线性调频信号激励过阻尼双稳系统的随机共振现象研究*

彭皓 钟苏川 屠浙 马洪

(四川大学数学学院,成都 610065)

(2012年9月13日收到;2012年12月18日收到修改稿)

1 引言

1981年,Benzi等[1,2]在研究地球冰川期变化机制的过程中,发现了一种奇特的现象,即随着噪声强度的增大,系统的输出信噪比呈现出先增大后减小的非单调变化,此后该现象被称为随机共振.随机共振揭示出噪声对序结构的建设性,颠覆了人们以往对噪声只具有破坏性的认识,故而在信号处理中展示出良好的应用前景,引发了一轮研究热潮.但在研究早期,受限于Benzi等发现随机共振时所用的模型,学者们普遍认为随机共振是非线性系统、周期信号及噪声的一种协同效应,三者缺一不可,这使随机共振的研究范围非常有限[3-6].

1995年,Collins等[7,8]将随机共振与信息理论相结合,提出了非周期随机共振理论,该理论以平均互信息量、误码率及信道容量等作为研究随机共振的测量手段,巧妙地解决了因非周期信号不适宜以频域信噪比作为衡量是否产生随机共振的测量手段的问题.但由香农信息理论可知,不具有随机性的信号是没有信息量的,故线性调频信号本身不携带信息,这使得我们无法沿用Collins等的方法来研究线性调频信号激励下系统的随机共振现象.

为此,本文尝试改造Collins的方法,利用线性调频信号在最优分数阶Fourier变换域上的能量聚集性,提出以分数阶Fourier变换域上定义的信噪比作为测量手段来研究线性调频信号叠加高斯白噪声激励过阻尼双稳系统的随机共振现象.

2 系统模型及其随机共振机理分析

线性调频信号叠加高斯白噪声激励的过阻尼双稳系统可由如下随机微分方程表示：

其中,D为噪声强度.

下面我们从粒子跃迁的角度阐明本文所提出的系统模型产生随机共振的机理,并进一步分析其与传统周期信号激励的双稳系统之不同之处.

方程(1)实际上描述了一个过阻尼的扩散过程.当A=0,D=0时,该系统的势垒高为ΔU=a2/4b,在x=±处有两个势阱.设a=b=1,则该系统的双稳势函数曲线如图1所示.

从图1中可以看出,在没有外部激励信号和噪声的情况下,系统处于平衡状态.其在x=±1处的两个势阱点和在x=0处的一个势垒点分别对应势函数曲线中的两个极小值和一个极大值,此时粒子位于两个势阱中的任意一个(视系统的初始状态而定).

外部激励信号与噪声对粒子跃迁过程的影响有多种等价的解释,例如不妨将线性调频信号看作是改变原有势函数的量,其作用是改变原有势函数U(x)的斜率,造成势阱和势垒发生有利于粒子跃迁的变化;而噪声则给粒子提供能量,在势阱和势垒发生变化的情况下,以更大概率促进粒子跃迁的实现.图2给出了系统[x˙(t)=-V˙(x)+η(t)的有效势]函数 V(x)=U(x)-A cos(2πµt2+2πft)+η(t)x的曲线.当A/=0,D=0时,势阱在LFM信号的驱动下按其频率产生倾斜变化,但只要A小于势阱阈值粒子只能在相应的势阱内按信号频率做局域运动,无法实现跃迁.当D逐渐增大到某一值时,由于LFM信号的作用,可使势阱倾斜程度足够大,致使噪声作用下的粒子得以克服势垒,在两个势阱中按LFM信号频率进行跃迁,即产生了随机共振现象.又由于噪声是随机过程,这种跃迁具有一定随机性,此时要求LFM信号的频率足够低,让“有效势函数”V(x)的变化足够慢,使粒子在噪声的随机作用下有充分长的时间完成跃迁.换言之,在LFM信号低频时段出现随机共振,此要求即所谓的“绝热近似原理”.

图2 输入信号及噪声对势函数的影响 (a)输入信号;(b)噪声

需要说明的是,一般认为随机共振只有在“绝热近似条件”[9]下才能发生.为满足“绝热近似条件”,激励信号的频率应足够低.而在本文提出的系统模型中,激励信号为LFM信号,当调频率µ和中心频率 f为正实数,且 f充分小时,LFM信号的瞬时频率2µt+f将随时间增长由初始时段的低频逐渐增高,这也就使得LFM信号随时间增长逐渐不满足“绝热近似条件”,从而使“随机共振效应”逐渐减弱.这一点将在随后的数值仿真中得到验证.

3 分数阶Fourier变换域信噪比定义

3.1 分数阶Fourier变换

函数 f(t)的p阶分数阶Fourier变换的定义为[10]

其中Kp(u,t)称为分数阶Fourier变换的核 函 数[,(当 p/=2n,n为 整 数 时),]Kp(u,t)≡Aαexp jπu2cotα-2ut cscα+t2cotα, Aα=. 当 p=4n时,Kp(u,t)≡δ(u-t),当 p=4n+2时,K(u,t)≡δ(u+t).

p

函数Fp(u)的p阶分数阶Fourier逆变换公式为

由(4)式可知,函数 f(t)的分数阶Fourier变换Fp(u)可解释为 f(t)在以逆变换核K-p(u,t)为基的函数空间上的展开,而该核是u域上的一组正交的线性调频基.因此,一个LFM信号在最优的分数阶Fourier变换域中将表现为一个冲击函数,这与周期函数在频域上的表现形式是一致的.故可类比传统的频域信噪比定义,相应给出LFM信号的分数阶Fourier变换域信噪比定义.

3.2 最优分数阶Fourier变换阶数

确定LFM信号最优分数阶Fourier变换阶数(简称最优阶数)的基本原理是：以阶数 p为变量,p∈[0,2],对给定的LFM信号连续进行分数阶Fourier变换,形成信号能量在参数(p,u)平面的二维分布,并在此平面上进行峰值点的二维搜索.峰值点所对应的p值即为该LFM信号的最优阶数p bo[10]：

3.3 分数阶Fourier变换域信噪比定义

对方程(1)的输|出信号|x(t)做pbo阶Fourier变换,可得其幅度谱|Xpbo(u)|,其中的线性调频成分,即有用信号成分将表现为一冲击函数,且由于噪声的能量均匀地分布在整个时频平面内,在任何的分数阶Fourier变换域上均不|会出现|能量聚集,故有用信号成分位于幅度谱|Xpbo(u)|的峰值点处,至此,可得分数阶Fourier变换域上定义的信噪比为

此定义是对传统频域信噪比定义的一个推广,当输入的有用信号为周期信号时,最优阶数pbo=1,则该定义将退化为频域信噪比的定义.

4 仿真实验及分析

下面我们给出方程(1)所刻画的系统按第3节定义的输出信噪比的仿真实验及其分析.

4.1 输出信号x(t)的时域图

设a=b=1,A=0.3,µ=0.0001,f=0.01,D=0.7.以Runge-Kutta法求解方程(1),可得输出信号x(t)的时域图.为体现噪声的随机性,所得的x(t)是以Monte-Carlo法将此求解过程重复500次后的平均值.

图3 输入信号与输出信号的时域图

图3 (a)为系统输入之LFM信号s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt)的时域图;图3(b)是s1(t)+η(t)的信号时域图;而图3(c)则为系统输出信号x(t)的时域图.可以看出,由于随机共振,系统输出信号x(t)的幅度在初始时段较大,但随着系统输入端LFM信号s1(t)的瞬时频率0.0002×t+0.01随时间增长而增高,逐渐破坏了“绝热近似条件”,导致“随机共振效应”随时间的增长逐渐减弱,进而表现为系统输出信号x(t)的幅度随时间的增长逐渐减小,这与第2节中的理论分析是一致的,体现出线性调频信号产生随机共振现象时的独特性质.

下面我们将按前述方法在分数阶Fourier变换域上对输出信号x(t)中的有用信号与噪声进行区分,从而得到在该域上定义的信噪比,并将其作为测量手段验证本文提出的模型产生了随机共振.

4.2 最优阶数的确定

输入的LFM信号为s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt),按前述方法以0.01为步长搜索其最优阶数pbo.

图4 LFM信号s1(t)不同阶次时的分数阶域幅度

图4 (a)为LFM信号s1(t)在(p,u)平面上的能量分布,图4(b)—(d)分别为图4(a)在 p=0.98,0.99,1处的截面.易得该LFM信号的最优阶数pbo为0.99.

4.3 随机共振现象

图5描述的是输出信号在0.99阶Fourier变换域上所定义的信噪比(简称信噪比)随噪声强度增大时的变化趋势,噪声强度D从0.2以0.025为步长逐渐增大至6.5.从图5中可看出,随着噪声强度的增大,输出信号的信噪比出现先增大后减小的非单调变化.当D∈[0.2,0.9]时,部分噪声能量转换为信号能量,信噪比随噪声强度增大而增大.特别地,当D=0.9时,输出信号的信噪比达到最大值.当D＞0.9时,输出信号的信噪比逐渐减小,这是因为噪声强度过大,虽有部分噪声能量转换为信号能量,但有大量过剩的噪声能量污染了信号.仿真的结果与之前从粒子跃迁角度进行的理论分析完全一致,验证了本文所提出的模型能够产生随机共振现象.

4.4 调频率对随机共振现象的影响

为进一步分析LFM信号在随机共振中产生的新现象,即调频率对随机共振的影响,将输入信号的调频率µ增大为0.0002,其余参数不变.此时输入的LFM信号为s2(t)=0.3cos(0.0002×2πt2+0.01×2πt),可按前述方法得其最优阶数为0.98.

图5 输出信号信噪比随噪声强度增大时的变化(µ=0.0001)

图6 输出信号信噪比随噪声强度增大时的变化(µ=0.0002)

图6 描述的是在参数µ=0.0002时输出信号信噪比随噪声强度增大时的变化趋势,显然在此参数条件下也出现了随机共振.将图6与图5进行比较,发现在任意噪声强度下,图6中的输出信号信噪比均低于图5所描述的.这是由于调频率µ从原来的0.0001增大为0.0002,使得信号频率增加的速率增快,在更短的时间内超出了绝热近似条件所限制的频率范围,从而使得随机共振现象减弱.此结果与之前的理论分析是一致的.

5 结论

本文首先从粒子跃迁的角度,定性地分析了线性调频信号叠加高斯白噪声激励的过阻尼双稳系统,得出该模型能够产生随机共振现象以及随机共振效应将随信号频率增大而减弱的论断.然后首次提出以最优分数阶Fourier变换域上定义的信噪比作为测量手段,对上述模型进行了定量分析.仿真的结果验证了从理论分析中得到的论断,表明了本文提出的方法的有效性.

[1]Benzi R,Suter A,Vulpana A 1981 Physica A 14 L453

[2]Benzi R,Parisi G,Suter A,Vulpana A 1982 Tellus34 11

[3]Gitterman M 2003 Phys.Rev.E 67 057103

[4]Jia Y,Yu SN,Li JR 2000 Phys.Rev.E 62 1869

[5]Berdichevsky V,Gitterman M 1996 Europhys.Lett.36 161

[6]Luo X,Zhu S 2003 Phys.Rev.E 67 021104

[7]Collins JJ,Chow CC,Imhoff T T 1995 Phys.Rev.E 52 3321

[8]Collins JJ,Chow CC,Capela A C,Imhoff TT 1996 Phys.Rev.E 54 5575

[9]McNamara B,Wiesenfel K 1989 Phys.Rev.A 39 4854

[10]Tao R,Qin L,Wang Y 2004 Theory and Applicationsof the Fractional Fourier Transform(1st Ed.)(Beijing：Tsinghua University Press)p111(in Chinese)[陶然,齐林,王越2004分数阶Fourier变换的原理与应用(第一版)(北京：清华大学出版社)第111页]