基于单变量与多变量系统的模型预测控制研究

高 强，李 航

（天津理工大学自动化学院天津市复杂系统控制理论及应用重点实验室，天津300384）

0 引 言

由于连续流程工业工艺流程的不断复杂，系统非线性、强耦合性以及多变量系统的稳定控制等问题的不断突出，导致常规PID控制策略无法得到切实有效的施展。实际工业中存在的技术问题也不断的推进着理论的发展，从20世纪70年代问世以来，模型预测控制已经从最初在工业过程控制中应用发展成为一个理论丰富和实践内容较强的学科。模型预测控制在复杂工业过程中的成功应用，已充分彰显出模型预测控制技术处理复杂控制问题的优越性。本文以单容水箱控制系统以及精馏塔控制系统为例，阐述动态矩阵控制算法如何处理单变量与多变量控制系统，利用仿真技术验证动态矩阵控制算法的先进性与有效性，并利用DCS系统为平台，以上述被控系统为研究对象，就工业中动态矩阵控制器的设计与应用等问题进行详细阐述。

1 模型预测控制

模型预测控制策略在过程工业等其他领域的应用正在不断发展与扩大。其广泛应用的主要原因是：与常规控制策略相比，模型预测控制表现出更优异的控制效果；模型预测控制以被控系统预测模型为基础，采用滚动优化与反馈校正相结合方式，使被控系统以最快的时间达到稳定运行；模型预测控制算法引入了执行器的约束条件；模型预测控制算法在解决被控系统的非线性、强耦合等复杂问题具有显著效果。在模型预测控制算法中以动态矩阵控制算法为基础核心。

1.1 动态矩阵控制 （DMC）

动态矩阵控制算法是一种基于被控系统阶跃响应为预测模型，以优化指标来决定控制策略的预测控制算法。动态矩阵控制算法适用于渐进稳定的系统。然而对于实际系统的被控变量存在震荡特性 （机械运动控制系统）与积分特性 （过程液位控制系统）而言，若利用动态矩阵控制算法，则首先需要采用常规PID控制策略对其加以控制使之稳定。换句话说就是利用动态矩阵控制器作为主控制器去指导下属的PID控制器，使系统达到稳定值。

1.2 阶跃响应模型预测

动态矩阵控制算法中的预测模型是基于对被控系统施加阶跃信号，观察系统的阶跃响应而得到的非参数模型的基础上开展的。

1.3 滚动优化

动态矩阵控制算法以预测模型作为约束条件，利用优化性能指标，在每一时刻提出优化后一系列控制增量，并采用当前时刻的控制增量作用于被控系统中，到下一时刻继续优化控制增量。

1.4 反馈校正

为防止预测模型的输出值偏离被控系统的实际输出值，导致下一时刻优化的控制增量在错误的基础上而提出的。动态矩阵控制算法利用反馈校正，在每一时刻修正预测输出，保证优化的控制增量正确实施于被控系统中，使被控变量达到设定值并稳定。

2 单变量系统的动态矩阵控制

单容水箱作为典型的单入单出 （SISO）控制系统，其中针对水箱的液位控制可以说是过程控制的研究基础与重点。此外，一些高级控制算法，例如模糊控制、神经网络控制技术也对单容水箱的液位控制做了许多研究，取得了显著的效果。因此，本文对单变量系统的动态矩阵控制研究采用单容水箱作为被控对象，以其液位作为被控变量。分别从系统仿真以及实际控制这两方面阐述动态矩阵控制算法在处理单变量系统的先进性与实用性。

2.1 单变量系统预测模型

动态矩阵控制在获得单入单出 （SISO）系统的预测模型方面，是通过对系统的阶跃响应提供的非参数模型而得到的。对被控系统输入端施加阶跃信号，采集被控系统输出端的响应输出，直至系统趋于稳定为止。被控系统的阶跃响应采样值为

式中：T——阶跃响应的采样周期，βi——系统阶跃响应在该时刻的幅值。对于动态矩阵控制算法而言，要求被控系统的阶跃响应在某一时刻tN＝NT之后趋于稳定。因此，利用被控系统阶跃响应而得到的非参数模型可利用有限集合表示为

式 （2）提供的有限集合完全描述了被控系统的阶跃响应信息。对于单变量系统的动态矩阵控制算法所需的预测模型以向量

作为模型向量，N作为模型的时域，也称为模型的长度。

以被控系统阶跃响应而提供的非参数模型为基础可以预测出系统在未来时刻的输出值。在k时刻起通过控制增量△u，就可以得出在该控制增量下未来N个时刻系统的输出值

而动态矩阵控制算法中的控制时域M作为一个重要参数，通常不可能只采用一个控制增量去承担全部优化时域的控制要求。因此，在假设M个控制增量作用于被控系统中后，被控系统的预测输出为：

2.2 单变量系统滚动优化

动态矩阵控制是一种利用优化性能指标决定控制策略的算法，优化性能指标为

式中：qi、rj——优化性能指标的加权系数，分别表示对跟踪误差及控制作用变化的抑制。性能指标的向量形式为

式 （7）中wp（k）＝ ［w（k＋1），....，w（k＋P）］T，Q＝diag（q1，....，qP），为误差加权矩阵；R ＝diag（r1，.....rM），为控制加权矩阵。

在每一个时刻k，都要从该时刻起利用优化性能指标确定出M个控制增量

将计算得到的M个控制增量利用式 （5）的单变量系统预测模型计算出被控系统从k时刻起的预测输出，从而确保被控系统的预测输出尽可能的接近系统的设定值。

动态矩阵控制可以理解为以控制增量

为优化变量，利用以被控系统的阶跃响应而得到的预测模型为基础，使优化性能指标达到最小的问题。按照中这个思路，可得到

其中有限集合

作为动态矩阵控制的优化控制增量。然而，动态矩阵控制算法并不将利用优化性能指标而得到的M个控制增量全部施加于被控系统中，而是取当前时刻的控制增量△u（k）作为系统的控制增量。利用

施加于被控系统中，其中Δu的表达公式为

称为控制向量。待被控系统运行到下一时刻，结合下述反馈校正环节，再次根据预测模型，利用优化性能指标计算出当前时刻的优化控制增量△UM（k＋1），仍然只取当前时刻的控制增量施加于被控系统中，如此反复执行，实现动态矩阵控制的滚动优化。

2.3 单变量系统反馈校正

在k时刻将优化后得到的控制增量△u（k）施加于被控系统中，相当于对被控系统施加一个阶跃信号，利用预测模型 （5）可以得到在该控制增量作用下的预测输出

为了弥补这一问题，动态矩阵控制将优化后的控制增量△u（k）施加于被控系统后，到下一采样时刻首先会采集被控系统的实际输出值y（k＋1），并将其与在控制增量作用下的预测输出进行比较，得出输出误差

动态矩阵控制算法的反馈校正并不是对预测模型进行修正，而是采用对误差e（k＋1）加权的方式修正对未来输出的预测

其中

动态矩阵控制算法就是利用预测模型作为约束条件，利用优化性能指标将滚动优化与反馈校正相结合反复在线运算提出每一时刻的优化控制增量△u（k），使系统的被控变量不断趋近与系统的设定值并保持稳定。

2.4 控制系统仿真研究

动态矩阵控制效果仿真研究中，采用的单容水箱数学模型是通过机理建模而得到的，不仅考虑了单容水箱输入与输出的动态平衡关系，同时也引入了电机与水泵的数学模型，最终得到的系统传递函数为

以该系统的传递函数为基础，分别采用经典控制理论中的PID控制策略与模型预测控制中的动态矩阵控制算法进行控制仿真，其效果如图1，图2所示。

从图1、图2中可明显发现，针对单变量控制系统而言，动态矩阵控制算法比PID控制策略具有更好的控制效果，被控系统的超调量与调节时间均得到改善。

这里的动态矩阵控制所采用的调节参数见表1。

表1 动态矩阵控制调节参数

2.5 单变量系统动态矩阵控制工程实现

本文对于单变量控制系统的动态矩阵控制研究采用单容水箱作为被控对象。动态矩阵控制器的开发与应用是基于西门子PCS7的DCS系统进行研究的。

2.5.1 单容水箱系统的过程辨识

从理论分析得知，动态矩阵控制所需的预测模型是以被控系统阶跃响应而提供的非参数模型基础上获得的。因此，在设计动态矩阵控制器时，首先需要获得被控系统的阶跃响应数据。利用DCS系统的过程数据采集系统，以1s作为采样周期，实时采集被控系统的操作变量与被控变量。如图3所示。

图3 单容水箱阶跃响应采集

DCS系统对被控对象的阶跃响应进行数据采集，利用阶跃响应辨识系统的非参数模型。辨识后的模型输出应与被控系统的实际输出基本保持一致，如图4所示。

2.5.2 动态矩阵控制器调节参数

利用辨识模型可得到动态矩阵控制算法所需的预测模型，以预测模型为约束，调节参数的不同所表现的控制效果也不同。针对单容水箱的动态矩阵控制器调节参数见表2。

表2 动态矩阵控制器调节参数

图4 单容水箱系统辨识精确度

利用表2提供的动态矩阵控制器调节参数，结合系统辨识后得到的预测模型，对单容水箱被控对象的仿真控制效果如图5所示。

图5 单容水箱仿真控制效果

2.5.3 实际系统控制效果

利用DCS系统采样后得到的非参数模型，得到动态矩阵控制器所需的预测模型，并结合上述调节参数，动态矩阵控制器将滚动优化与反馈校正相结合，对单容水箱的实际控制效果如图6所示。

图6 单容水箱动态矩阵控制效果

3 多变量系统的动态矩阵控制

精馏塔在过程控制中作为一个典型的多入多处 （MIMO）控制系统，并且也常常作为模型预测控制技术的研究对象，本文以精馏塔作为动态矩阵控制的研究对象，通过对精馏塔进行数学建模，利用仿真验证动态矩阵控制算法在处理多变量系统的优越性。同时，以DCS系统为平台，设计动态矩阵控制器，应用与精馏塔控制系统中，验证其效果。阐述动态矩阵控制算法在处理多变量系统的理论步骤以及工程应用。

3.1 多变量系统预测模型

对于多入多出系统 （MIMO），动态矩阵控制算法仍然采用该被控系统的阶跃响应提供的非参数做模型为基础，得到预测模型。在获得多变量系统的阶跃响应信息方面，应逐一的对输入端施加阶跃信号，分别观察每一个输出端的阶跃响应，直到所有输出响应趋于稳定为止。例如，对被控制系统的输入端x施加阶跃信号，在k时刻观察被控系统所有输出端的阶跃响应为

因此，在对每一个输入端逐一施加阶跃信号后，观察每一个输出端的阶跃响应，可利用矩阵形式提出多变量系统的非参数模型

利用多入多出系统的非参数模型可以得到动态矩阵控制算法所需的预测模型为

3.2 多变量系统滚动优化

多变量系统的滚动优化方式与单变量系统相类似，多变量系统的滚动优化要求系统每一个输出yi在未来P个优化时域内，尽量趋近于系统设定值wi，并对M个控制作用增量的大小加以软约束。其优化性能指标

其中

其中误差加权矩阵Q中各个块Q1，….Qp对应着不同的输出，而Qi中的元素对应着yi在不同时刻的跟踪误差。同样，控制作用加权矩阵R中各个块R1，…，Rm对应着不同的控制输入，而Rj中的元素对应着uj在不同时刻的控制作用增量的抑制。所以矩阵Q和R中的每一个元素都对被控系统的在动态矩阵控制作用下的控制效果起到重要的决定作用。

通过上述介绍的多变量系统的预测模型 （式 （20）），利用优化性能指标 （式 （21））可以得出在当前时刻的M个被优化后的控制增量

根据之前所阐述的单入单出系统的滚动优化概念，对于多变量控制系统同样采用当前时刻k的控制增量

施加于被控系统中，其中

3.3 多变量系统反馈校正

多变量系统的反馈校正与单变量系统类似，在k时刻控制增量作用于被控系统后，到下一时刻，动态矩阵控制算法需对被控系统的实际输出值与各个预测输出值进行比较，构成输出误差向量

同样采用对误差向量加权的方式修正模型的预测输出值，以此补偿基于模型的预测

H称为误差校正矩阵，通常只采用误差校正向量的主对角块，也就是用各输出值的误差通过加权修正预测输出值。同样，k＋1时刻的校正预测输出值通过移位成为该时刻预测模型的初始值参与滚动优化工作。

3.4 控制系统仿真研究

本文利用精馏塔数学模型对多变量动态矩阵控制算法的控制效果进行仿真，验证动态矩阵控制技术在处理多变量非线性系统的控制问题上表现出的优越性。

精馏塔的数学模型为

输出y1，y2分别代表精馏塔的轻馏分与重馏分，u1，u2以及u3分别代表精馏塔蒸发器流量、回流冷凝器流量以及进料的干扰量。精馏塔数学模型由六组一阶惯性加滞后环节组成，每个输出量分别由每个输入量结合该控制通道的传递函数现行叠加组成，即

通过仿真可以发现，动态矩阵控制在处理多变量系统中所具有的优势，其针对精馏塔被控系统的动态矩阵控制效果如图7所示。

这里的多变量系统动态矩阵控制所采用的调节参数见表3。

表3 动态矩阵控制器调节参数

3.5 多变量系统动态矩阵控制工程实现

对多变量系统的动态矩阵控制器的设计与应用同样基于DCS系统平台而研究的。

3.5.1 精馏塔系统过程辨识

以多变量控制系统的动态矩阵控制算法仍然是在以被控系统的阶跃响应而得到的非参数模型基础上得到预测模型的。然而在获取被控系统的阶跃响应时，与单入单出系统有所不同。根据上述对多变量系统的预测模型研究中可以发现，如要获得多变量系统的阶跃响应需对被控系统的每一个输入端分别施加阶跃信号，待所有输出端变量趋于稳定为止。对于获取多变量系统的阶跃响应数据，同样采用DCS的过程数据采集系统，以1s作为采样周期来完成的，如图9所示。

图9 精馏塔阶跃响应采集

对多变量系统进行阶跃响应信息采集后，得到的模型输出应与被控系统实际输出响应保持一直，这样得到的模型才可以保证其精度。多变量系统的模型输出与被控系统实际输出如图10所示。

图10 精馏塔系统辨识精确度

3.5.2 动态矩阵控制器调节参数

以被控系统的阶跃响应提供的非参数模型为基础得到动态矩阵控制算法所需的预测模型。由上述动态矩阵控制算法处理过程可发现，参数P，M，Q，R对动态矩阵控制算法的控制效果起到重要作用，具体参数见表4。

表4 动态矩阵控制器调节参数

利用表4提供的动态矩阵控制调节参数，对精馏塔提出的动态矩阵控制算法仿真效果如图11所示。

图11 精馏塔仿真控制效果

3.5.3 精馏塔系统实际控制效果

对精馏塔控制系统采用上述设计的动态矩阵控制算法实现的实际控制效果如图12所示。

4 结束语

通过仿真与实际控制效果中发现，模型预测控制中在处理单变量系统中具有比常规PID控制策略更好的控制效果，在解决多变量系统，尤其是变量之间存在严重耦合现象的控制问题中也具有明显的优势。

然而模型预测控制中的动态矩阵控制算法所需的计算量较大并且适用于渐进稳定的慢动态过程，在处理快速性系统的控制问题中表现欠佳，从而限制了该算法在运动控制系统中的应用。

图12 精馏塔动态矩阵控制效果

从实际应用角度考虑，模型预测控制器的设计与实现较为复杂，在数据采集、系统辨识、算法运算上会面临诸多困难，某些方面仍需借助国外的先进控制软件。为解决这几方面的问题仍需专家与学者继续深入研究。

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