具有1个鞍点和2个不稳定鞍焦点的新混沌系统＊

吴先明

（吉首大学信息科学与工程学院，湖南吉首 416000）

具有1个鞍点和2个不稳定鞍焦点的新混沌系统＊

吴先明

（吉首大学信息科学与工程学院，湖南吉首 416000）

提出了一个具有1个鞍点和2个不稳定鞍焦点的新混沌系统，分析了该系统平衡点的稳定性，以及系统参数对系统的Lyapunov指数谱和分岔图的影响.Matlab仿真结果表明，新混沌系统确实存在混沌吸引子.

混沌；Lyapunov指数；分岔图

在Lorenz E N［1］发现了第1个三维混沌系统之后，新混沌的发现引起了广大学者的研究兴趣，如Chen系统、Lü系统、Liu系统等［3－7］.根据文献［8］的定义，一个系统可表达为一个常系数矩阵A＝（aij）3x3和非线性部分，根据a12和a21乘积值可以将Lorenz系统、Chen系统、Lü系统分为3类，即Lorenz系统（a12a21＞0）、Lü系统（a12a21＝0）、Chen系统（a12a21＜0）.后来用电路实现了这些新混沌系统［8－11］.

文中提出了一个新三维自治混沌系统，与Lorenz系统相比，该系统有6个项，其中系数为1的二次项2个，第2个微分表达式减少1个线性y项.笔者分析了该系统平衡点的稳定性，以及系统参数对系统的Lyapunov指数谱和分岔图的影响.

1 新混沌系统

提出了一个新混沌系统，其表达式如下：

其中a，b，c是常数.当a＝6，b＝1，c＝9，初始值x＝－1，y＝1，z＝7时，新系统（1）处于混沌状态，Matlab数值仿真结果如图1—4所示.

图1 三维相图

图2 xy相图

图3 xz相图

图4 yz相图

2 新混沌系统的一些基本特性

2.1 对称性和不变性

系统（1）关于z轴对称；对参数a，b，c取任意值，系统（1）都是关于z轴对称.

2.2 耗散性和吸引子的存在性

对于新系统（1）的耗散性可用如下表达式来描述：

当a＝6，b＝1，c＝9时，h＝－7.由此可知，系统（1）是耗散的，但系统（1）是收敛的，其收敛指数为

即体积元V（0）在时间t时收缩变成体积元V（0）e－（a＋b）t.

2.3 平衡点的稳定分析

令y－x＝0，cx－xz＝0，－bz＋xy＝0.由系统（1）可知，若系统具有对称性，则可得3个平衡点：O（0，0，0），E＋（x1，y1，z1），E-（－x1，－y1，z1）.当a＝6，b＝1，c＝9时，可得到系统（1）的3个平衡点分别为O（0，0，0），E＋（3，3，9），E-（－3，－3，9）.

在平衡点O（0，0，0），可得系统的Jacobian矩阵为

在平衡点O（0，0，0）对系统（1）进行线性化，则可得矩阵的特征值方程为

由（2）式可得3个特征值，它们分别为λ1＝－10.937 3，λ2＝4.937 3，λ3＝－1.0000，其中λ1，λ3是负实数，λ2是正实数.从3个特征值的值可知，平衡点O（0，0，0）是一个不稳定的点，即鞍点.

在平衡点E＋（3，3，9）可得系统的Jacobian矩阵为

在平衡点E＋（3，3，9）对系统（1）进行线性化，则可得矩阵的特征值方程为

由（3）式可得3个特征值，它们分别为λ1＝－7.046 4，λ2＝0.232＋3.914 9i，λ3＝0.232－3.914 9i，其中λ2，λ3是复数，λ1是负实数.从3个特征值的值可知，E＋（3，3，9）是一个不稳定的点，即鞍点.

因新混沌系统具有对称性，其特性在平衡点E-（－3，－3，9）与平衡点E＋（3，3，9）相同，即E-（－3，－3，9）也是一个不稳定的点，即鞍点.

从以上分析可知，新混沌系统具有1个鞍点和2个不稳定鞍焦点.

2.4 Lyapunov指数和分岔图分析

由于系统（1）的最大Lyapunov指数是正数，其Lyapunov维数是非整数，因此系统（1）是混沌的.

考虑到参数a，b，c对系统（1）动力学特性的影响，参数a，b，c与系统（1）的Lyapunove指数和分岔图的关系有如下情形：

情形1 当b＝1，c＝9，a在［0，10］变化时，系统的分岔图和Lyapunov指数分别为如图5，6所示.

图5 系统（1）在情形1的分岔图

图6 系统（1）在情形1的Lyapunov指数变化曲线

从图5，6可知，当0.1＜a＜1.113，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统会聚于平衡点，即系统是稳定的；当113≤a≤1.114时，系统有许多圆周轨道；当1.114＜a≤8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统是混沌的；当8＜a≤8.7时，系统有一个涡卷吸引子；当8.7＜a≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统是稳定的.

情形2 当a＝6，c＝9，b在［0，10］变化时，系统（1）的分岔图和Lyapunov指数分别为如图7，8所示.

图7 系统（1）在情形2的分岔图

图8 系统（1）在情形2的Lyapunov指数变化曲线

从图7，8可知，当0.049＜b＜0.4时，系统是一个圆周；当0.4≤a≤1.8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统是混沌的；当b＝1.81时，系统有1个涡卷吸引子；当1.81＜b≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统是稳定的.

情形3 当a＝6，b＝1，c在［0－20］变化时，系统（1）的分岔图和Lyapunov指数分别为如图9，10所示.

图9 系统（1）在情形3的分岔图

图10 系统（1）在情形3的Lyapunov指数变化曲线

从图9，10可知，当0.1＜c＜7.4时，系统是稳定的；当7.4≤c≤20，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0时，系统是混沌的.

从以上分析可知，只有参数a，b，c取一定值时，系统（1）才存在混沌吸引子.

3 结语

提出了一个新混沌系统，分析了该系统平衡点的稳定性，以及系统参数对系统的Lyapunov指数谱和分岔图的影响.研究结果表明，新混沌系统确实存在混沌吸引子.

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［3］ CHEN Guan-rong，UETA T.Yet Another Chaotic Attractor［J］.Int.J.Bifur.Chaos，1999（9）：1 465－1 466.

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［9］ LI Xian-feng，CHU Yan-dong，ZHANG Jian-gang，et al.Nonlinear Dynamics and Circuit Implementation for a New Lorenz-Like Attractor［J］.Chaos，Solit.Fract.，2009，41：2 360－2 370.

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［11］ ZHANG Chao-xia，YU Si-min，CHEN Guan-rong.Design and Implementation of Compound Chaotic Attractors［J］.Int.J.Bifur.Chaos，2012，22（5）：1 250 120.

（责任编辑 陈炳权）

New Chaotic System with One Saddle and Two Unstable Saddle-Foci

WU Xian-ming
（College of Information Science and Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China）

A new chaotic system with a saddle and two unstable saddle-foci is proposed in this paper.The equilibria stability and the relationship between a，b，c of the system and Lyapunov exponents and bifurcation diagrams are analyzed.The numerical simulation is performed in Matlab，and the results show that the new system is chaotic.

Chaos；Lyapunov exponent；bifurcation diagram

O415.5；TP271.62

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.008

1007－2985（2013）06－0026－04

2013－08－12

湖南省教育厅科学研究资助项目（10C1086）

吴先明（1972－），男（苗族），湖南保靖人，吉首大学信息科学与工程学院副教授，湖南大学电气与信息工程学院博士生，主要从事模拟集成电路、滤波器、混沌理论研究.