从力学角度分析齿轮在轴上的合理布置

于 辉，白 洁

（吉林电子信息职业技术学院 机械系，吉林 吉林 132021）

0 引言

齿轮系因其可以实现定传动比的变速运动、运动的合成与分解等功用在机械中广泛应用，是机械传动装置中的重要组成部分。齿轮系中齿轮的位置关系到轴的强度、刚度，也关系到机械的整体结构尺寸、变速操纵的方便性、结构实现的可能性和机器的经济性。

根据力线平移定理可知，齿轮啮合时产生的推力对轴产生两个作用，即主矢垂直于轴线，使转轴产生弯曲；主矩使轴产生绕轴线的旋转，即扭转。本文从轴的弯曲和扭转角度分析齿轮位置的合理性。

1 滑移齿轮的合理布置

在轴上可以移动的齿轮称为滑移齿轮。通过滑移齿轮与不同齿轮的啮合实现机械的变速。

1．1 滑移齿轮一般布置在主动轴上

如图1所示，轴I为高速轴，在齿轮传递的功率、转速一定时，由（其中，T1为轴I传递的扭矩，P1为轴I传递的功率，n1为轴I的转速）和（其中，d2为齿轮2的最小分度圆直径，K为载荷系数，u为齿轮2与齿轮5的齿数比，ψd为齿宽系数，［σH］为齿轮副的最小许用应力）可知，转速高时齿轮的分度圆尺寸小、质量轻、转动惯量小、变速灵敏，故滑移齿轮应布置在高速轴上。

1．2 滑移齿轮采用窄式布置

如图1所示，轴I上有滑移齿轮2、3和固定齿轮1，轴II上有与滑移齿轮啮合的固定齿轮4、5和固齿轮6。动力和运动由齿轮1传入，经滑移齿轮2（或3）与齿轮5（或4）啮合传递到轴II，再经齿轮6传出。下面以轴I为例分析齿轮位置对轴内力的影响。

设滑移齿轮为直齿圆柱齿轮，则齿轮作用在轴上的主矢大小为：

其中：Fni为任一齿轮的啮合力；Fti为第i个齿轮的切向力；α为齿轮的压力角，一般为20°；di为任一齿轮的分度圆直径。

图1 机械中的齿轮系

对于固定轴I，其上的齿轮模数、齿数及压力角一定时，在传递功率、转速不变时，各齿轮的啮合力是固定不变的，可视为常数，而齿轮位置不同对轴的内力极值影响较大。轴I不同工作位置时的弯矩、扭矩如图2所示。在图2（a）啮合位置时，弯矩大小为：

其中：M11为轴I在齿轮1的中心对应处的弯矩；M12为轴I在齿轮3的中心对应处的弯矩；Fn11为齿轮1的啮合力；Fn13为齿轮3的啮合力；L为轴的跨度，L＝L1＋L2＋L3＋L4。

在图2（b）啮合位置时，弯矩大小为：

其中：M21为轴I在齿轮1的中心对应处的弯矩；M22为轴I在齿轮2的中心对应处的弯矩；Fn21为齿轮1的啮合力；Fn22为齿轮2的啮合力。

图2 滑移齿轮工作情况及轴I的内力图

L1、L2、L4为齿轮与齿轮、齿轮中心到箱体的距离，与结构要求有关，也可视为常数。L3与滑移齿轮的布置有关，且关系到轴的跨度L（L＝L1＋L2＋L3＋L4），跨度大，轴的弯矩大，故从提高轴强度的角度，滑移齿轮应采用最紧凑的布置形式，即将滑移齿轮制成结构紧凑的滑移齿轮块的窄式布置，如图3所示。其中，b为齿轮的宽度。

图3 滑移齿轮布置情况

多组滑移齿轮时，基于减小轴跨度理念，主从动齿轮采用交错布置最为合理，如图4所示。

1．3 采用公用齿轮布置

如图5所示，两个相邻变速组采用公用齿轮后，减少了中间轴上固定齿轮数，从而减小了轴的跨度，提高了轴的强度和刚度。

上述措施减小了轴的跨度，降低了轴的内力，因而减小了轴的径向尺寸，间接减小了轴上传动件（齿轮）的尺寸，节省材料。同时，也能简化轴支承结构，是齿轮的合理布置。

2 固定齿轮的合理布置

轮系中常常在同一轴上安装多个齿轮实现分路传动。齿轮位置不同对轴的强度、刚度产生很大的影响。

图4 多组滑移齿轮布置

图5 采用公用齿轮跨度的变化情况

如图6所示，由力学可知，啮合力对轴的另一作用是使轴产生扭转。若主动轮1在一侧，从动轮2、3在另一侧，轴产生的扭矩如图6（a）所示，最大扭矩为T1，若将主动轮1与从动轮2交换位置，则轴的扭矩如图6（b）所示，最大扭矩下降到T2（T2＝T1－T3）。在其他条件不变的条件下，由于齿轮1和齿轮2对调位置，使轴的最大扭矩减少了，故承载能力提高了，变形小。由此可知，在同一轴上布置多个固定齿轮时，应主动（输入）轮在中间，从动轮在两边，并尽量使两侧从动轮输出动力均衡。

图6 轴扭矩的变化情况

3 结论

由于支撑齿轮的轴同时受到弯矩和扭矩，故其强度计算应按第三或第四强度理论计算，即轴的当量弯矩（其中，M 为合成弯矩；T为扭矩，a为按转矩性质而定的应力校正系数，对不变化的转矩a＝0．3，对脉动变化的转矩a＝0．6，对频繁正反转即对称循环变化的转矩a＝1）。按上述布置齿轮后，轴的弯矩和扭矩极值减小了，轴的当量弯矩Me降低了，轴的强度提高了。

［1］ 陈立德．机械设计基础［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［2］ 于辉．工程力学［M］．北京：北京交通大学出版社，2010．

［3］ 方键．机械结构设计［M］．北京：化学工业出版社，2006．