一类声子晶体角梁的振动带隙研究

舒海生，高恩武，张 法，李世丹，董立强

(哈尔滨工程大学 机电工程学院702所，哈尔滨 150001)

声子晶体通过周期性地改变材料参数和(或)结构型式，能够产生不同中心频率和带宽的弹性波带隙(stop band)，在新型声学器械、精密机械手、高精度稳定平台等减振降噪领域具有潜在的工程应用价值。现有的声子晶体研究主要集中在带隙形成机理分析和带隙计算方法探索等［1-7］领域，而实际应用研究［8-9］则较为少见。所针对的研究对象基本上是单一构型的声子晶体，例如一维声子晶体杆、梁、轴［7，9-12］，以及二维声子晶体格栅和板等［5-6］，而对实际应用中常见的各种组合形式的结构件却鲜见分析。一般而言，弯曲振动带隙中心频率较低，纵向振动带隙中心频率较高，二者往往不在同一频段，使用任何一种单一构型的结构(例如一维声子晶体直梁)一般只利用了其弯曲带隙或纵向带隙，振动衰减频带较窄，不仅如此，由于弯曲(纵向)带隙一般只能对弯曲(纵向)激励才能发挥抑制作用，对于扰频位于纵向(弯曲)带隙内的弯曲(纵向)激励这类简单构型的声子晶体则无能为力了，因而存在减振维度低的局限性。实际振源情况往往是多维的，纵向激扰和弯曲激扰经常同时存在，因而直梁结构便不能很好地满足多维减振需求。为此，本文给出了一类声子晶体角梁结构，该结构由两根声子晶体梁以某一角度通过扭簧联接而成。一方面这种结构能够在组成梁之间实现弯曲振动和纵向振动的转化，使得弯曲带隙可以被用于控制纵向激扰，纵向带隙也可以被用于抑制弯曲激扰，从而获得了宽频多维减振性能。另一方面，通过引入扭簧有效地加强了组成梁之间的“弹簧-振子”效应，在增加了总体振动带隙的宽度和衰减量的同时，还提高了低频减振能力，从而使得声子晶体角梁的减振频带得到进一步拓宽。

1 声子晶体角梁振动理论分析

图1给出了声子晶体角梁的结构示意图，下梁(梁Ⅰ)和上梁(梁Ⅱ)通过扭簧连接，两梁之间的初始夹角可以变动，设为θ(0＜θ＜180°)，梁Ⅰ末端的加载角为α(0≤α≤90°)。上下两梁材料分布和周期结构尺寸完全相同。声子晶体角梁是一种特殊类型的曲梁，其振动可解耦为角梁平面内振动和垂直于角梁平面的面外振动。本文主要研究面内振动，重点考察声子晶体角梁的面内二维宽频减振性能。

图1 声子晶体角梁结构示意图Fig.1 Angle-type beam of PCs

面内振动又可以分为弯曲振动和纵向振动两部分，对于每一段梁来说，如梁Ⅰ或者梁Ⅱ，面内弯曲振动和面内纵向振动是解耦的，而对于整个角梁来说，由于在梁Ⅰ，梁Ⅱ结合处存在弯曲振动和纵向振动之间的相互转化，从而将使得声子晶体角梁的总振动表现出耦合特性。

当弯曲波或纵波在单独的梁Ⅰ或梁Ⅱ中传播时，不同周期间的传递关系可写为:

不妨设在结合处梁Ⅰ为第n周期，梁Ⅱ为第1周期。根据结合处梁Ⅰ和梁Ⅱ的位移、应力、转角和弯矩等协调条件，有:

其中:K为扭转弹簧的扭转刚度，θ为梁Ⅰ与梁Ⅱ的夹角;为梁Ⅰ在X=na处Y向位移，为梁Ⅱ在X=0处Y向位移;为梁Ⅰ在X=na处X向位移，为梁Ⅱ在X=0处X向位移;为梁Ⅰ在X=na处的弯矩为梁Ⅱ在X=0处的弯矩;为梁Ⅰ在X=na处的弯角为梁Ⅱ在X=0处的弯角;为梁Ⅰ在X=na处的法向力，为梁Ⅱ在X=0处的法向力;为梁Ⅰ在X=na处的剪力，为梁Ⅱ在X=0处的剪力，即:

式(9)～(14)可进一步写成矩阵形式:

限于篇幅，此处不再列出K0和H0。

由式(1)、(2)、(15)可推得:

其中:

式(17)即为由梁Ⅰ远端传入的弯曲波和纵波在角梁中向梁Ⅱ远端传播的传递矩阵，可以看出，总传递特性不仅取决于周期结构单梁本身的传递矩阵Ta1、Tb1的共同作用，从而使得弯曲带隙和纵向带隙的作用同时发挥成为可能，同时还要受到角梁结合处耦合作用的影响，例如夹角θ和扭簧刚度K等参数的作用，进而使得整个角梁又将呈现出一些新的特征。

2 声子晶体角梁的数值分析

根据传递矩阵法分析结果，采用MATLAB7.1软件进行了数值求解。各参数设置如下:取梁Ⅰ、梁Ⅱ均为三周期，截面直径D=0.015 m，a1=0.15 m，a=0.3 m，K=1 N·m/(°)。铝的材料参数为:密度 2 799 kgm-3，弹性模量 7.21e10 Pa，泊松比 0.345 1;有机玻璃参数为:密度1 062 kgm-3，弹性模量 0.32e10 Pa，泊松比0.333 3。加载的位移幅值u0=0.001 m，加载角分别取 α =0°，α =90°，角梁夹角分别取 45°，90°，135°。六种情况的数值分析结果如图2，图3，图4所示。

图2 夹角90°扭转刚度1N·m/(°)的声子晶体角梁振动传递率曲线Fig.2 Vibration transmissibility of right-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

如图2所示，对于夹角为90°的声子晶体角梁，当加载角为0°，在0～8 000 Hz范围内形成了420～1 020 Hz，1 220 ～1 620 Hz，2 020 ～5 620 Hz，6 420 ～8 000 Hz四个带隙，在低频范围内衰减幅值也能达到-20 dB;当加载角为90°时，在0～8 000范围内形成220～620 Hz，3 220 ～5 620 Hz，6 000 ～8 000 Hz四个较大的带隙。类似地，对于45°夹角角梁，当加载角为0°，形成了2 000～5 500 Hz，6 200～8 000 Hz的带隙，当加载角为90°时形500 ～1 000 Hz，1 200～1 800 Hz，4 000 ～5 200 Hz，6 000～7 000 Hz四个带隙，如图3所示。对于135°夹角角梁，当加载角为0°，形成了2 000～5200 Hz，6 500～8 000 Hz两个带隙，当外在激扰的加载角为90°时形成500～1 000 Hz，1 200～2 200 Hz，4 000～5 300 Hz，6 000～6 800 Hz四个带隙，如图4所示。图2～4均表明了声子晶体角梁能够有效地抑制面内各种不同方向的外部激扰，因而具有良好的宽频多维减振能力。比较而言，90°夹角的声子晶体角梁的总体减振性能要优于其他两种角梁形式。

图3 夹角45°扭转刚度1 N·m/(°)的声子晶体角梁振动传递率曲线Fig.3 Vibration transmissibility of 45-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

图4 夹角135°扭转刚度1 N·m/(°)的声子晶体角梁振动传递率曲线Fig.4 Vibration transmissibility of 135-angle type beam with 1 N·m/(°)of the torsional rigidity

图5 单梁弯曲振动和纵向振动传递率曲线对比Fig.5 Comparison of transverse longitudinal vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

3 声子晶体角梁有限元仿真验证

3.1 声子晶体直梁的有限元振动分析

为了便于理解声子晶体角梁的振动带隙特性，首先对3周期的声子晶体直梁进行了有限元仿真计算。参数设置如下:

(1)材料及结构参数:与前同。

(2)网格划分:自由网格，单元类型solid186，节点数6 375，单元数1 340。

(3)加载:对于纵向振动，施加纵向位移简谐激励;对于弯曲振动，施加横向位移简谐激励。位移幅值均为0.001 m，激振频率为0～10 kHz。

(4)分析设置:谐响应分析，Full算法。

直梁弯曲振动和纵向振动的传递率曲线如图5所示。弯曲振动有5个带隙，分别为:420～920 Hz，1 320～1 920 Hz，3 700 ～4 520 Hz，5 320 ～6 220 Hz，8 920 ～10 000 Hz;纵向振动有2个带隙，分别为2 020～5 620 Hz，6 420～10 000 Hz。弯曲振动在纵向带隙频带内存在13 个传输共振峰:2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz，8 400 Hz，8 880 Hz，而纵向振动在弯曲带隙内也存在2个传输峰:5 660 Hz，6 000 Hz。显然，除了在二者有限的重合频带，声子晶体直梁并不能实现面内二维宽频减振。

3.2 声子晶体角梁的振动有限元分析

为便于对比分析，首先针对不带扭簧(直接固联)的单质铝和单质有机玻璃角梁进行了分析，结果如图6(a)所示，显然在0～8 000 Hz范围内基本上没有振动带隙，减振性能很差;其次考察了采用扭簧联接的单质角梁，图6(b)表明在单质铝角梁，单质有机玻璃角梁中引入扭簧后，表现出了一些有益的减振性能，这种减振性能主要来源于扭转弹簧、梁Ⅰ和梁Ⅱ之间形成了类似于“弹簧～振子”效应的减振结构，这种效应在低频段效果尤为明显，图6(c)给出了500 Hz以下固联和扭簧联接的组合杆减振性能对比，不难看出后者的低频减振效果有了明显增强，这与数值计算结果也是基本吻合的，事实上，由于扭簧引入后降低了系统总刚度，根据众所周知的“弹簧～振子”振动模型，低频减振性能的提高也是显然的。最后我们进一步分析了不带扭簧和带扭簧的两种声子晶体角梁情况，对比结果如图6(d)所示，显然，无论是带隙宽度还是衰减量，采用扭簧联接的声子晶体角梁都要优于直接固联的声子晶体角梁。为此，下面只重点考察扭簧联接的声子晶体角梁的振动带隙。

仿真中分别针对三种不同夹角(θ)，四种不同扭转刚度(K)的声子晶体角梁做了计算，其中，θ分别为45°，90°，135°;K分别为 0.1，1，10，100 N·m/°。各参数设置如下:

(1)材料参数:与前同。

(2)网格划分:自由网格划分，单元类型solid186，节点数10 241，单元数2 532。

(3)载荷施加:面内简谐位移激励，幅值0.001 m，激振频率 0 ～8 000 Hz，加载角度分别取0°、45°和90°。

(4)分析设置:谐响应分析，Full算法。

图6 各种角梁的振动传递率曲线对比Fig.6 Comparison of vibration transmissibility of several kinds of type beam

图7给出了90°夹角的声子晶体角梁在不同扭转刚度和加载角情况下的传递率曲线对比。图7(a)表明，当扭簧刚度从0.1逐渐增加到100时，低频区衰减量有所减小，中高频区的带隙衰减量明显减弱，但中低频区的带隙衰减基本不变。图7(b)表明，当加载角由0°增加到90°时，弯曲带隙内衰减量增大，而纵向带隙内衰减量减小，显示出弯曲振动成分开始替代纵向振动在角梁中占据了主导地位;在弯曲带隙和纵向带隙重合的部分(3 620 Hz～4 530 Hz)情况比较复杂，规律不明显;此外，当加载角从0°向90°增加时，由于两种振动成分的此消彼长，使得在纵向带隙中的弯曲波共振峰(2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz)的影响越来越显着，进而导致当加载角度趋于90°时这些峰附近的减振效果被明显削弱，反之，当加载角趋于0时，弯曲带隙中的纵波共振峰(5 660 Hz，6 000 Hz)的影响也会得到加强。总体而言，无论是何种加载角度，声子晶体角梁在弯曲带隙和纵向带隙两种带隙范围内均表现出了较好的减振能力，同时也表明了该结构在面内能够实现二维减振，从而显著优于传统的声子晶体直梁的一维、单带隙的减振性能。不仅如此，由于梁Ⅰ，梁Ⅱ之间形成了类似于“悬臂梁-振子”的结构，特别是引入扭簧后这种效应更加明显，进而使得低频区也表现出了较好的减振效果，例如在220～900 Hz范围内形成可达-40 dB的振动衰减。

图7 夹角为90°的声子晶体角梁在不同扭转刚度和不同加载角情况下的传递率曲线对比Fig.7 Vibration transmissibility of right-angle type beam with the different torsional rigidityand loading angle

图8 夹角45°的声子晶体角梁在不同扭转刚度和不同加载角情况下的传递率曲线对比Fig.8 Comparison of vibration transmissibility of 45-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

夹角45°的声子晶体角梁仿真结果如图8所示。图8(a)表明对于夹角45°声子晶体角梁，随着扭转刚度从0.1～100 N·m/(°)的逐渐增大，在0～2 000 Hz范围内，减振性能基本相同，在2 000～8 000 Hz范围内随着扭转刚度的增加减振性能逐渐减小，这一规律与90°夹角情况是一致的。类似地，图8(b)也表明，当加载角度不同时，在弯曲带隙和纵向带隙范围内仍然具有一定的减振能力，并且随着加载角的增加，弯曲带隙内的减振性能也逐渐增强，而纵向带隙内则减弱。总体来说，45°的声子晶体角梁也具有明显的二维减振性能。

夹角为135°的声子晶体角梁仿真结果如图9所示，通过对比不难发现类似的规律，此处不再赘述。

图 10 将45°，90°，135°三种夹角类型的声子晶体角梁进行了对比。图10(a)表明当加载角为0°时，在弯曲带隙范围内，夹角为90°的声子晶体角梁的减振性能明显要优于45°和135°的声子晶体角梁，在纵向带隙范围内，则稍弱一些，在弯曲带隙和纵向带隙的重合部分(3 620 Hz～4 530 Hz)差别不明显。图10(b)表明当加载角为90°时，在弯曲带隙和纵向带隙，夹角为90°的声子晶体角梁减振性能均要明显优于45°和135°声子晶体角梁。

将有限元仿真结果与前面的数值计算结果进行比较可以发现，尽管由于分析模型有一定差别(例如有限元模型在结合处引入了一根柱销来模拟转动关节)，进而导致存在一些偏离之处(例如一些共振峰的位置)，但二者所表现出的现象和规律是基本一致的，有限元结果能够验证理论分析结果。

图9 夹角135°的声子晶体角梁在不同扭转刚度和不同加载角情况下的传递率曲线对比Fig.9 Comparison of vibration transmissibility of 135-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

图10 三种声子晶体角梁在扭转刚度为1 N.m/(°)的振动传递率曲线对比Fig.10 comparison of vibration transmissibility of three kinds of angle type beam with 1N.m/(°)of the torsional rigidity

4 结论

通过对声子晶体角梁的理论分析，数值计算和有限元分析，得出了一些有益的结论:

(1)声子晶体角梁可以通过弯曲振动和纵向振动的转化，使得弯曲带隙可以被用于控制纵向激扰，纵向带隙也可以被用于抑制弯曲激扰，从而获得了宽频多维减振性能;

(2)通过引入扭簧联接能够有效地加强组成梁之间的“弹簧-振子”效应，不仅可以增加总体振动带隙的宽度和衰减量，而且提高了低频减振能力，从而使得声子晶体角梁的减振频带得到了进一步拓宽。随着扭簧刚度的增加，低频区和中高频带隙内的衰减量逐渐减弱，但中低频带隙内的衰减基本不变;

(3)声子晶体角梁的构造角度对其减振性能有明显的影响，传递率对比结果表明90°角梁减振能力明显优于45°和135°情况，因此在实际的工程运用中应尽量采用这种结构来提高减振性能;

(4)加载角对声子晶体角梁减振性能也有较大的影响。当外部激扰的加载角从0°向90°逐渐增加时，角梁内的振动由纵向振动占主导地位逐渐过渡为弯曲振动占主导地位，弯曲带隙内的衰减也随之更加显著，反之亦然，因此应根据实际振源特点(如频段和主要方向)来选择合适的安装位置以获得最佳的综合减振效果，例如可以采用最优化方法来进行优化设计。

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