内FCtor-群

李佳超, 张志让, 付 丹

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

0 引言

如果群 G的每一共轭类是有限的,那么称 G是FC-群[1]。FC-群类有下列子类:FA-群(有限群关于阿贝尔群的扩张群),CF-群(中心的指数有限的群),FO-群(任意给定的阶(包括∞)的元素的个数是有限的群),FCtor-群(周期的 FC-群)。

假设P是一种群论性质。如果群G的所有真子群都是P-群,但是G本身不是P-群,那么称 G为内P-群。取P-群为FC-群或者它的子类,就可以得到若干种类型的内P-群,它们已经被群论工作者研究过[1-9]。

文中首先证明所有的FCtor-群是内FC-群(定理1),以便在研究内FCtor-群的过程中可以利用内FC-群的结果。与通常研究内P-群的过程类似,在这类群的研究中很自然地将内FCtor-群分为完备和非完备的这两种情况。利用非完备的内FC-群的结构定理[7],得到非完备的内FCtor-群的完全结构描述(定理2)。最后讨论完备的内FCtor-群,得到下列两个结果:如果存在有限生成的内FCtor-群 G,那么 G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是单群(定理3);假设G为完备的内FCtor-群,那么G是非有限生成的充分必要条件是G为局部有限的p-群(定理4)。

1 内 FCtor-群

本节中将证明内FCtor-群是内FC-群,为此需要引用FCtor-群的一个结果。

引理1[6]群G是FCtor-群当且仅当G的每一个有限子集包含在它的一个有限正规子群中。

定理1 内FCtor-群都是内FC-群。

证明 假设 G是内FCtor-群,那么G的真子群都是FCtor-群,它当然也是FC-群。因为G本身不能是周期的FC-群,因此只要能够证明 G是周期的那么它一定不是FC-群。用反证法,假设G不是周期的,那么一定存在某一元素 g∈G,使得,因此｜＜g2＞｜=∞。然而＜g2＞是＜g＞的真子群,故 G有一个阶为无限的真子群,矛盾于G的每一个真子群是周期的FC-群。所以,G是周期的。定理得证。

2 非完备的内 FCtor-群

记群G的有限剩余群为G*,它为 G的所有指数有限的子群的交。利用非完备的内FC-群的结构描述[7]以及定理1,可以给出下列非完备的内FCtor-群的结构定理。

定理2 假设 G是群,那么G为非完备的内FCtor-群的充分必要条件是G满足以下条件:

(1)G′=G*;G=＜G*,x＞,其中 xpn∈G*,xp∈Z(G),p是素数,n是正整数;

(2)G*可以表示成有限多个拟循环群Z(q∞)的直积,其中q是某一素数;

(3)在 G*中没有G-容许的真子群。

由定理2可以得到下列推论,即非完备的内FCtor-群恰好是非完备的内FC-群,因为它们具有相同的结构描述。

推论1[8-9]设G是非完备群,那么下列条件是等价的:

(1)G是内FC-群;

(2)G是内FA-群;

(3)G是内CF-群;

(4)G是内FO-群;

(5)G是内FCtor-群。

推论2 有限生成的内FCtor-群都是完备群。

证明 用反证法。假设有限生成的内FCtor-群 G是非完备的,那么由定理2可知 G的导群G′是有限多个拟循环群Z(q∞)的直积,因此G′不是有限生成的。但是,因为G是有限生成的并且是有限的,那么 G′一定是有限生成的[6]。矛盾。所以G只能是完备群。

3 完备的内 FCtor-群

这节将考虑完备的内FCtor-群。Belyaev在文献[2]中得到下列关于完备的内FC-群的结果:假设群G是完备的内FC-群,那么 G一定满足下列条件之一:(1)G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是单群,其中Z(G)是G的中心;(2)G/Z(G)是无限的非阿贝尔的施密特群(其中施密特群是没有无限的真子群的群);(3)G是局部有限群。利用Belyaev的这个结论能够得到下列内FCtor-群的性质。

引理2 如果存在有限生成的内FCtor-群G,那么G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是单群,或者 G/Z(G)是无限的非阿贝尔的施密特群。

证明 首先因为G是有限生成的内FCtor-群,故由定理1和推论2知G是完备的内FC-群。假设 G是局部有限的,那么它就是有限群,不可能是内FCtor-群,矛盾。因此G不是局部有限的。所以,由上述的Belyaev关于完备的内FC-群的结论,引理成立。

命题1 不存在非2元生成的有限生成的内FCtor-群。

证明 假设 G是有限生成的内FCtor-群,那么由引理2,G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是单群,或者G/Z(G)是无限的非阿贝尔的施密特群。如果G是非2元生成的群,那么G/Z(G)是无限的非阿贝尔的施密特群。再由文献[2]可知G/Z(G)是二元生成的,因此可以设G=＜a,b,Z(G)＞。记 H=＜a,b＞,则H是G的真子群,从而 H 为FCtor-群,当然也为FC-群。对任意的元素 g∈G,有 g=hz,其中 h∈H,z∈Z(G),此时容易得到 CG(g)=CG(h)。然而 CG(h)≥Z(G),因此 CG(h)=CG(h)∩(HZ(G))=(CG(h)∩H)Z(G)=CH(h)Z(G)。由于 H是FC-群,故有从而由此可得再由元素g的任意性知G是FC-群,矛盾于G是内FC-群(由定理1)。因此假设不成立,即H=G=＜a,b＞,G是二元生成的,矛盾。所以,不存在非2元生成的有限生成的内FCtor-群。

下列定理是引理2和命题1的直接推论。

定理3 如果存在有限生成的内FCtor-群G,那么G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是单群。

最后研究非有限生成的完备的内FCtor-群。

定理4 设G是完备的内FCtor-群,那么G为非有限生成群的充分必要条件是G为局部有限的p-群。

证明 假设群G是非有限生成的,H是G的任意有限生成的子群,那么H是G的真子群,从而H是FCtor-群。由引理1,H是局部有限正规的,从而H是有限的。所以,由H的任意性G是局部有限的。再利用文献[2]就有G是局部有限的p-群。

反之,如果G是局部有限的p-群,假设G是有限生成的,那么G是有限的。这与 G是内FC-群矛盾。所以G是非有限生成的。

[1] V V Belyaev,N F Sesekin.On infinite groups of Miller-Moreno type[J].Acta Math.Acad.Sci.Hungary,1975,26:3-4,369-376.

[2] V V Belyaev,Groups of Miller-Moreno type[J].Sibirskii Mat.Z.1978,19:509-514.

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[6] D J S Robinson.A Couse in the Theory of Groups(2nd.ed)[M].New York:Springer-Verlag,1996.

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