模型论中有关代数闭域的一个性质①

张 龙， 陈国龙， 万展翔

(淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北235000)

0 引 言

一个可以写成a0+a1x+a2x2+…+akxk(ai∈R，k 是大于或等于零的整数)叫做R 上x 的一个多项式，ai叫做多项式的系数. 在数学上，一个域F被称作代数闭域，当且仅当任何系数属于F 且次数大于零的单变量多项式在F 里至少有一个根. 另外，本文在定理的证明过程中会用到较多的字母符号，所以有些字母符号用起来比较随意，但这些符号的含义明确并不影响读者的理解.

1 基本概念

定义1［1］设R 为环，I 为R 的非空子集，如果I 满足

(i)对任意的r1，r2∈I，r1- r2∈I;

(ii)对任意的r ∈I，s ∈R，rs，sr ∈I.

则称I 为环R 的一个理想，记作I◁R.又如果I ⊂≠R中，则称I 为R 的真理想. 若R 为一个交换幺环，R的一个理想M ≠R 而且不在存在理想A 使得M ⊂≠A ⊂≠R，则M 叫做R 的一个极大理想.

定义2［2］n 个元x1，x2，…，xn叫做R 上的无关未定元，假如任何一个R 上的x1，x2，…，xn的多项式都不等于零，除非这个多项式的系数都等于零.

定义3［3］设μ，β 是语言L 的模型.如果对L中每一语句φ 都有:μ 满足φ 当且只当β 满足φ，则称μ，β 为初等等价的，记作μ ≡β.

设T 是L 中的理论.如果对于T 的任何模型μ，β 都有μ ≡β，则称T 为完全理论.当T 适合下列条件时，称为模型完全的:对T 的任何模型μ ≡β.若μ⊆β，则μ ≺β.

定理1［3］令L = {+，·，0，1}，令T 为代数闭域的理论，则T 是模型完全的.

2 主要结论

定理: l1q1+l2q2+… +lkqk= 1 的充分必要条件是q1，q2，…，qk在G 的每一扩域中没有公共解.其中G 为任意代数闭域，Q = G［a1，a2，…，an］为G 上n 个不相关不定元a1，a2，…，an的多项式环，q1，a2，…，qn∈Q.

证明: 下面先证充分性:

这里要用反证法来证明，假设q1，q2，…，qk在G 的每一个扩域中都没有公共解，但是l1q1+l2q2+… + lkqk不等于1.

现在用F 来表示q1，q2，…，qk在Q 中生成的理想，即F = {eq1+ e2q2+ …ekqk:e1，e2，…，ek∈Q}.由假设l1q1+l2q2+…lkqk不等于1 知，1 ∉F，所以F 是Q 的真理想. 从而，F 肯定被包含在Q 的一个极大理想N 中. 令M 为剩余类环Q/A，则M 为一域，并且还可得G ⊆M.

下面考虑M 中的元素bi= ［ai］(这里的bi=［ai］指的是ai所在的剩余类)(i = 1，2，…，n)，那么就有qj(b1，b2，…，bn)= ［qj(a1，a2，…，an)］，(j= 1，2，…，k)，但是由qj(a1，a2，…，an)∈F ⊆A知，［qj(a1，a2，…，an)］= ［0］(M 的零元).

所以综上可得(b1，b2，…，bn)是q1，q2，…，qk在M 中的一组公共解，此和q1，q2，…，qk在G 的每一扩域中无公共解矛盾.因而充分性得证.

接下来我们证必要性:

这里还需要用到反证法. 假设l1a1+ l2q2+ …+ lkqk= 1，但是q1，q2，…，qk在G 的某一扩域B1中有公共解，则它们也在B 的代数闭包B1中有公共解.所以B1满足(∃x1，x2，…，xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧qk(x1x2…xn)≡0)，但是G ⊆B1都为是闭域，因此由B1满足(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)和代数闭域理论的模型完全性可知，G 满足(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(这里需要解释一下，由于每个 qi(a1a2…an) 系 数 都 在 G 中， 所 以(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(fα1fα2…fαm)，其 中α1，α2，…，αm∈G，而(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)为L = {+，·，0，1}中含有自由变量 v1，v2，…，vm的 公 式. 因 此 B1满 足(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)［α1α2…αm］，又因为G ≺B1，所以有G 满 足(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)［α1α2…αm］，也就是G 满 足(∃x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0))但是由l1q1+l2q2+…lkqk等于1 知，q1，q2，…，qk在G 中没有公共解，所以存在矛盾.因而必要性得证.

［1］ 韩士安，林磊.近世代数［M］.北京:科学出版社，2004:134.

［2］ 张禾瑞. 近世代数基础［M］. 北京:高等教育出版社，2005:107.

［3］ 王世强..模型论基础［M］.北京:科学出版社，1987:23 -24.