谈大地坐标及子午线收敛角的计算方法

常惠宗

(山西路桥第一工程有限责任公司，山西太原 030006)

0 引言

工程测量是一门测定地面点位的科学，广泛应用于公路、建筑、铁路等各种建筑工程的勘测、设计、施工的各个环节。本文就子午线收敛角做简单的介绍，在介绍子午线收敛角之前我们应该先剖析一下公路及建筑测量中所用的测量坐标系。

1 测量坐标系

测量的基本值说到底其实就是点、线、面，将大地实际的三维体系转换和绘制在电脑或者图纸，在图纸上标定和计算，再将图纸上的点线面放样到大地的实际点位，组成新的三维实体。测量上确定地面点的位置，是通过在基准面上建立坐标系，测定点位之间的距离角度和高差三个值来实现的。

1．1 基准面

地球的形状可以使用两级近似，第一级我们可以将地球近似为一个圆球，半径为6 371 km;第二级近似概况为一个椭球体，其长半轴为 6 378．137 km，短半轴为 6 356．752 km，扁率为1/298．257。自由静止的水面即是水准面，水准面包围的地球形体称为大地体。测量工作就是以椭球面作为基准面，把大地体作为地球的数学模型，在上面建立一一对应的数学坐标关系。

1．2 坐标轴系

坐标轴系分为两部分，即平面坐标轴系及竖直坐标轴系。本文主要对平面坐标轴系进行阐述。平面坐标轴系分为地理坐标，平面直角坐标及高斯—克吕格坐标。

1．2．1 地理坐标

地理坐标是以经度λ、纬度φ来确定地面点位的球面坐标，其中通过一点和地球南北极的平面称为该点的子午面，子午面与地球表面的交线称为子午线也叫真子午线。通过某一点的子午面与通过英国格林威治天文台的子午面之间的夹角就是该点的经度。通过某一点的铅垂线与赤道平面的夹角称为该点的纬度。

1．2．2 平面直角坐标

在地球上不大的区域范围内，我们可以将地球近似的当做平面，用直角坐标来确定点位。在测量上的直角坐标与数学上的直角坐标系基本相似，可以使用数学上的三角函数直接计算，但与数学上的直角坐标系的区别在于将坐标轴互换，象限编号的顺序也与数学上的直角坐标相反。

1．2．3 高斯—克吕格坐标

将地球上的点位转移到平面上，需要按照地图投影的方法将大地坐标转换到直角坐标，我国采用高斯—克吕格投影的方法。高斯—克吕格坐标就是建立在高斯投影面上的平面直角坐标。它是一种球面坐标与平面直角坐标相互可以转换的坐标轴系。

在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。

为了控制由曲面正形投影到平面上时引起的长度变形，高斯投影采用分区分带的方法，使带内的最大变形控制在测量允许值的范围内，通常划分为60个带，每6°划分为一个6°带。位于各带边上的子午线称为分带子午线，位于各带中央的子午线称为中央子午线或者轴子午线。

在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标x轴，以赤道的投影为横坐标y轴。在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330 km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500 000 m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。

在投影时每个带独立进行，在高斯投影面上除中央子午线与赤道的投影构成两条互相垂直的线外，其余子午线均为对称于中央子午线的曲线，而且离中央子午线越远，长度变形越大，为了控制变形满足精度要求，很多情况下也采用3°带(见图1)。

图1 分区分带图

在高斯投影面上，中央子午线投影后是一条直线，作为这个带的坐标纵轴，但是其他子午线投影后均为曲线(见图2)，在图中M，N两点的真子午线方向与中央子午线之间的夹角称为子午线收敛角。

2 子午线收敛角的计算

子午线收敛角是地球椭球体面上一点的真子午线与位于此点所在的投影带的中央子午线之间的夹角，即在高斯平面上的真子午线与坐标纵线的夹角，通常用γ表示。此角有正、负之分:以真子午线北方向为准，当坐标纵轴线北端位于以东时称东偏，其角值为正;位于以西时称西偏，其角值为负。

图2 子午线投影图

1)坐标方位角与真方位角的关系。

其中，αMN为点M到点N的坐标方位角;AMN为点M到点N的真方位角;γ为子午线收敛角。

2)子午线收敛角的计算。

如果已知测站精度和纬度，可以按照下式计算:

其中，L为测站纬度;L0为测站所在高斯投影带的中央子午线的经度;B为测站纬度。

如果已知测站高斯坐标的横坐标y，可以用下式计算:

3)例解。

在公路中线测量中，在A点上测得导线起始边AB的真方位角AAB=82°15'20″;在 M点上测得导线终边 MN的真方位角为89°26'40″，已知 A，M 两点的横坐标差为 +13．92 km，M 点的纬度40°30'。若αAB=82°15'20″，此时终边MN的坐标方位角是多少。

计算:首先计算子午线收敛角为(13．92/6 371)×tan(40°30') ×180/π =0°06'25″。

则终边 MN 的坐标方位角为89°26'40″－0°06'25″=89°20'15″。

3 结语

大地体是一个近乎梨形，南北极并不对称的椭球体，在高斯投影带中建立的直角坐标系还存在很多更加精确和繁琐的计算公式及计算方法，需要不断的探索和研究。测量工作作为工程施工和设计中的重点，还有很多需要学习和实践的。

［1］ 李映红．建筑工程测量［M］．武汉:武汉大学出版社，2011．