采用隐性卡尔曼滤波器的自适应子结构试验方法

王 涛，张 健，吴 斌

（1．哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150090；2．黑龙江科技学院建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150027）

引 言

传统的结构抗震试验可分为拟静力试验、振动台试验和拟动力试验。拟静力试验技术简单、稳定，但是其不考虑地震作用对结构的影响。振动台试验能够重现地震动，可以真实地反映地震对结构的作用，但是由于振动台承载能力及尺寸的限制，往往无法进行大尺度结构试验。由于小尺度结构模型的动力相似律很难得到满足，尤其是在弹塑性范围内，试验结果往往很难推广到原型结构中去［1］。

拟动力试验通过理论计算来考虑结构惯性力和阻尼力的影响，对结构进行慢速加载试验测量结构的恢复力。拟动力试验解决了理论分析计算中恢复力模型及参数难以确定的困难，可以获得结构体系的真实反应特征，同时又比振动台试验更经济，对试验装置要求较低，更易实现。子结构拟动力试验技术对结构的关键部位进行足尺实验或大尺度实验，其他部位用计算机进行模拟，降低了试验费用。

传统的子结构试验中数值子结构采用线弹性假定或事先假定的恢复力模型。假定恢复力模型与真实恢复力特性可能存在较大差异，这种差异可能引入较大的额外试验误差。当数值子结构中包含与试验子结构相同的结构或构件时，可以利用试验子结构试验观测数据在线预测或修正相应的数值子结构模型，将这种改进的试验方法称为自适应子结构试验方法。Yang等人提出根据试验子结构的数据在线训练恢复力神经网络，并用预测数值子结构的恢复力［2］。

研究发现，采用神经网络预测结构恢复力时，可能存在恢复力误差均值的偏差。而非线性结构对于恢复力误差均值的偏差比误差标准差更敏感，微小的误差均值偏差可能导致非线性结构位移反应很大的差异［3］。

除了可以通过神经网络方法预测数值子结构恢复力外，还可以通过参数识别方法（比如隐性卡尔曼滤波器），在线识别恢复力模型参数。本文提出基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构试验方法，该方法核心思想是在子结构试验过程中，通过观测试验子结构恢复力，采用隐性卡尔曼滤波器在线识别试验子结构模型参数，实时更新与试验子结构相同的数值子结构恢复力模型参数。通过数值仿真研究该方法的精度。

1 隐性卡尔曼滤波器的基本原理

1995年，Julier和Uhlmann基于经典卡尔曼滤波器提出了隐性卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）［4］，并将它应用于非线性系统状态估计中［5］。隐性卡尔曼滤波器假定系统的状态量及噪声符合高斯分布，采用确定性采样方法产生第k步状态量的样本点（σ点），然后由系统状态方程得到k＋1步状态量的样本点，通过统计方法计算得到第k＋1步状态量的均值、方差和协方差。这个计算过程就称之为隐性变换（Unscented Transformation）［5］。确定k＋1步状态量的均值、协方差后，通过经典卡尔曼滤波器更新方程就可求得状态量的后验条件概率分布均值及协方差，其中条件均值即k＋1步状态量的估计值［6］，具体过程如下。

设所考虑的问题可写成如下离散形式的状态方程和观测方程

式中xk∈Rn为n维随机状态向量；uk为系统输入；yk＋1∈Rm为m维随机观测向量；vk～N（0，Qk）为过程高斯白噪声，wk＋1～N（0，Rk＋1）为观测高斯白噪声，Qk和Rk＋1分别为过程噪声和观测噪声协方差矩阵。隐性卡尔曼滤波算法分为预测步和更新步，具体步骤如下［6］：

（1）预测步：即在不考虑第k＋1步观测值的情况下，根据状态方程通过UT变换得到第k＋1步状态xk＋1估计的均值mk－和协方差Pk－。首先按下式确定第k步系统状态xk的2n＋1个样本点

然后按式（5），（6）计算预测状态的均值和协方差［7］

式（5），（6）中的权重向量Wm及权重矩阵W由下式确定

常数α，κ为该方法中与状态概率分布类型有关的参数，α决定了样本点在均值周围的分布［8］。UT变换可使自变量和因变量的均值和方差至少达到泰勒展式的二阶精度［9］。对于不同的概率分布，权值和λ合理的取值，均值和方差的精度可以达到更高。α，β和κ的具体定义及意义参见文献［8］。当协方差权值均取非负数时，可以保证状态量的协方差矩阵为半正定矩阵。

（2）更新步：根据观测方程通过UT变换得到观测量的均值、协方差矩阵，以及观测量与状态量的互协方差矩阵；然后利用Kalman更新方程计算k＋1步状态估计均值和协方差。

计算滤波增益Kk＋1以及更新的状态估计均值mk＋1和协方差Pk＋1

式中yk＋1为第k＋1步的观测。

2 双折线恢复力模型参数在线识别

双折线恢复力模型增量形式可表示成下式

式中Rk为恢复力；f（θk，uk，tk）为结构恢复力增量函数，与模型参数和加载历程有关；θk为恢复力模型的 参 数 向 量，θk＝ ［k1，kk2，kRy，k］T，式 中k1，k，k2，k和Ry，k分别为结构第一、第二刚度及 屈 服力；f（θk，uk，tk）＝kkuk＝kk［x（tk＋Δt）－x（tk）］，式中kk应根据滞回阶段取k1，k或k2，k，而滞回阶段不仅与位移有关，还与屈服力有关。

下面以一算例说明隐性卡尔曼滤波方法的识别效果。真实结构恢复力模型参数分别为：第一刚度40 000kN／m，第二刚度1 000kN／m，屈服力400 kN。对结构进行位移控制加载，作用于结构的位移命令选用El Centro（1940，NS）的地面运动位移记录，位移峰值为5cm。滤波器参数设置为α＝1，β＝0，κ＝0。利用隐性卡尔曼滤波在线识别双折线恢复力模型参数时，设系统状态为xk＝［Rkk1，kk2，k Ry，k］T，结构的状态方程和观测方程分别为

噪声协方差矩阵，结构状态量初始状态的均值m0和协方差矩阵P0如下：

采用Intel双核CPU（2．33GHz）的普通台式计算机，数值仿真耗时6．20s，结果如图1～5所示。从图1和2的仿真结果可以看出，在线识别预测得到的结构恢复力与真实值十分接近，两者几乎重合。从图3～5的结构恢复力模型参数识别时程曲线可以看出，隐性卡尔曼滤波可以快速地识别出结构的恢复力模型参数，所识别出的结果与真实值相差均不超过1%，具有很高的精度。另外，在仿真时观测量恢复力中加入了观测噪声，证明该方法对折线型恢复力模型参数在线识别也具有很好的鲁棒性。经仿真分析发现，隐性卡尔曼滤波对于状态方程初始状态量的协方差矩阵值比较敏感。当初始状态量的协方差矩阵取为主对角矩阵时，隐性卡尔曼滤波相应参数识别效果主要与初始状态量协方差矩阵中对应主元素绝对值有关，与其他值关联不大。

图1 结构滞回曲线Fig．1 Structure hysteretic curves

图2 恢复力时程曲线Fig．2 Time history curves of restoring force

图3 第一刚度识别时程曲线Fig．3 Time history curves of the first stiffness identification

图4 第二刚度识别时程曲线Fig．4 Time history curves of the second stiffness identification

图5 屈服力识别时程曲线Fig．5 Time history curves of the yield force identification

3 基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构拟动力试验方法

从第2节算例可以看出，隐性卡尔曼滤波能快速准确地识别出结构的恢复力模型参数。因此本文将隐性卡尔曼滤波应用于子结构试验中，提出了基于隐性卡尔曼滤波器自适应子结构试验方法。该方法的具体步骤如下所示：

（1）初始化。建立试验子结构恢复力参数识别的状态方程及观测方程，根据经验确定系统噪声、观测噪声协方差矩阵，结构系统初始状态量的均值及协方差矩阵。

（2）利用数值积分方法计算出数值子结构的位移，把位移命令发送给作动器。

（3）对试验子结构进行加载，将测得的观测量（恢复力）传递给结构模型识别模块。

（4）利用隐性卡尔曼滤波及测得的观测量对试验子结构恢复力模型参数进行在线识别，根据识别结果更新数值子结构相应恢复力模型参数。

（5）转至第（2）步，直至试验结束。

下面对图6所示两层带支撑框架结构进行自适应子结构拟动力试验的数值仿真，检验基于隐性卡尔曼滤波子结构试验方法的性能。

图中下层层间支撑作为试验子结构，其他部位作为数值子结构。框架下层及上层结构的质量分别为MN1＝MN2＝2 000t，刚度分别为KN1＝KN2＝80 000kN／m，阻尼系数分别为CN1＝CN2＝1 550 kN／（m／s）。上下层结构层间支撑均采用 Bouc－Wen模型，其表达式如下

假定下层试验子结构支撑模型参数取值为kb＝40 000kN／m，β＝60，γ＝40，n＝1．1。支撑与楼面的夹角均为28．81°。地震动选取 El Centro（1940，NS）地震记录，地震动峰值加速度为4m／s2。数值积分算法采用4阶Runge－Kutta方法，积分时间步长为0．01s。

在自适应试验中，利用UKF识别试验子结构支撑的刚度kb以及滞回参数β，γ和n，并实时更新数值子结构支撑模型参数。观测量选用试验子结构的恢复力。试验子结构的状态方程和观测方程分别为下式所示

式中˙x′为试验支撑加载速度，第k步加载速度˙x′k可以根据试验子结构位移加载命令差分得到。试验子结构状态量的初始均值m0、协方差矩阵P0和过程噪声的方差矩阵Qk如下式所示。

图6 支撑结构子结构试验示意图Fig．6 Schematic of the substructure testing for the frame－brace structure

在观测向量中加入协方差为恢复力真实值标准差1%的观测高斯白噪声。由于位移相关型子结构试验中的试验子结构的状态方程中不存在阻尼，且状态量之间的联系相对较差，因此抗噪能力相对较差。当观测量加入较大噪声时有时会出现计算发散。自适应子结构试验仿真耗时7．01s，试验仿真结果如图7～14所示。

图7 下层结构层间位移时程曲线Fig．7 Time history curves of the lower structure interstory displacement

图8 上层结构层间位移时程曲线Fig．8 Time history curves of the upper structure interstory displacement

传统子结构试验数值子结构中支撑恢复力模型采用Bouc－Wen模型，模型参数采用自适应子结构试验中试验子结构模型参数估计初始值，分别为kb＝50 000kN／m，β＝40，γ＝50，n＝2。从图7～10可以看出，位移相关型自适应子结构试验结果与结构真实反应基本吻合，较传统子结构试验结果有很大改善。由于数值子结构中支撑恢复力模型的初始参数与实际值差别较大，在传统子结构试验仿真中，数值子结构仍基本处于线性段，未进入非线性。从图11～14可以看出自适应子结构试验可以很快地准确地识别出结构刚度k和恢复力模型参数n，恢复力模型参数β和γ也很快趋近于真实值。虽然β和γ最终值与真实值有一定的差异，但对试验精度并无太大影响。

图10 上层支撑滞回曲线Fig．10 Hysteretic curves of upper brace

图11 刚度识别时程曲线Fig．11 Time history curves of the stiffness identification

图12 β识别时程曲线Fig．12 Time history curves ofβidentification

图13 γ识别时程曲线Fig．13 Time history curves ofγidentification

图14 n识别时程曲线Fig．14 Time history curves of nidentification

4 结 论

本文利用隐性卡尔曼滤波在线识别结构的恢复力模型参数，并提出了基于隐性卡尔曼滤波在线识别的自适应子结构试验方法，对两层框架支撑结构进行了试验仿真分析。结果表明基于隐性卡尔曼滤波的恢复力模型参数在线识别方法具有较好的精度和收敛速度，且耗时较短。基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构试验方法与传统子结构试验方法相比，其结构反应更接近真实值。

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