广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性*

白定勇，左敏贤

(广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室 (广州大学)，广东广州 510006)

考虑如下边值问题

其中，λ是个正参数。记R=(－∞，∞)，R+=［0，∞)。我们假设:

(A1)φ:R→R是单调递增的奇同胚映射，且存在从(0，∞)到(0，∞)上的单调递增同胚映射ψ1和ψ2，使得ψ1(x)φ(y)≤φ(xy)≤ψ2(x)φ(y)，x，y＞0;

(A2)F:(0，1)×R+→R+连续，且存在函数f∈C(R+，R+)及 α1，α2∈C((0，1);R+)，使得

其中，α1，α2满足:

函数 φ(u′)包含两种重要情形:φ(u′)=u′和φ(u′)=|u′|p－2u′，p＞1 。当 φ(u′)=u′时，问题(1)是如下熟知的二阶常微分方程边值问题:

关于问题 (2)正解的存在性和多解性研究已有大量文献，参见文 ［1 －5］。若 φ(u′)=|u′|p－2u′，p＞1，记为 φp(u′)，则问题 (1)是一维p-Laplace边值问题:

近年来，一维p-Laplace边值问题 (3)的正解得到人们的广泛关注，对其研究也日益深入。Agarwal等［6］讨论了问题 (3)特征值集合的结构及正解的存在性与多解性，得到了丰富而有意义的结果。此外，还可参见文［7－14］及其参考文献对一维p-Laplace含参边值问题的研究。但是，对于广义p-Laplace边值问题的研究相对较少［15－19］。Wang［15］利用锥上的不动点指数定理研究了广义p-Laplace问题 (1)正解及多个正解的存在性，给出了参数 λ 的显式开区间，其中F(t，u)=a(t)f(u)，a∈C(［0，1］;R+)，f∈ C(R+;R+)。文［15］对多个正解的研究中，其基本假设条件是非线性项f在右正半轴u＞0上恒正，即f(u)＞0对∀u＞0成立。在文 ［16］中，Bai和Xu讨论了含时滞的多参数广义p-Laplace问题，在多解性研究中同样要求非线性项在右正半轴上恒正。另外，O'Regan等［7］对一维p-Laplace含参系统多个径向正解的研究中，其基本条件亦是如此。本文受文［6－7，15－16］的启发，研究参数λ的特征区间，讨论问题 (1)正解的存在性与多解性。本文的主要结果不仅推广了一维p-Laplace的情形，而且多解性结果改进了文 ［7，15－16］要求非线性项在右正半轴恒正的基本假设条件，允许非线性项在右正半轴的某些子集上恒为零。

1 准备工作

易证，q(t)是[δ，1－δ]上的正值连续函数。我们记L=min{q(t):t∈[δ，1－δ]}。

引理1［15］假设条件 (A1)成立，则对所有的x，y＞0 ，有

利用凹函数的性质容易证明下面的引理，亦可参见文 ［16］。

K={y∈X:y是［0，1］上的非负凹函数}定义算子Tλ:K→X

其中，σ∈(0，1)是方程Γu(t)=0，0≤t≤1的解。这里，映射Γ:K→C［0，1］定义为

由文 ［15］的讨论知算子Tλ有定义。显然

在 (0，1)上 连 续 非 增，(Tλu)/(σ)=0，且(φ((Tλu)/(t)))/=－λF(t，u(t))，t∈ (0，1)。所以Tλ(K)⊂K，且Tλ在K中的正不动点就是问题(1)的正解。另外，易证Tλ:K→K紧连续。

本文的主要工具是如下不动点定理［20］。

引理3［20］令X是Banach空间，K⊂X为X中的一个锥，Ω1，Ω2是X中的开子集，且0∈Ω1，⊂Ω2。算子T:K∩Ω1)→K是一个连续紧算子。若下列情形之一满足:

(i)‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，且‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2;

(ii)‖Tu‖ ≥ ‖u‖，u∈K∩ ∂Ω1，且‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2。

则T在K∩Ω1)中至少有一不动点。

2 正解的存在性与多解性

记

下面叙述本文的主要结果及其证明。首先我们讨论问题 (1)至少一个正解的存在性。

其中

同样有

从而 ‖Tλu‖ ≥L·(λ(f∞－ε))·δ‖u‖ ≥‖u‖。类似地 ，若σ＞1－δ，有

若σ＜δ，有

所以，对u∈K∩∂ΩR，有‖Tλu‖≥‖u‖由引理3(i)，问题 (1)至少存在一个正解。

‖Τλu‖ ≥L·ψ－12(λ(f0－ε))·δ‖u‖ ≥ ‖u‖

由引理3(ii)，问题 (1)至少存在一个正解u。

推论1 设(A1)，(A2)和(A3)成立，若条件(i)f0=∞ ，f∞=0和 (ii)f0=0，f∞=∞ 之一满足，则对任意λ＞0，问题 (1)都至少存在一个正解。

下面讨论问题 (1)多个正解的存在性。为此，假设

为方便起见，我们再引入下列记号:

易证，在条件(A2)和(A4)下，0＜λ*≤∞，0≤λ＊＊＜∞ 。

另外，我们还需要如下两个引理。

引理4 假设(A1)，(A2)和(A3)成立。如果存在常数R＞r＞0，使得

则问题 (1)存在正解u∈K，且满足r≤‖u‖≤R。

另一方面，令ΩR={u∈X:‖u‖＜R}。则对u∈K∩∂ΩR，利用引理2，有R≥u(t)≥δ‖u‖=δR，t∈［δ，1－δ］。由于Tλu(σ)是Tλu(t)在［0，1］上的最大值，利用引理1，若 σ∈［δ，1－δ］，则

则问题 (1)存在正解u∈K，且满足r≤‖u‖≤R。

证明 首先，易证我们的假设条件是相容的。另外，类似于引理4的证明，利用引理3(ii)，问题 (1)至少存在一个正解u，且满足r≤‖u‖≤R。

定理3 设 (A1)，(A2)，(A3)和 (A4)成立，且f0=∞，f∞=∞ 。则对λ∈(0，λ*)，问题(1)至少存在两个正解。

定理4 设 (A1)，(A2)，(A3)和(A4)成立，且f0=0，f∞=0。则对 λ ∈ (λ＊＊，∞)，问题(1)至少存在两个正解。

推论4 设(A1)－(A3)及(A4)成立，且f0=∞ 或f∞=∞ 。则对λ∈(0，λ*)，问题 (1)至少存在一个正解。

推论5 设(A1)－(A3)及(A4)成立，且f0=0或f∞=0。则对λ∈(λ＊＊，∞)，问题 (1)至少存在一个正解。

3 例子

设a＞0，b＞0.我们考察下面的函数

容易验证f0=∞，f∞=∞ 。由定理3，存在λ*＞0，当λ∈(0，λ*)时，问题 (1)至少存在两个正解。文 ［7，15－16］要求非线性项f(u)＞0对所有的u＞0成立。而我们给出的条件 (A4)允许非线性项在某段区间上恒为零，如上面所给函数f(u)在区间 ［10a，100a］上恒为零。所以本文的多解性条件推广了文 ［7，15－16］中的基本条件，从而使适用的函数更为广泛。

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