵住双耳

如果为了完成本节课的任务，教师固执己见，不让小姜同学说出想法，粗暴地打断他的思路，我们怎么会有在感受学生的回答中寻找着自己解决问题的灵感呢？怎么能体验“意外事件”带给我们的冲击呢？因此有些时候，学生提出不同见解，即使错也要让他表达出来，这样才能共同剖析错误原因，对症下药.课堂中表面上来看好像“浪费”了好多时间，但是却培养了学生勇于探究的优良品质，这绝对是值得的.

5.教师要敢于放下权威，别让“面子”挡住求真的路

老师在学生的心目中是完美的，因此老师不能有丝毫的懈怠，不能仅凭经验和习惯教学.当老师在课堂上被难住时，要做到随机应变，充分发挥学生的集体智慧，争取借助学生的力量解决问题.现在想来，真的感谢学生，感谢他们思维的火花带给笔者的智慧和欢乐！对肯于钻研的学生，教师要及时表扬与鼓励.这节课还告诉我们：有时候学生的思路、方法和技巧比老师的还要好，还要简捷，因此教师要敢于放下权威，虚心向学生学习，倾听学生的见解，共同研究，彼此借鉴，这才是真正意义上的教学相长.

1.张秀芬.老师也要常动手［J］.中小学数学（初中），2013（3）.

2.庞彦福，韩卫华.都是思维定势惹的祸［J］.中小学数学（初中），2013（3）.

3.王彬.教学相长——学生真的会给我们带来生命的惊喜［EB/OL］.http://mingxiaozhang.qlteacher.com/studio/songweizhong/7404.aspx，2010-11-01.